I. Существование представления Лакса с операторами $\mathrm{L}$ и А вида (1.18), (1.19) приводит к возникновению у уравнения (1.16), (1.21) новых свойств, отличающих его от известных ранее интегрируемых нелинейных уравнений. К таким свойствам относится наличие опрокидывающихся солитонов и явление опрокидывания в поведении собственных чисел оператора $\mathrm{L}$, рассматриваемого как одномерный дифференциальный оператор по $x$, зависящий от параметров $t$ и $y$. Эти свойства присущи широкому классу многомерных нелинейных уравневий, включающему уравнения (1.16), (1.21), который и изучается в данном параграфе.

В предыдущей главе были построены нелинейные дифферендиальные уравнения и динамические системы, допускающие эквивалентное представление в виде операторного уравнения
\[
\mathrm{L}_{t}=P(\mathrm{~L})+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] .
\]

При этом было показано, что в рассмотренных случаях собственные числа $f$ оператора $\mathrm{L}$ удовлетворяют уравнению $f_{t}=P(f)$.

В дальнейшем уравнение (2.1) рассматривается в более общей ситуации, когда $L$ — самосопряженный (вообще говоря, матричный) дифференциальный оператор по одной переменной $x_{1}$, параметрически зависящий от времени $t$ и дополнительных переменных $x_{2}, \ldots, x_{n}$. Например, L может иметь вид одномерного оператора Шрёдинтера
\[
\mathrm{L}=-d_{x}^{2}+u\left(t, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right), \quad d_{i}=\partial / \partial x_{i},
\]

или эрмитового матричного оператора первого порядка
\[
\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cc}
i p_{1} & 0 \\
0 & i p_{2}
\end{array}\right) d_{x}+\left(\begin{array}{cc}
0 & \bar{u}\left(t, x_{i}\right) \\
u\left(t, x_{i}\right) & 0
\end{array}\right) .
\]

Возможны и другие типы операторов $\mathrm{L}$.
Предположим, что оператор А является кососимметрическим (или косоэрмитовым) оператором следующего вида:
\[
\mathrm{A}=\sum_{i=2}^{n} F_{i}(\mathrm{~L}) d_{i}+\mathrm{A}_{0}, \quad F_{i}(\mathrm{~L})=\sum_{k=1}^{N} \bar{c}_{i k} \mathrm{~L}^{k},
\]

где $\mathrm{A}_{0}$ — дифференциальный оператор только по переменной $x_{1}$, параметрически зависящий от $t, x_{2}, \ldots, x_{n}, \bar{c}_{i k}=$ $=\bar{c}_{i k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ — произвольные гладкие функции. Оператор А (1.31), очевидно, имеет вид (2.2). Возможность применения операторов А вида (2.2) для построения (по методу Јакса) многомерных нелинейных уравнений отмечалась в работах $[35,36]$.

Предположим, что функция $P(\mathrm{~L})$ имеет впд
\[
P(\mathrm{~L})=\sum_{k=0}^{m} a_{k} \mathrm{~L}^{k}
\]

где $a_{k}=a_{k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ — произвольные гладкие функции.
Лемма 1. В силу уравнения (2.1) — (2.3) собственные числа оператора $\mathrm{L}$ удовлетворяют уравнению
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i=2}^{n} F_{i}(f) \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=P(f) .
\]

Доказательство. Представим оператор $\mathrm{L}$ в виде
\[
\mathrm{L}=\mathrm{QL}_{0} \mathrm{Q}^{-1},
\]

где $\mathrm{Q}$ — некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве $L_{2}(-\infty, \infty)$ функций от $x_{1}$ и параметрически зависящий от $t, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Выведем из уравнений $(2.1)-(2.3)$, (2.5) уравнения, которым должны удовлетворять операторы $\mathrm{L}_{0}$ и $\mathrm{Q}$.

В силу тождества $\mathrm{L}^{j} d_{i} \mathrm{~L}^{k-j}=\mathrm{L}^{k} d_{i}+\mathrm{L}^{j} d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k-j}\right)$ справедливо равенство
\[
\mathrm{L}^{k} d_{i}=\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i} \mathrm{~L}^{k-j}-\frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k-j}\right) .
\]

Поэтому оператор А (2.2) можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A}=\sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N}\left(c_{i k} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i} \mathrm{~L}^{k-j}+\sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i} \mathrm{~L}^{k-j} c_{i k}\right)+\mathrm{A}_{1} \\
\mathrm{~A}_{1}=\mathrm{A}_{0}-\sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N}\left(2 c_{i k} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k-j}\right)-\mathrm{L}^{k} d_{i}\left(c_{i k}\right)\right),
\end{array}
\]

где $c_{i k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\bar{c}_{i k}(2 k+2)^{-1}$. Здесь использовано, что функции $c_{i k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ коммутируют с оператором $\mathrm{L}$, который содержит тольжо дифференцирование по переменной $x_{1}$, но не коммутируют с операторами $d_{i}=\partial / \partial x_{i}$, $i=2, \ldots, n$. Первое слагаемое в кососимметрическом операторе $\mathrm{A}$ (2.6), очевидно, является кососимметрическим. Поэтому и оператор $\mathrm{A}_{1}$ тоже кососимметрический; по построению это дифференциальный оператор только по одной переменной $x_{1}$.
Справедливы тождества
\[
\left[\mathrm{L}, \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i} \mathrm{~L}^{k-j}\right]=\left[\mathrm{L}^{k+1}, d_{i}\right]=-d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k+1}\right) .
\]
3 о. и. Богоявленский

Поэтому из представления (2.6) в силу коммутативности оператора $\mathrm{L}$ и функций $c_{i k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ получаем формулу
\[
[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=-2 \sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N} c_{i k} d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k+1}\right)+\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{1}\right] .
\]

Элементарное вычисление приводит к следующим равенствам:
\[
\begin{array}{c}
d_{i}\left(\mathrm{~L}^{k+1}\right)=d_{i}\left(\mathrm{QL}_{0}^{k+1} \mathrm{Q}^{-1}\right)=\left[d_{i}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1}, \mathrm{~L}^{k+1}\right]+ \\
+\mathrm{Q} d_{i}\left(\mathrm{~L}_{0}^{k+1}\right) \mathrm{Q}^{-1}=\left[\sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1} \mathrm{~L}^{k-j}, \mathrm{~L}\right]+ \\
+\mathrm{Q} d_{i}\left(\mathrm{~L}_{0}^{k+1}\right) \mathrm{Q}^{-1}, \\
d_{t}(\mathrm{~L})=\left[d_{t}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1}, \mathrm{~L}\right]+\mathrm{Q} d_{t}\left(\mathrm{~L}_{0}\right) \mathrm{Q}^{-1}, P(\mathrm{~L})=\mathrm{Q} P\left(\mathrm{~L}_{0}\right) \mathrm{Q}^{-1} .
\end{array}
\]

Уравнение (2.1) после подстановки равенств (2.8), (2.9) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[d_{t}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1}, \mathrm{~L}\right]+\mathrm{O} d_{t}\left(\mathrm{~L}_{0}\right) \mathrm{Q}^{-1}=\mathrm{Q} P\left(\mathrm{~L}_{0}\right) \mathrm{Q}^{-1}+\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{1}\right]-} \\
-2\left[\sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N} c_{i k} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1} \mathrm{~L}^{h-j}, \mathrm{~L}\right]- \\
-2 \sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N} c_{i k} \mathrm{Q} d_{i}\left(\mathrm{~L}_{0}^{k+1}\right) \mathrm{Q}^{-1}
\end{array}
\]

Определим унитарный оператор $\mathrm{Q}$ как решение следующего дифференциального уравнения:
\[
d_{t}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1}+2 \sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N} c_{i k} \sum_{j=0}^{k} \mathrm{~L}^{j} d_{i}(\mathrm{Q}) \mathrm{Q}^{-1} \mathrm{~L}^{k-j}=-\mathrm{A}_{1} .
\]
(Все слагаемые в этом уравнении являются кососимметрическими операторами.) Тогда в силу уравнения (2.1), (2.10) оператор $\mathrm{L}_{0}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
d_{t}\left(\mathrm{~L}_{0}\right)+2 \sum_{i=2}^{n} \sum_{h=1}^{N} c_{i p} d_{i}\left(\mathrm{~L}_{0}^{k+1}\right)=P\left(\mathrm{~L}_{0}\right) .
\]

Укажем начальные данные для операторов $\mathrm{Q}$ и $\mathrm{L}_{0}$ при $t \subset \bar{t}$ в уравнениях (2.11), (2.12). Для этого рассмотрим задачу на собственные значения для оператора L: $L \psi=f \psi$. Выделим непрерывные ветви собственных чисел $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. В окрестности точки $p=\left(\bar{t}, \bar{x}_{2}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)$, в которой эти ветви не пересекаются (общее положение), соответствующие им собственные функции $\psi_{i}\left(t, x_{1}, x_{2}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}$ ) ортогональны в пространстве $L_{2}(-\infty, \infty)$ функций от $x_{1}$. При $t=\bar{t}$ определим унитарный оператор $\mathrm{Q}\left(\bar{t}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ в окрестности точки $p$ так, чтобы
\[
\left(\mathrm{Q}^{-1} \psi_{f}\right)\left(\bar{t}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i n}\right)=\psi_{f}\left(\bar{t}, x_{1}, \bar{x}_{2}, \ldots, \bar{x}_{n}\right),
\]

где собістенные функции $\psi_{i}$ соответствуют одной ветви собственных чисел $f\left(\bar{t}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. Функция $\left(\mathrm{Q}^{-1} \psi_{f}\right)\left(\bar{t}, x_{1}\right.$, $x_{2}, \ldots, x_{n}$ ) является собственной функцией оператора $\mathrm{L}_{0}=$ $=\mathrm{Q}^{-1} \mathrm{LQ}$ и в силу (2.13) не зависит от $x_{2}, \ldots, x_{n}$. Такое построение определяет начальные данные для операторов $\mathrm{Q}$ и $\mathrm{L}_{0}$ при $t=\bar{t}$ в уравнениях (2.11), (2.12).

При указанных начальных данных уравнение (2.12) имеет решение — оператор $\mathrm{L}_{0}$, который при всех $t, x_{2}, \ldots$ $\ldots, x_{n}$ в окрестности точки $p$ имеет одно и то же множество собственных функций $\psi_{f}\left(\bar{t}, x_{1}, \bar{x}_{2}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)$. Соответствующие им собственные числа $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ в силу (2.12) удовлетворяют уравнению
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+2 \sum_{i=2}^{n} \sum_{k=1}^{N} c_{i k}(k+1) f^{k} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=P(f)
\]

с начальными значениями $f\left(\bar{t}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. Унитарный оператор $\mathrm{Q}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ определяется из уравнения (2.11) при указанных начальных значениях $\mathrm{Q}\left(\bar{t}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$. Уравнение (2.14) совпадает с уравнением (2.4), поскольку собственные числа операторов $\mathrm{L}$ и $\mathrm{L}_{0}=\mathrm{Q}^{-1} \mathrm{LQ}$ совпадают и $c_{i k}=\bar{c}_{i_{k}}(2 k+2)^{-1}$. Поэтому уравнение (2.4) справедливо в окрестности всех точек $p$ общего положения (в смысле дискретного спектра оператора L). Лемма 1 доказана.
II. Важной областью применения леммы 1 являются уравнения, допускающие представление Лакса $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ с оператором А вида (2.2). В этом случае собственные числа оператора $L$ удовлетворяют уравнению (2.4) с $\mathrm{P}(f)=0$ :
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{i=2}^{n} F_{i}(f) \frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Уравнение (2.15) является законом сохранения: из него следует, что для любой области $G$ с границей $S$ в пространстве $\mathbb{R}^{n-1}$ справедливы уравнения
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{G} f^{k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{2} \ldots d x_{n}=\int_{S}\left(\Phi_{h}, n\right) d \sigma,
\]

где $k$ — произвольное патуральное число, $n$ — вектор нормали к поверхности $S, \Phi_{k}$ — вектор с компонентами $\Phi_{k i}(f)$, причем $d \Phi_{k i}(f) / \partial f=-k f^{k-1} F_{i}(f)$. Если функция $f\left(t, x_{2}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}$ ) убывает достаточно быстро при $\left|x_{i}\right| \rightarrow \infty$, то уравнение (2.15) имеет счетное множество сохраняющихся величин
\[
I_{k}=\int_{\mathbb{R} n-1} f^{k}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) d x_{2} \ldots d x_{n} .
\]

Таким обрразом, в силу леммы 1 для уравнения Лакса $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ сохраняются не собственные числа $f\left(t, x_{2}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}$ ) ошератора $L$, а интегралы $I_{k}$ от их степеней (2.17).

Здесь возникает кажущееся противоречие с известным утверждением Лакса о сохранении собственных чисел оператора $\mathrm{L}$ в силу уравнения $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$. Объяснение этого парадокса состоит в следующем. Оператор $L$ действует как в пространстве $H_{1}$ функций, зависящих только от одной переменной $x_{1}$, так и в пространстве $H_{n}$ функций, зависящих от $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, в то время как оператор А действует только в пространстве функций $H_{n}$. При доказательстве теоремы Лакса одераторы L и А рассматриваются в том пространстве, где они одновременно определены, т. е. в пространстве $H_{n}$. Собственные числа $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ оператора $\mathrm{L}$ определяются в пространстве $H_{1}$ и в общем случае не связаны с собственными числами оператора L в пространстве $H_{n}$, которые остаются неизменными в силу теоремы Лакса.

Простейший пример применения Основной леммы возникает, когда оператор $\mathrm{L}$ является диагональной матрицей с компонентами $\mathrm{L}_{i j}=f_{i}(t, x) \delta_{i j}$, а оператор $\mathrm{A}=$ $=-F(\mathrm{~L}) \partial / \partial x$. Соответствующее уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений на собственные числа $f_{i}(t, x)$ :
\[
f_{i t}=F\left(f_{i}\right) f_{i x} .
\]

Замечание 1. В уравнении (2.4) функции $F_{i}(t)$, $P(f)$ являются многочленами от $f \mathrm{c}$ коэффициентами $\bar{c}_{i k}$, $a_{k}$, которые являются произвольными гладкими функциями от $t, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Доказательство леммы 1 переносится и на более широкие классы функций $F_{i}(f), P(f)$, например, аналитичеокие или мероморфные. Поэтому практически любое квазилинейное уравнение вида (2.4); (2.15) возникает как уравнение на собственные числа оператора L в конструкции (2.1), (2.2).
Уравнение (2.15) для функций $f$ вида
\[
f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=f(t, x), \quad x=c_{2} x_{2}+\ldots+c_{n} x_{n}
\]

после введения обозначения $v=c_{2} F_{2}(f)+\ldots+c_{n} F_{n}(f)$ и умножения на $d v / d f$ переходит в уравнение волны Римана
\[
v_{t}+v v_{x}=0 .
\]

Во всех не постоянных решениях уравнения (2.19) возникает явление опрокидывания (перехлеста) фронта волны $v(t, x)$ и решение становится многозначным.

Уравнение опрокидывающейся волны Римана (2.19) допускает представление Лакса $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ со скалярным оператором $\mathrm{L}=v(t, x)$ и дифференциальным оператором $\mathrm{A}=v(t, x) \partial / \partial x$ и является простейшим примером применения леммы 1.

Важнейшим свойством квазилинейных дифференциальных уравнений (2.4)и (2.15) является возникновение многозначности решений, которую, однако, исходя из аналогии с газовой динамикой, часто исключают введением разрывных решений — ударных волн. Условия сшивки решений на разрыве обобщают известные условия Рәнкина — Гюгонио [169].

Замечание 2. Из теории одномерных интегрируемых уравнений известно, что структура солитонных решений таких уравнений связана с собственными числами соответствующего оператора L. Двумерные уравнения, допускающие операторное представление вида (2.1) $(2.2)$, и подобные им уравнения более высокой размернасти также обладают солитонными решениями, структура которых связана с собственными числами $f\left(t, x_{2}, \ldots\right.$ $\ldots, x_{n}$ ) оператора L. Существенно, что ввиду указанного поведения собственных чисел многомерные солитоны, как и функции $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, являются опрокидывающимися (при $P(f)=0$ ). Такие опрокидывающиеся солитоны будут построены ниже для нескольких двумерных уравнений. Следуя аналогии с газовой динамикой, можно рассматривать разрывные решения $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ квазилинейного уравнения (2.15). Соответствующие им солитонные решения также имеют разрывы, являющиеся ударными волнами, и поэтому будут называться в дальнейшем ударными солитонами.
III. Пусть $\psi\left(t, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ — собственная функция оператора $\mathrm{L}$, отвечающая собственному числу $f\left(t, x_{2}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right)$.

Лемма 2. $B$ силу уравнений (2.1)-(2.3) справедливо уравнение
\[
\mathrm{L}\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right)=f\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right) .
\]

Доказательство. После дифференцирования равепства $L \psi=f \downarrow$ по времени находим
\[
\mathrm{L}_{t} \psi+\mathrm{L} \psi_{t}=f_{t} \psi+f \psi_{t} .
\]

Замепяя здесь $\mathrm{L}_{t}$ и $f_{t}$ в силу уравнений (2.1), (2.4), получаем уравнение
\[
\mathrm{L}\left(\psi_{t}+A \psi\right)=-\sum_{i=2}^{n} F_{i}(t) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \psi+f \psi_{t}+\mathrm{A}(f \psi) .
\]

Последнее слагаемое в силу формулы (2.2) и ввиду того, что функция $f\left(t, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ не зависит от $x_{1}$, имеет вид
\[
\mathrm{A}(f \psi)=f \mathrm{~A}(\psi)+\sum_{i=2}^{n} F_{i}(f) \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \psi .
\]

Поэтому из равенств $(2.21)$, (2.22) следует уравнение (2.20). Лемма 2 доказана.

Таким образом, функция $\psi_{t}+$ А $\psi$ в силу операторного уравнения (2.1) также является собственной функцией оператора L. Лемма 2 в дальнейшем будет использоваться (так же, как она используется всегда для операторного уравнения Лакса) при применении метода одномерной обратной задачи рассеяния.
3aмечание 3. Данные рассеяния для оператора L (в тех случаях, когда они определены) в силу уравнения (2.1) — (2.2) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка по переменным $t, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Эти уравнения в ряде случаев допускают полное решение. Соответствующие уравнения, эквивалентные операторным уравнениям (2.1) (2.2), интегрируются методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L.