В данной главе исследуется интегро-дифференциальное уравнение, являющееся континуальным пределом семейства интегрируемых динамических систем, построенных в гл. V. Показано, что это уравнение допускает эквивалентное представление Лакса и обладает счетным набором первых интегралов, представимых в явном аналитическом виде. Построенное интегро-дифференциальное уравнение имеет применения в физике плазмы – т теории кинетических уравнений, описывающих перенос энергии ленгмюровских колебаний по спектру.
§ 1. Интегро-дифференциальное уравнение как континуальный предел семейства динамических систем
I. B гл. V показано, что каждая динамическая система вида (1.3), (3.1), (3.2), (6.20) в континуальном пределе при фиксированном $p$ переходит в уравнение Кортевега – де Фриза. В данном параграфе мы рассмотрим континуальный предел всего семейства динамических систем (1.3) и семейств (3.1), (3.2), (6.20) при $p \rightarrow \infty$.
Динамическая система (1.3) (гл. V) после замены времени $d t / d t_{1}=\varepsilon$ принимает вид
\[
\frac{d a_{i}}{d t_{i}}=a_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a_{i-k}\right) .
\]
Предположим, что $p-1=c / \varepsilon$ п существует такая гладкая функция $a(t, x)$, что $a_{k}(t)=a\left(t, x_{k}\right), x_{k}=k \varepsilon$. Тогда система (1.1) принимает вид
\[
\frac{\partial a\left(t, x_{i}\right)}{\partial t}=a\left(t, x_{i}\right)\left(\sum_{k=1}^{c / \varepsilon} \varepsilon a\left(t, x_{i}+k \varepsilon\right)-\sum_{k=1}^{c / \varepsilon} \varepsilon a\left(t, x_{i}-k \varepsilon\right)\right) .
\]
Система (1.2) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в интегродифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi-\int_{x=c}^{x} a(t, \xi) d \xi\right) .
\]
Уравнение (1.3) можно представить в виде
\[
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\int_{-\infty}^{\infty} T\left(x, x^{\prime}\right) a\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right),
\]
где ядро $T\left(x, x^{\prime}\right)$ антисимметрично и определяется формулами
\[
\begin{array}{cc}
T\left(x, x^{\prime}\right)=T\left(x^{\prime}-x\right), & T(\zeta)=-T(-\zeta), \\
T(\zeta)=1, \quad 0<\zeta \leqslant c, \quad T(\zeta)=0, \quad \zeta>c .
\end{array}
\]
Поэтому уравнение (1.3) согласно [43] является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в плазме по спектру в $x$-пространстве.
II. Динамическая система (3.1) (гл. V) после замены координат и замены времени
\[
a_{k}=\exp \varepsilon u_{k}, \quad \frac{d t}{d t_{1}}=\varepsilon
\]
принимает вид
\[
\frac{d u_{i}}{d t_{1}}=\exp \left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon u_{i+k}\right)-\exp \left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon u_{i-k}\right) .
\]
Предположим, что $p-1=c / \varepsilon$ п существует такая гладкая функция $u(t, x)$, что $u\left(t, x_{k}\right)=u_{k}(t), x_{k}=k \varepsilon$. Тогда система (1.5) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в интегродифференциальное уравнение
\[
\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}=\exp \int_{x}^{x+c} u(t, \xi) d \xi-\exp \int_{x-c}^{x} u(t, \xi) d \xi .
\]
Динамическая система (3.2) после замены (1.4) принимает вид (1.5) с заменой нижнего предела суммирования на $k=0$. Поэтому в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ система (3.2), (1.5) также переходит в уравнение (1.6).
$9^{*}$
Динамическая система (6.20) гл. V после замены времени $d t / d t_{1}=\varepsilon$ принимает вид
\[
\frac{d a_{i}}{d t_{1}}=a_{i}\left(\varepsilon \sum_{j=1}^{r} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i+j+k r}-\varepsilon \sum_{j=1}^{r} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i-j-k r}\right) .
\]
Предположим, что число $m$ фиксировано, $r=c / \varepsilon$ и существует такая гладкая функция $a(t, x)$, что $a_{k}(t)=$ $=a\left(t, x_{k}\right), x_{k}=k \varepsilon$. Тогда уравнение (1.7) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a\left(t, x_{i}\right)}{\partial t}=a\left(t, x_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{c / \varepsilon} \varepsilon \prod_{k=0}^{m-1} a\left(t, x_{i}+j \varepsilon+k c\right)-\right. \\
\left.-\sum_{j=1}^{c / \varepsilon} \varepsilon \prod_{k=0}^{m-1} a\left(t, x_{i}-j \varepsilon-k c\right)\right) .
\end{array}
\]
Система (1.8) после перехода к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразуется в интегро-дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\int_{x}^{x+c} \prod_{k=0}^{m-1} a(t, \xi+k c) d \xi-\right. \\
\left.-\int_{x-c}^{x} \prod_{k=0}^{m-1} a(t, \xi-k c) d \xi\right) .
\end{array}
\]
Уравнение (1.9) при $m=1$ очевидно переходит в уравнение (1.3).
III. Исследуем взаимные связи уравнепий (1.3), (1.6) и (1.9). Проинтегрируем уравнепие (1.6) в пределах от $x-c$ до $x$ и обозначим
\[
v(t, x)=\int_{x-c}^{x} u(t, \xi) d \xi .
\]
Получим уравнение
\[
\frac{\partial v(t, x)}{\partial t}=\int_{x}^{x+c} \exp v(t, \xi) d \xi-\int_{x-c}^{x} \exp v(t, \xi) d \xi,
\]
которое после замены
\[
a(t, x)=\exp v(t, x), \quad a(t, x)=\exp \int_{x-c}^{x} u(t, \xi) d \xi
\]
принимает вид (1.3).
Уравнение (1.9) после подстановки
\[
u(t, x)=\frac{\partial \varphi(t, x)}{\partial x}
\]
преобразуется в уравнение
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial x}=e^{\varphi(t, x+c)-\varphi(t, x)}-e^{\varphi(t, x)-\varphi(t, x-c)} .
\]
Уравнение (1.11) после дифференцирования по $x$ принимает вид
\[
\frac{\partial^{2} v}{\partial t \partial x}=e^{v(t, x+c)}-2 e^{v(t, x)}+e^{v(t, x-c)}
\]
и получается из уравнения (1.14) с помощью замены (1.10)
\[
v(t, x)=\varphi(t, x)-\varphi(t, x-c) .
\]
Уравнение (1.14) по своей структуре напоминает двумеризованную цепочку Тода
\[
\frac{\partial^{2} \varphi_{k}}{\partial t \partial x}=e^{\varphi_{k+1}(t, x)-\varphi_{k}(t, x)}-e^{\varphi_{k}(t, x)-\varphi_{k-1}(t, x)},
\]
которая является системой счетного числа уравнений на функции $\varphi_{k},-\infty<k<+\infty$. Уравнения (1.16) на инвариантном подмногообразии, определенном счетным числом условий
\[
\varphi_{k}(t, x)=\varphi(t, x+k c),
\]
совпадают с уравнением (1.14). Одпако все известные решения двумеризованной цепочки Тода (1.16) че принадлежат инвариантному подмногообразию (1.17) п поэтому ничего не дают для исследования уравнения (1.14).
Уравнение (1.14) на инвариантном подмногообразии $\varphi(t, x+c)=-\varphi(t, x)$ сводится к гиперболическому уравнению Синус Гордона
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial x}(t, x)=2 \operatorname{sh}(-2 \varphi(t, x)) .
\]
Покажем, что уравнение (1.9) с помощью отображения
\[
b(t, x)=\prod_{k=0}^{m-1} a(t, x+k c)
\]
преобразуется в уравнение вида (1.3). Действительно, из уравнения (1.9) в точках $x, x+c, \ldots, x+(m-1) c$ следует уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial b(t, x)}{\partial t}=b(t, x)\left(\sum_{k=0}^{m-1}\right. & \int_{x+k c}^{x+(k+1) c} b(t, \xi) d \xi- \\
& \left.-\sum_{k=0}^{m-1} \int_{x+(k-1) c}^{x+k c} b(t, \xi-(m-1) c) d \xi\right) .
\end{aligned}
\]
Это уравнение после сложения интегралов принимает вид
\[
\frac{\partial b(t, x)}{\partial t}=b(t, x)\left(\int_{x}^{x+m c} b(t, \xi) d \xi-\int_{x-m c}^{x} b(t, \xi) d \xi\right),
\]
совпадающий с (1.3) после замены $m c$ на $c$.
Таким образом, интегро-дифференциальные уравнения (1.6), (1.9) и уравнение (1.14) вкладываются в более общее интегро-дифференцальное уравнение (1.3). Поэтому в дальнейшем мы будем изучать именно это уравнение.
