Возьмем эрмитов оператор $\mathrm{L}$ в виде
\[
\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cc}
i p_{1} & 0 \\
0 & i p_{2}
\end{array}\right) \partial_{x}+v\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]
где $v(t, x, y)$ – вещественная фупкция, $p_{1}$ и $p_{2}$ – вещественные постоянные. Косоэрмитов оператор А выберем в виде
\[
\mathrm{A}=-\alpha\left(\partial_{y} \mathrm{~L}^{2}+\mathrm{L}^{2} \partial_{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathrm{~A}_{0} \partial_{x}+\partial_{x} \mathrm{~A}_{0}\right)+i w\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]
где $\alpha$ – вещественная постоянная, $w(t, x, y)$ – неизвестная вещественная функция, $\mathrm{A}_{0}$ – эрмитова матрица, зависящая от $t, x, y$ :
\[
A_{0}=\left(\begin{array}{cc}
a & -i c \\
i c & b
\end{array}\right) .
\]
Предположим, что операторы L и А удовлетворяют уравнению Јакса
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}] .
\]
Уравнение (5.4) в силу тождества
\[
-\left[\mathrm{L}, \partial_{y} \mathrm{~L}^{2}+\mathrm{L}^{2} \partial_{y}\right]=\mathrm{L}_{y} \mathrm{~L}^{2}+\mathrm{L}^{2} \mathrm{~L}_{v}
\]
является равенством двух эрмитовых операторов, содержащих только дифференциальные операторы $\partial_{x}^{2}, \partial_{x}$. Приравнивая в уравнении (5.4) коэффициенты при операто$\operatorname{pax} \partial_{x}^{2}, \partial_{x}$, получаем формулы, выражающие функции $a, b, c, w$ через функцию $v$ :
\[
\begin{array}{c}
a=-\frac{2 p_{1} \alpha}{p_{1}-p_{2}} \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}, \quad b=\frac{2 p_{2} \alpha}{p_{1}-p_{2}} \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y} \\
c=\alpha \frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{p_{1}-p_{2}} v_{y} \\
w=\alpha \frac{\left(p_{1}+p_{2}\right)\left(4 p_{1} p_{2}-p_{2}^{2}-p_{2}^{2}\right)}{2\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}} v_{x y}+2 \alpha \frac{p_{1}+p_{2}}{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}} v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y} .
\end{array}
\]
При выполнении условий (5.6) операторное уравнение (5.4) әквивалентно следующему уравнению на функцию
$v(t, x, y):$
\[
\begin{array}{c}
v_{t}=\alpha_{1}\left(v_{x x y}+\beta\left(v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}\right)_{x}\right), \\
\alpha_{1}=-\frac{2 p_{1}^{2} p_{2}^{2} \alpha}{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}}, \quad \beta=\frac{2}{p_{1} p_{2}} .
\end{array}
\]
Таким образом, уравнение (5.7) допускает эквивалентноө представление Јакса с эрмитовым оператором L (5.1). Уравнение (5.7), очевидно, эквивалентно уравнению (4.16). При $p_{1} p_{2}>0$ уравнение (5.7) эквивалентно уравнению (1.6), при $p_{1} p_{2}<0$ уравнение (5.7) эквивалентно модифицированному уравнению (1.5). Поэтому оба уравнения (1.5), (1.6) допускают представление Лакса (5.4). с эрмитовым оператором L (5.1).
При $y \equiv x$ уравнение (5.7) переходит в уравнения МКдФ (1.7). При этом оператор L совпадает с оператором $L$ из работы [42], но оператор A (5.2) после замены $\partial_{y}$ на $\partial_{x}$ не совпадает с оператором А из работы [42].
Замечание. Рассмотрим уравнение
\[
\mathrm{L}=\gamma \mathrm{L}+\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}-\gamma x \partial_{x}\right],
\]
где операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ определены формулами (5.1), (5.2), (5.6), $\gamma$ – произвольная функция от $t$ и $y$. Используя вывод уравнения (5.7), нетрудно получить, что ошераторное уравнение (5.8) эквивалентно уравнению
\[
v_{t}=\alpha_{1}\left(v_{x x y}+\beta\left(v \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}\right)_{x}\right)+\gamma(x v)_{x} .
\]
Все формулы для решений уравнения (5.7) (см. нъжө $\S 6,7$ ) после простых изменений переносятся и на решения уравнения (5.9).
