I. В § 3 и § 4 доказывается следующая теорема [125-127].

Теорема 2. Поступательно-вращательное движение произвольного твердого тела $T$ в ньютоновском гравитационком поле с произвольным квадратичным потенциалом
\[
\varphi\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{3}\left(a_{i j} x^{i} x^{j}+b_{i} x^{i}\right)
\]

определяется гамильтоновой системой, вполне интегрируемой по Лиувиллю. Динамика центра масс $О$ интегрируется в элементарных функциях; вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана.

Пусть в системе неподвижного наблюдателя $F$ центр масс $O$ твердого тела $T$ имеет координаты $q^{i}(t)$. Определим систему отсчета $S$ с координатами $r^{1}, r^{2}, r^{3}$, жестко связанную с твердым телом $T$, в которой тензор инерции твердого тела диагонален и имеет компоненты $I_{i k}=$ $=I_{i} \delta_{i k}$; центр системы $S$ совпадает с центром масс $O$. Координаты $x^{i}$ и $r^{j}$ связаны преобразованием
\[
x^{i}=\sum_{j=1}^{3} Q_{j}^{i}(t) r^{j}+q^{i}(t)
\]

где $Q_{j}^{i}(t)$ – компоненты ортогональной матрицы $Q(t)$. ІІо определению ньютоновского гравитационного потенциала сила $f$, действующая на частицу массы $m$ в поле с потенциалом $\varphi$ (3.1), равна – $m \operatorname{grad} \varphi$.

Функция Лагранжа твердого тела $T$ в неподвижной системе отсчета $F$ является интегралом по объему тела $T$ от функций Лагранжа составляющих его точек:
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} \int_{T} \rho(\mathbf{r}) \sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3} \dot{Q}_{j}^{i} r^{j}+\dot{q}^{i}\right)^{2} d^{3} \mathbf{r}- \\
-\int_{T} \rho(\mathbf{r}) \varphi\left(\sum_{j=1}^{3} Q_{j}^{1} r^{5}+q^{1}, \sum_{j=1}^{3} Q_{j}^{2} r^{j}+q^{2}, \sum_{j=1}^{3} Q_{j}^{3} r^{j}+q^{3}\right) d^{3} \mathbf{r},
\end{array}
\]

где $\rho(\mathbf{r})$ – плотность массы твердого тела. В силу определения тензора $I_{\text {iк }}$ и определения центра масс твердого тела справедливы формулы
\[
\int_{T} \rho(\mathbf{r}) r^{i} r^{j} d^{3} \mathbf{r}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(I) \delta_{i j}-I_{i j}=J_{i j}, \int_{T} \rho(\mathbf{r}) r^{i} d^{3} \mathbf{r}=0 .
\]

Выражение (3.3) после подстановки формулы (3.1) п интегрирования по объему тела в силу формул (3.4):

принимает вид
\[
L=\frac{1}{2} m(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}})+\frac{1}{2} \sum_{i, j, k}^{3} \dot{Q}_{j}^{i} J_{j k} \dot{Q}_{k}^{i}+\varphi(\mathbf{q})-\frac{1}{2} \sum_{i, j, \alpha, \beta}^{3} a_{i j} Q_{\alpha}^{i} Q_{\beta}^{j} J_{\alpha \beta},
\]

где $m$ – полная масса твердого тела $T$. Второе слагаемое в формуле (3.5) имеет вид $\operatorname{Tr}\left(\dot{Q} \dot{Q}^{t}\right)$. Ичгользуя формулы $Q^{\prime}=Q^{-1},\left(Q^{-1}\right)^{\cdot}=-Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}$, получаем
\[
\operatorname{Tr}\left(\dot{Q} \dot{J} \dot{Q}^{t}\right)=-\operatorname{Tr}\left(J Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1} \dot{Q}\right) .
\]

Из выражения (3.5) следует, что переменные $q^{i}$ и $Q_{k}^{j}$ в лагранжиане $L$ разделяются. Это важное свойство характерно только для ньютоновского гравитационного потенциала и является следствием равенства инертной и гравитационной масс. Динамика центра масс $O$ (переменные $q^{i}$ ) описывается лагранжевой системой в евклидовом пространстве $R^{3}$ с лагранжианом
\[
L_{1}=\frac{1}{2} m(\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}})-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{3}\left(a_{i j} q^{i} q^{j}+b_{i} q^{i}\right) .
\]

Вращение твердого тела относительно центра масс $O$ описывается лагранжевой системой на группе Ли SO(3) с лагранжианом
\[
L_{2}=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(J Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1} \dot{Q}\right)+\frac{1}{2} \sum_{i, j, \alpha, \beta}^{3} a_{i j} Q_{\alpha}^{i} Q_{\beta}^{j} I_{\alpha \beta} .
\]

При этом $L=L_{1}+L_{2}-\frac{1}{4} \operatorname{Tr} a \cdot \operatorname{Tr} I$.
Лагранжевы уравнения, соответствующие лагранжиану $L_{1}$ (3.7), являются линейными, распадаются на три лагранжевых уравнения с одной степенью свободы и интегрируются в элементарных функциях.

Лагранжиан $L_{2}$ (3.8) описывает также вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (которая может не совпадать с центром масс) в ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом
\[
\varphi_{0}(x)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{3} a_{i j} x^{i} x^{j} .
\]

Матрица $\omega$ угловой скорости твердого тела, отнесенная к системе отсчета $S$, определяется формулой $\omega=Q^{-1} \dot{Q}$.

Матрица кинетического момента $M$ в системе $S$ имеет компоненты $M_{i j}=I_{k} \omega_{i j}, i, j, k=1,2,3$. Уравнения Эйлера вращения твердого тела, эквивалентныс лагранжевой системе с лагранжианом $L_{2}(3.8)$, имеют вид
\[
\dot{M}=[M, \omega]+K, \quad \dot{Q}=Q \omega,
\]

где $K$ – кососимметрическая матрица моментов сил, действующих на твердое тело, имеющая компонепты
\[
K_{\alpha \beta}=\sum_{s=1}^{3}\left(\frac{\partial U}{\partial Q_{\beta}^{s}} Q_{\alpha}^{s}-\frac{\partial U}{\partial Q_{\alpha}^{s}} Q_{\beta}^{s}\right) .
\]

Потенциальная функция $U(Q)$ в силу (3.8) определяется формулой
\[
U(Q)=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(I Q^{t} a Q\right) .
\]

Матрица $K$ в силу выражений (3.11), (3.12) имеет вид
\[
K=I Q^{t} a Q-Q^{t} a Q I=-[u, I], \quad u=Q^{t} a Q .
\]

Спмметрическая матрица $u=Q^{t} a Q$ определяет вид потенциала (3.9) во вращающейся системе отсчета $S$. Матрицы $u$ и а подобны, их собственные числа $\lambda_{i}(u)$ и $\lambda_{i}(a)$ совпаданот.

Уравнения (3.10) в силу формул (3.13) отображаются в систему уравнений
\[
\dot{M}=[M, \omega]-[u, I], \quad \dot{u}=[u, \omega],
\]

совпадающую с системой (2.6). Уравнения (3.14) на инвариантном подмногообразии $M^{6}$, ошределенном условиями $\lambda_{i}(u)=\lambda_{i}(a)$, эквивалентны лагранжевой системе на груше Ли SO(3) с лагранжианом (3.8). Из теоремы 1 ( $\S 2$ ) следует, что система (2.6), (3.14) на симплектических подмногообразиях $M^{6}$ вголне интегрируема по Лиувиллю. Следовательно, это же справедливо и для лагранжевой системы с лагранжианом $L_{2}(3.8)$.

Доказательство интегрируемости системы (2.6), (3.14) в тәта-функциях Римана будет дано ниже в § 4.
II. Укажем еще один вывод системы (3.14), использующий векторную форму уравнепий Эйлера (3.10). Выберем орты $\alpha, \beta, \gamma$ неподвижной системы отсчета $F$ совпадающими с главными осями квадратичной формы (3.9); после такого. преобразования имеем $2 \varphi(x)=$ $=a_{1}\left(x^{1}\right)^{2}+a_{2}\left(x^{2}\right)^{2}+a_{3}\left(x^{3}\right)^{2}$. Далее все векторы $\alpha, \beta, \gamma$, М, о представлены во вращающейся системе отсчета $S$, жестко связанной с твердым телом $T$, в которой тензор инерции диагонален, $I_{i k}=I_{i} \delta_{i k}$. Потенциальная эиергия твердого тела в ньютоновском гравитационном поле в силу формул (3.4) имеет вид
\[
\begin{array}{l}
U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=\int_{T} \rho(\mathbf{r}) \varphi((\mathbf{r}, \boldsymbol{\alpha}),(\mathbf{r}, \boldsymbol{\beta}),(\mathbf{r}, \boldsymbol{\gamma})) d r^{1} d r^{2} d r^{3}= \\
=U_{0}-\frac{1}{2} a_{1}\left(I_{1} \alpha_{1}^{2}+I_{2} \alpha_{2}^{2}+I_{3} \alpha_{3}^{2}\right)-\frac{1}{2} a_{2}\left(I_{1} \beta_{1}^{2}+I_{2} \beta_{2}^{2}+I_{3} \beta_{3}^{2}\right)- \\
-\frac{1}{2} a_{3}\left(I_{1} \gamma_{1}^{2}+I_{2} \gamma_{2}^{2}+I_{3} \gamma_{3}^{2}\right),
\end{array}
\]

где $U_{0}=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}\right) / 4$.
Уравнения вращения твердого тела $T$ в ньютоновском поле с потенциалом $\varphi\left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)$ в системе отсчета $S$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\left(\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\alpha}}\right) \times \boldsymbol{\alpha}+\left(\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\beta}}\right) \times \boldsymbol{\beta}+\left(\frac{\partial U}{\partial \gamma}\right) \times \gamma^{\prime}(3 \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.16) после подстановки формул применения отображения (2.3) принимают вид
\[
\begin{array}{r}
\dot{M}=[M, \omega]+a_{1}[\alpha, C \alpha+\alpha C]+a_{2}[\beta, C \beta+\beta C]+ \\
+a_{3}[\gamma, C \gamma+\gamma C], \\
\dot{\alpha}=[\alpha, \omega], \quad \dot{\beta}=[\beta, \omega], \quad \dot{\gamma}=[\gamma, \omega],
\end{array}
\]

где матрица $C$ имеет компоненты $C_{i j}=\left(2^{-1}\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}\right)\right.$ – $\left.I_{i}\right) \delta_{i j}, M_{i j}=I_{k} \omega_{i j}(i, j, k=1,2,3)$. В силу уравнений (3.17) имеем
\[
\left(\alpha^{2}\right)^{\cdot}=\left[\alpha^{2}, \omega\right], \quad\left(\beta^{2}\right)^{*}=\left[\beta^{2}, \omega\right], \quad\left(\gamma^{2}\right)^{\cdot}=\left[\gamma^{2}, \omega\right] .
\]

Введем симметрическую матрицу $u=a_{1} \alpha^{2}+a_{2} \beta^{2}+$ $+a_{3} \gamma^{2}$. Из уравнений (3.17), (3.18) в силу тождеств
\[
[x, C x+x C]=\left[x^{2}, C\right], \quad[u, C]=-[u, I]
\]

получаем следствие
\[
\dot{M}=[M, \omega]-[u, I], \quad \dot{u}=[u, \omega] .
\]

Система уравнений (3.19) очевидно совпадает с системами (2.6) и (3.14).