I. Существование представления Лакса с операторами $\mathrm{L}$ и А вида (1.18), (1.19) приводит к возникновению у уравнения (1.16), (1.21) новых свойств, отличающих его от известных ранее интегрируемых нелинейных уравнений. К таким свойствам относится наличие опрокидывающихся солитонов и явление опрокидывания в поведении собственных чисел оператора $\mathrm{L}$, рассматриваемого как одномерный дифференциальный оператор по $x$, зависящий от параметров $t$ и $y$. Эти свойства присущи широкому классу многомерных нелинейных уравневий, включающему уравнения (1.16), (1.21), который и изучается в данном параграфе.

В предыдущей главе были построены нелинейные дифферендиальные уравнения и динамические системы, допускающие эквивалентное представление в виде операторного уравнения
$${\mathrm{L}}_t=P(\mathrm{L})+[\mathrm{L},\mathrm{A}].$$

При этом было показано, что в рассмотренных случаях собственные числа $f$ оператора $\mathrm{L}$ удовлетворяют уравнению $f_t=P(f)$.

В дальнейшем уравнение (2.1) рассматривается в более общей ситуации, когда $L$ — самосопряженный (вообще говоря, матричный) дифференциальный оператор по одной переменной $x_1$, параметрически зависящий от времени $t$ и дополнительных переменных $x_2,\dots ,x_n$. Например, L может иметь вид одномерного оператора Шрёдинтера
$$\mathrm{L}=-d_x^2+u(t,x_1,x_2,\dots ,x_n),d_i=\partial /\partial x_i,$$

или эрмитового матричного оператора первого порядка
$$\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cc}i{p}_1& 0\\ 0& i{p}_2\end{array}\right)d_x+\left(\begin{array}{cc}0& \overline{u}(t,x_i)\\ u(t,x_i)& 0\end{array}\right).$$

Возможны и другие типы операторов $\mathrm{L}$.
Предположим, что оператор А является кососимметрическим (или косоэрмитовым) оператором следующего вида:
$$\mathrm{A}=\sum _{i=2}^n{F}_i(\mathrm{L})d_i+{\mathrm{A}}_0,F_i(\mathrm{L})=\sum _{k=1}^N{\overline{c}}_{ik}{\mathrm{L}}^k,$$

где ${\mathrm{A}}_0$ — дифференциальный оператор только по переменной $x_1$, параметрически зависящий от $t,x_2,\dots ,x_n,{\overline{c}}_{ik}=$ $={\overline{c}}_{ik}(t,x_2,\dots ,x_n)$ — произвольные гладкие функции. Оператор А (1.31), очевидно, имеет вид (2.2). Возможность применения операторов А вида (2.2) для построения (по методу Јакса) многомерных нелинейных уравнений отмечалась в работах $[35,36]$.

Предположим, что функция $P(\mathrm{L})$ имеет впд
$$P(\mathrm{L})=\sum _{k=0}^m{a}_k{\mathrm{L}}^k$$

где $a_k=a_k(t,x_2,\dots ,x_n)$ — произвольные гладкие функции.
Лемма 1. В силу уравнения (2.1) — (2.3) собственные числа оператора $\mathrm{L}$ удовлетворяют уравнению
$$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum _{i=2}^n{F}_i(f)\frac{\partial f}{\partial x_i}=P(f).$$

Доказательство. Представим оператор $\mathrm{L}$ в виде
$$\mathrm{L}={\mathrm{QL}}_0{\mathrm{Q}}^{-1},$$

где $\mathrm{Q}$ — некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве $L_2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ функций от $x_1$ и параметрически зависящий от $t,x_2,\dots ,x_n$. Выведем из уравнений $(2.1)-(2.3)$, (2.5) уравнения, которым должны удовлетворять операторы ${\mathrm{L}}_0$ и $\mathrm{Q}$.

В силу тождества ${\mathrm{L}}^j{d}_i{\mathrm{L}}^{k-j}={\mathrm{L}}^k{d}_i+{\mathrm{L}}^j{d}_i\left({\mathrm{L}}^{k-j}\right)$ справедливо равенство
$${\mathrm{L}}^k{d}_i=\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i{\mathrm{L}}^{k-j}-\frac{1}{k+1}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i\left({\mathrm{L}}^{k-j}\right).$$

Поэтому оператор А (2.2) можно представить в виде
$$\begin{array}{l}\mathrm{A}=\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N(c_{ik}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i{\mathrm{L}}^{k-j}+\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i{\mathrm{L}}^{k-j}{c}_{ik})+{\mathrm{A}}_1\\ {\mathrm{A}}_1={\mathrm{A}}_0-\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N(2c_{ik}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i\left({\mathrm{L}}^{k-j}\right)-{\mathrm{L}}^k{d}_i\left(c_{ik}\right)),\end{array}$$

где $c_{ik}(t,x_2,\dots ,x_n)={\overline{c}}_{ik}(2k+2{)}^{-1}$. Здесь использовано, что функции $c_{ik}(t,x_2,\dots ,x_n)$ коммутируют с оператором $\mathrm{L}$, который содержит тольжо дифференцирование по переменной $x_1$, но не коммутируют с операторами $d_i=\partial /\partial x_i$, $i=2,\dots ,n$. Первое слагаемое в кососимметрическом операторе $\mathrm{A}$ (2.6), очевидно, является кососимметрическим. Поэтому и оператор ${\mathrm{A}}_1$ тоже кососимметрический; по построению это дифференциальный оператор только по одной переменной $x_1$.
Справедливы тождества
$$[\mathrm{L},\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i{\mathrm{L}}^{k-j}]=[{\mathrm{L}}^{k+1},d_i]=-d_i\left({\mathrm{L}}^{k+1}\right).$$
3 о. и. Богоявленский

Поэтому из представления (2.6) в силу коммутативности оператора $\mathrm{L}$ и функций $c_{ik}(t,x_2,\dots ,x_n)$ получаем формулу
$$[\mathrm{L},\mathrm{A}]=-2\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N{c}_{ik}{d}_i\left({\mathrm{L}}^{k+1}\right)+[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_1].$$

Элементарное вычисление приводит к следующим равенствам:
$$\begin{array}{c}{d}_i\left({\mathrm{L}}^{k+1}\right)=d_i\left({\mathrm{QL}}_0^{k+1}{\mathrm{Q}}^{-1}\right)=[d_i(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1},{\mathrm{L}}^{k+1}]+\\ +\mathrm{Q}{d}_i\left({\mathrm{L}}_0^{k+1}\right){\mathrm{Q}}^{-1}=[\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1}{\mathrm{L}}^{k-j},\mathrm{L}]+\\ +\mathrm{Q}{d}_i\left({\mathrm{L}}_0^{k+1}\right){\mathrm{Q}}^{-1},\\ d_t(\mathrm{L})=[d_t(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1},\mathrm{L}]+\mathrm{Q}{d}_t\left({\mathrm{L}}_0\right){\mathrm{Q}}^{-1},P(\mathrm{L})=\mathrm{Q}P\left({\mathrm{L}}_0\right){\mathrm{Q}}^{-1}.\end{array}$$

Уравнение (2.1) после подстановки равенств (2.8), (2.9) принимает вид
$$\begin{array}{c}[d_t(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1},\mathrm{L}]+\mathrm{O}{d}_t\left({\mathrm{L}}_0\right){\mathrm{Q}}^{-1}=\mathrm{Q}P\left({\mathrm{L}}_0\right){\mathrm{Q}}^{-1}+[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_1]-\\ -2[\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N{c}_{ik}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1}{\mathrm{L}}^{h-j},\mathrm{L}]-\\ -2\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N{c}_{ik}\mathrm{Q}{d}_i\left({\mathrm{L}}_0^{k+1}\right){\mathrm{Q}}^{-1}\end{array}$$

Определим унитарный оператор $\mathrm{Q}$ как решение следующего дифференциального уравнения:
$$d_t(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1}+2\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N{c}_{ik}\sum _{j=0}^k{\mathrm{L}}^j{d}_i(\mathrm{Q}){\mathrm{Q}}^{-1}{\mathrm{L}}^{k-j}=-{\mathrm{A}}_1.$$
(Все слагаемые в этом уравнении являются кососимметрическими операторами.) Тогда в силу уравнения (2.1), (2.10) оператор ${\mathrm{L}}_0$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$d_t\left({\mathrm{L}}_0\right)+2\sum _{i=2}^n\sum _{h=1}^N{c}_{ip}{d}_i\left({\mathrm{L}}_0^{k+1}\right)=P\left({\mathrm{L}}_0\right).$$

Укажем начальные данные для операторов $\mathrm{Q}$ и ${\mathrm{L}}_0$ при $t\subset \overline{t}$ в уравнениях (2.11), (2.12). Для этого рассмотрим задачу на собственные значения для оператора L: $L\psi =f\psi$. Выделим непрерывные ветви собственных чисел $f(t,x_2,\dots ,x_n)$. В окрестности точки $p=(\overline{t},{\overline{x}}_2,\dots ,{\overline{x}}_n)$, в которой эти ветви не пересекаются (общее положение), соответствующие им собственные функции ${\psi }_i(t,x_1,x_2,\dots$ $\dots ,x_n$ ) ортогональны в пространстве $L_2(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ функций от $x_1$. При $t=\overline{t}$ определим унитарный оператор $\mathrm{Q}(\overline{t},x_2,\dots ,x_n)$ в окрестности точки $p$ так, чтобы
$$\left({\mathrm{Q}}^{-1}{\psi }_f\right)(\overline{t},x_1,x_2,\dots ,x_{in})={\psi }_f(\overline{t},x_1,{\overline{x}}_2,\dots ,{\overline{x}}_n),$$

где собістенные функции ${\psi }_i$ соответствуют одной ветви собственных чисел $f(\overline{t},x_2,\dots ,x_n)$. Функция $\left({\mathrm{Q}}^{-1}{\psi }_f\right)(\overline{t},x_1$, $x_2,\dots ,x_n$ ) является собственной функцией оператора ${\mathrm{L}}_0=$ $={\mathrm{Q}}^{-1}\mathrm{LQ}$ и в силу (2.13) не зависит от $x_2,\dots ,x_n$. Такое построение определяет начальные данные для операторов $\mathrm{Q}$ и ${\mathrm{L}}_0$ при $t=\overline{t}$ в уравнениях (2.11), (2.12).

При указанных начальных данных уравнение (2.12) имеет решение — оператор ${\mathrm{L}}_0$, который при всех $t,x_2,\dots$ $\dots ,x_n$ в окрестности точки $p$ имеет одно и то же множество собственных функций ${\psi }_f(\overline{t},x_1,{\overline{x}}_2,\dots ,{\overline{x}}_n)$. Соответствующие им собственные числа $f(t,x_2,\dots ,x_n)$ в силу (2.12) удовлетворяют уравнению
$$\frac{\partial f}{\partial t}+2\sum _{i=2}^n\sum _{k=1}^N{c}_{ik}(k+1)f^k\frac{\partial f}{\partial x_i}=P(f)$$

с начальными значениями $f(\overline{t},x_2,\dots ,x_n)$. Унитарный оператор $\mathrm{Q}(t,x_2,\dots ,x_n)$ определяется из уравнения (2.11) при указанных начальных значениях $\mathrm{Q}(\overline{t},x_2,\dots ,x_n)$. Уравнение (2.14) совпадает с уравнением (2.4), поскольку собственные числа операторов $\mathrm{L}$ и ${\mathrm{L}}_0={\mathrm{Q}}^{-1}\mathrm{LQ}$ совпадают и $c_{ik}={\overline{c}}_{i_k}(2k+2{)}^{-1}$. Поэтому уравнение (2.4) справедливо в окрестности всех точек $p$ общего положения (в смысле дискретного спектра оператора L). Лемма 1 доказана.
II. Важной областью применения леммы 1 являются уравнения, допускающие представление Лакса ${\mathrm{L}}_t=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$ с оператором А вида (2.2). В этом случае собственные числа оператора $L$ удовлетворяют уравнению (2.4) с $\mathrm{P}(f)=0$ :
$$\frac{\partial f}{\partial t}+\sum _{i=2}^n{F}_i(f)\frac{\partial f}{\partial x_i}=0.$$

Уравнение (2.15) является законом сохранения: из него следует, что для любой области $G$ с границей $S$ в пространстве ${\mathbb{R}}^{n-1}$ справедливы уравнения
$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_G{f}^k(t,x_2,\dots ,x_n)d{x}_2\dots d{x}_n={\int }_S({\mathrm{\Phi }}_h,n)d\sigma ,$$

где $k$ — произвольное патуральное число, $n$ — вектор нормали к поверхности $S,{\mathrm{\Phi }}_k$ — вектор с компонентами ${\mathrm{\Phi }}_{ki}(f)$, причем $d{\mathrm{\Phi }}_{ki}(f)/\partial f=-k{f}^{k-1}{F}_i(f)$. Если функция $f(t,x_2,\dots$ $\dots ,x_n$ ) убывает достаточно быстро при $\left|x_i\right|\to \mathrm{\infty }$, то уравнение (2.15) имеет счетное множество сохраняющихся величин
$$I_k={\int }_{\mathbb{R}n-1}{f}^k(t,x_2,\dots ,x_n)d{x}_2\dots d{x}_n.$$

Таким обрразом, в силу леммы 1 для уравнения Лакса ${\mathrm{L}}_t=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$ сохраняются не собственные числа $f(t,x_2,\dots$ $\dots ,x_n$ ) ошератора $L$, а интегралы $I_k$ от их степеней (2.17).

Здесь возникает кажущееся противоречие с известным утверждением Лакса о сохранении собственных чисел оператора $\mathrm{L}$ в силу уравнения ${\mathrm{L}}_t=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$. Объяснение этого парадокса состоит в следующем. Оператор $L$ действует как в пространстве $H_1$ функций, зависящих только от одной переменной $x_1$, так и в пространстве $H_n$ функций, зависящих от $n$ переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n$, в то время как оператор А действует только в пространстве функций $H_n$. При доказательстве теоремы Лакса одераторы L и А рассматриваются в том пространстве, где они одновременно определены, т. е. в пространстве $H_n$. Собственные числа $f(t,x_2,\dots ,x_n)$ оператора $\mathrm{L}$ определяются в пространстве $H_1$ и в общем случае не связаны с собственными числами оператора L в пространстве $H_n$, которые остаются неизменными в силу теоремы Лакса.

Простейший пример применения Основной леммы возникает, когда оператор $\mathrm{L}$ является диагональной матрицей с компонентами ${\mathrm{L}}_{ij}=f_i(t,x){\delta }_{ij}$, а оператор $\mathrm{A}=$ $=-F(\mathrm{L})\partial /\partial x$. Соответствующее уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений на собственные числа $f_i(t,x)$ :
$$f_{it}=F\left(f_i\right)f_{ix}.$$

Замечание 1. В уравнении (2.4) функции $F_i(t)$, $P(f)$ являются многочленами от $f\mathrm{c}$ коэффициентами ${\overline{c}}_{ik}$, $a_k$, которые являются произвольными гладкими функциями от $t,x_2,\dots ,x_n$. Доказательство леммы 1 переносится и на более широкие классы функций $F_i(f),P(f)$, например, аналитичеокие или мероморфные. Поэтому практически любое квазилинейное уравнение вида (2.4); (2.15) возникает как уравнение на собственные числа оператора L в конструкции (2.1), (2.2).
Уравнение (2.15) для функций $f$ вида
$$f(t,x_2,\dots ,x_n)=f(t,x),x=c_2{x}_2+\dots +c_n{x}_n$$

после введения обозначения $v=c_2{F}_2(f)+\dots +c_n{F}_n(f)$ и умножения на $dv/df$ переходит в уравнение волны Римана
$$v_t+v{v}_x=0.$$

Во всех не постоянных решениях уравнения (2.19) возникает явление опрокидывания (перехлеста) фронта волны $v(t,x)$ и решение становится многозначным.

Уравнение опрокидывающейся волны Римана (2.19) допускает представление Лакса ${\mathrm{L}}_t=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$ со скалярным оператором $\mathrm{L}=v(t,x)$ и дифференциальным оператором $\mathrm{A}=v(t,x)\partial /\partial x$ и является простейшим примером применения леммы 1.

Важнейшим свойством квазилинейных дифференциальных уравнений (2.4)и (2.15) является возникновение многозначности решений, которую, однако, исходя из аналогии с газовой динамикой, часто исключают введением разрывных решений — ударных волн. Условия сшивки решений на разрыве обобщают известные условия Рәнкина — Гюгонио [169].

Замечание 2. Из теории одномерных интегрируемых уравнений известно, что структура солитонных решений таких уравнений связана с собственными числами соответствующего оператора L. Двумерные уравнения, допускающие операторное представление вида (2.1) $(2.2)$, и подобные им уравнения более высокой размернасти также обладают солитонными решениями, структура которых связана с собственными числами $f(t,x_2,\dots$ $\dots ,x_n$ ) оператора L. Существенно, что ввиду указанного поведения собственных чисел многомерные солитоны, как и функции $f(t,x_2,\dots ,x_n)$, являются опрокидывающимися (при $P(f)=0$ ). Такие опрокидывающиеся солитоны будут построены ниже для нескольких двумерных уравнений. Следуя аналогии с газовой динамикой, можно рассматривать разрывные решения $f(t,x_2,\dots ,x_n)$ квазилинейного уравнения (2.15). Соответствующие им солитонные решения также имеют разрывы, являющиеся ударными волнами, и поэтому будут называться в дальнейшем ударными солитонами.
III. Пусть $\psi (t,x_1,x_2,\dots ,x_n)$ — собственная функция оператора $\mathrm{L}$, отвечающая собственному числу $f(t,x_2,\dots$ $\dots ,x_n)$.

Лемма 2. $B$ силу уравнений (2.1)-(2.3) справедливо уравнение
$$\mathrm{L}({\psi }_t+\mathrm{A}\psi )=f({\psi }_t+\mathrm{A}\psi ).$$

Доказательство. После дифференцирования равепства $L\psi =f\downarrow$ по времени находим
$${\mathrm{L}}_t\psi +\mathrm{L}{\psi }_t=f_t\psi +f{\psi }_t.$$

Замепяя здесь ${\mathrm{L}}_t$ и $f_t$ в силу уравнений (2.1), (2.4), получаем уравнение
$$\mathrm{L}({\psi }_t+A\psi )=-\sum _{i=2}^n{F}_i(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}\psi +f{\psi }_t+\mathrm{A}(f\psi ).$$

Последнее слагаемое в силу формулы (2.2) и ввиду того, что функция $f(t,x_2,\dots ,x_n)$ не зависит от $x_1$, имеет вид
$$\mathrm{A}(f\psi )=f\mathrm{A}(\psi )+\sum _{i=2}^n{F}_i(f)\frac{\partial f}{\partial x_i}\psi .$$

Поэтому из равенств $(2.21)$, (2.22) следует уравнение (2.20). Лемма 2 доказана.

Таким образом, функция ${\psi }_t+$ А $\psi$ в силу операторного уравнения (2.1) также является собственной функцией оператора L. Лемма 2 в дальнейшем будет использоваться (так же, как она используется всегда для операторного уравнения Лакса) при применении метода одномерной обратной задачи рассеяния.
3aмечание 3. Данные рассеяния для оператора L (в тех случаях, когда они определены) в силу уравнения (2.1) — (2.2) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка по переменным $t,x_2,\dots ,x_n$. Эти уравнения в ряде случаев допускают полное решение. Соответствующие уравнения, эквивалентные операторным уравнениям (2.1) (2.2), интегрируются методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L.