I. В данном параграфе мы выведем систему двух уравнений, допускающую эквивалентное представление Лакса
\[
\mathrm{L}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}\right]
\]

с самосопряженным оператором $\mathrm{L}_{1}$ четвертого порядка. Оператор $L_{1}$ представим в виде
\[
\mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}^{2}+v=\partial_{x}^{4}-u \partial_{x}^{2}-\partial_{x}^{2} u+u^{2}+v,
\]

где $\mathrm{L}$ – оператор Шрёдингера
\[
\mathrm{L}=-\partial_{x}^{2}+u(t, x),
\]
$u(t, x)$ и $v(t, x)$ – непзвестные функции. Выберем оператор А в виде
\[
\mathrm{A}=4 \partial_{x}^{\mathbf{s}}-3\left(u \partial_{x}+\partial_{x} u\right) .
\]

Справедливо известное равенство
\[
[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=K(u)=6 u u_{x}-u_{x x x} .
\]

Уравнение Лакса (9.1) в силу формул (9.2)- (9.5) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
-u_{t} \partial_{x}^{2}-\partial_{x}^{2} u_{t}+2 u u_{t}+v_{t}=\mathrm{L}[\mathrm{L}, \mathrm{A}]+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \mathrm{L}+[v, \mathrm{~A}]= \\
=-K(u) \partial_{x}^{2}-\partial_{x}^{2} K(u)+2 u K(u)-6\left(v_{x} \partial_{x}^{2}+\partial_{x x}^{2} v_{x}\right)+ \\
+6 u v_{x}+2 v_{x x x} .
\end{array}
\]

Это операторное уравнение эквивалентно следующим двум дифференциальным уравнениям:
\[
\begin{aligned}
u_{t} & =K(u)+6 v_{x}, \\
2 u u_{t}+v_{t} & =2 u K(u)+6 u v_{x}+2 v_{\operatorname{sxx} x} .
\end{aligned}
\]

Исключая из второго уравнения (9.7) в силу первого уравнения производную $u_{t}$ и подставляя выражение (9.5), приходим к системе эволюционных уравнений
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}+6 v_{x}, v_{t}=-6 u v_{x}+2 v_{x x x} .
\]

В силу проведенного построения система (9.8) эквивалентна уравнению Лакса (9.1) с оператором $L_{1}$ четвертого порядка (9.2) и оператором А третьего порядка (9.4). Следовательно, система (9.8) интегрируема методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором $\mathrm{L}_{1}$. Теория прямой и обратной задач рассеяния для общих самосопряженных операторов L четвертого порядка развита в работах [84-85].
Из первого уравнения (9.8) находим
\[
6 v=\partial_{x}^{-1} u_{t}-3 u^{2}+u_{x x} .
\]

Подставляя это выражение во второе уравнение (9.8) и дифференцируя по $x$, получаем интегрируемое дифференциальное уравнение второго порядка по $t$ :
\[
\begin{array}{l}
u_{t t}=\left(3 u^{2}-u_{x x}\right)_{x t}+2\left(u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}\right)_{x x x}- \\
-6\left(u\left(u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}\right)\right)_{x} .
\end{array}
\]

Уравнение (9.9) может быть представлено также в виде
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}+w, w_{t}=-6(u w)_{x}+2 w_{x x x} .
\]

Решения уравнения КдФ определяют инвариантное подмногообразие $w=0$ уравнений (9.9) – (9.10).

Система уравнений (8.20), допускающая представление Лакса с эрмитовым оператором четвертого порядка $\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}}$ (8.19), после переобозначений $f=u, h=v$ принимает вид
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}+6\left(v^{2}\right)_{x}, \quad v_{t}=-6 u v_{x}+2 v_{x x x} .
\]

Системы (9.8), (9.11) при всем своем очевидном сходстве являются двумя различными интегрируемыми расширениями уравнения КдФ, которое выделяется условием $v(t, x)=$ const.
II. Уравнение КдФ и уравнение МКдФ связаны, как известно, двумя преобразованиями Миуры, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора ІІрёдингера $L$ (9.3). Покажем, что в полной аналогии с этими свойствами существует некоторая система двух уравнений, модифицированная по отношению к системе (9.8), также связанная с ней двумя нелинейными преобразованиями, обусловленными двумя различными разложениями на множители оператора четвертого порядка $\mathrm{L}_{1}$ (9.2).
Оператор $\mathrm{L}_{1}$ разложим на множители двумя способами:
\[
\mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}_{2}^{t} \mathrm{~L}_{2}, \quad \mathrm{~L}_{1}=\widetilde{\mathrm{L}}_{2} \widetilde{\mathrm{L}}_{2}^{t},
\]

где операторы $\mathrm{L}_{2}, \tilde{\mathrm{L}}_{2}$ имеют вид
\[
\mathrm{L}_{2}=-\partial_{x}^{2}+b \partial_{x}+\partial_{x} b+a, \quad \tilde{\mathrm{L}}_{2}=-\partial_{x}^{2}+\tilde{b} \partial_{x}+\partial_{x} \tilde{b}+\tilde{a}
\]

с неизвестными функциями $a(t, x), b(t, x), \tilde{a}(t, x)$, $\tilde{b}(t, x)$. В силу первого разложения (9.12) получаем
\[
\begin{aligned}
\mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}_{2}^{t} \mathrm{~L}_{2}=\partial_{x-1}^{4}- & \left(a+2\left(b^{2}+b_{x}\right)\right) \partial_{x}^{2}-\partial_{x}^{2}\left(a+2\left(b^{2}+b_{x}\right)\right)+ \\
& +a^{2}-2 a_{x} b+2 b b_{x x}+3 b_{x}^{2}+b_{x x x} .
\end{aligned}
\]

Отсюда находим связь функций $u, v$ и $a, b$ :
\[
u=a+2\left(b^{2}+b_{x}\right), \quad v=a^{2}-2 a_{x} b+2 b b_{x x}+3 b_{x}^{2}+b_{x x x}-u^{2} .
\]

В силу второго разложения на множители (9.12) получаем
\[
\begin{array}{r}
\mathrm{L}_{1}=\widetilde{\mathrm{L}}_{2} \widetilde{\mathrm{L}}_{2}^{t}=\partial_{x}^{4}-\left(\tilde{a}+2\left(\widetilde{b}^{2}-\widetilde{b}_{x}\right)\right) \partial_{x}^{2}-\partial_{x}^{2}\left(\tilde{a}+2\left(\widetilde{b}^{2}-\widetilde{b}_{x}\right)\right)+ \\
+\widetilde{a}^{2}+2 \tilde{a}_{x} \widetilde{b}+2 \widetilde{b}_{x x}+3 \widetilde{b}_{x}^{2}-\widetilde{b}_{x x x} .
\end{array}
\]

Отсюда следуют формулы
\[
u=\tilde{a}+2\left(\tilde{b}^{2}-\tilde{b}_{x}\right), v=\tilde{a}^{2}+2 \tilde{a}_{x} \tilde{b}+2 \tilde{b} \tilde{b}_{x x}+3 \tilde{b}_{x}^{2}-\tilde{b}_{x x x}-u^{2} .
\]

Дифференциальные уравнения на переменные $a(t, x)$, $b(t, x)$ мы выведем из операторного уравнения
\[
\mathrm{L}_{2}=\mathrm{L}_{2} \mathrm{~A}_{1}+\mathrm{B}_{1} \mathrm{~L}_{2}
\]

и после этого покажем, что из (9.18) при двух преобразованиях, определенных формулами (9.12), следует уравнение Лакса (9.1). Операторы $\mathrm{A}_{1}$ и $\mathrm{B}_{1}$ (9.18) являются кососимметрическими и определены формулами
\[
\mathrm{A}_{1}=4 \partial_{x}^{3}-u_{1} \partial_{x}-\partial_{x} u_{1}, \quad-\mathrm{B}_{1}=4 \partial_{x}^{3}-u_{2} \partial_{x}-\partial_{x} u_{2}
\]

с неизвестными функциями $u_{1}(t, x), u_{2}(t, x)$. Уравнение (9.18) после подстановки формул (9.13), (9.19) сводится к следующим дифференциальным уравнениям для функций $a, b, u_{1}, u_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
u_{1}-u_{2}=12 b_{x},\left(5 u_{1}-u_{2}\right)_{x}=12\left(a_{x}+4 b b_{x}+3 b_{x x}\right), \\
a_{t}+b_{t x}=u_{1 x x x}-4 a_{x x x}-4 b_{x x x x}-2 b u_{1 x x}- \\
-\left(a+b_{x}\right)\left(u_{1 x}-u_{2 x}\right)+2\left(a_{x}+b_{x x}\right) u_{2}, \\
b_{t}=2 u_{1 x x}-6 a_{x x}-10 b_{x x x}-a\left(u_{1}-u_{2}\right)- \\
-b\left(3 u_{1 x}-u_{2 x}\right)-b_{x}\left(u_{1}-3 u_{2}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (9.20) разрешаются относительно функций $u_{1}(t, x)$ и $u_{2}(t, x)$ :
\[
u_{1}=3\left(a+2\left(b^{2}+b_{x}\right)\right), \quad u_{2}=3\left(a+2\left(b^{2}-b_{x}\right)\right) .
\]

Уравнения (9.21), (9.22) после подстановки формул (9.23) переходят в систему двух эволюционных уравнений
\[
\begin{array}{l}
a_{t}=6 a a_{x}-a_{x x x}+12 a_{x} b^{2}+12 b_{x} b_{\max }, \\
b_{t}=2 b_{x \operatorname{xxx}}-12 b^{2} b_{x}-6(a b)_{x .} .
\end{array}
\]

Система уравнений (9.24) в силу проведенного вывода эквивалентна операторному уравнению (9.18). Поэтому согласно утверждению 1 из § 3 система (9.24) допускает әквивалентное представление Лакса с матричными операторами
\[
\dot{\mathrm{L}}_{3}=\left[\mathrm{I}_{3}, \mathrm{~A}_{3}\right], \quad \mathrm{L}_{3}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \mathrm{~L}_{2}^{t} \\
\mathrm{~L}_{2} & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{A}_{3}=\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{A}_{1} & 0 \\
0 & -\mathrm{B}_{1}
\end{array}\right) .
\]

Из уравнения (9.18) следуют также два уравнения Лакса
\[
\left(\mathrm{L}_{2}^{t} \mathrm{~L}_{2}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{L}_{2}^{t} \mathrm{~L}_{2}, \mathrm{~A}_{1}\right], \quad\left(\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t},-\mathrm{B}_{1}\right] .
\]

Оператор $\mathrm{L}_{2}^{t} \mathrm{~L}_{2} \quad$ в силу формул (9.14), (9.15) совпадает с оператором $L_{1}$. Oператор $A_{1}(9.19)$ в силу формулы (9.23) для функции $u_{1}(t, x)$ и формулы (9.15) для функции $u(t, x)$ совпадает с одератором А (9.4). Поэтому первое уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.15) следует система (9.8).

Аналогично ошератор $\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t} \quad$ в силу формул (9.16), (9.17) совпадает с оператором $\mathrm{L}_{1}$. Оператор – $\mathrm{B}_{1}$ (9.19) в силу формулы (9.23) для функции $u_{2}(t, x)$ и формулы (9.17) для функции $u(t, x)$ совпадает с оператором А (9.4). Поэтому второе уравнение (9.26) эквивалентно уравнению Лакса (9.1), из которого следует система (9.8). Ввиду этого из системы уравнений (9.24) при преобразовании (9.17) также следует система (9.8).

Два преобразования $\mathrm{T}_{1}$ (9.15) и $\mathrm{T}_{2}$ (9.17) получаются друг из друга заменой $a \rightarrow \tilde{a}, b \rightarrow-\tilde{b}$, которая соответствует инвариантности системы (9.24) относительно изменения знака переменной $b$ (такая же инвариантность имеется и у модифидированного уравнения Кортевегаде Фриза). Преобразование $\mathrm{T}_{2} \mathrm{~T}_{1}^{-1}$ или $\mathrm{T}_{1} \mathrm{~T}_{2}^{-1}$ является преобразованием Беклунда для системы (9.24).

Уравнения (9.24) при $b(t, x)=0$ сводятся к уравнению Кортевега – де Фриза и поэтому также являются его интегрируемым расширением. По-видимому, системы уравнений (9.8) и (9.24) обладают счетными множествами локальных законов сохранения.
III. Укажем операторное представление вида (9.18) для уравнений модифицированной цепочки Тода [49]
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(b_{k}^{2}-b_{k+1}^{2}\right), \quad \dot{b}_{k}=b_{k}\left(a_{k-1}^{2}-a_{k}^{2}\right) .
\]

Пусть L, A, B – бесконечные или периодические (modulo $n$ ) матрицы, имеющие только следующие ненулевые элементы:
\[
\begin{array}{lrlrl}
\mathrm{L}_{i, i+1} & =a_{i}, & \mathrm{~L}_{i, i} & =b_{i}, \\
\mathrm{~A}_{i, i+1} & =-\mathrm{A}_{i+1, i}=x_{i}, & \mathrm{~B}_{i, i+1} & =-\mathrm{B}_{i+1, i}=y_{i} .
\end{array}
\]

Тогда уравнение (9.18) эквивалентно следующей системе уравнений:
\[
\begin{aligned}
a_{i} x_{i+1} & =-y_{i} a_{i+1}, & b_{i+1} x_{i} & =-y_{i} b_{i}, \\
\dot{a}_{i} & =b_{i} x_{i}+y_{i} b_{i+1}, & \dot{b}_{i} & =-a_{i} x_{i}-y_{i-1} a_{i-1} .
\end{aligned}
\]

Решение алгебраических уравнений (9.29) определяется формулами
\[
x_{i}=\gamma a_{i} b_{i}, \quad y_{i}=-\gamma a_{i} b_{i+1} .
\]

В дальнейшем произвольную постоянную $\gamma$ полагаем равной 1. Дифференциальные уравнения (9.30) после подстановки формул (9.31) принимают вид динамической системы (9.27). Таким образом система (9.27) допускает эквивалентное операторное представление (9.18) с кососимметрическими матрицами А и В. Поэтому в силу утверждения 1 из § 3 система (9.27) допускает также эквивалентное представление Лакса (9.25). Следствиями системы (9.27) являются два уравнения Лакса (9.26).

Симметрические матрицы $\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}$ и $\mathrm{LL}^{t}$ в силу формул (9.28) имеют следующие ненулевые элементы:
\[
\begin{array}{l}
\left(\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}\right)_{i i}=a_{i-1}^{2}+b_{i}^{2}, \quad\left(\mathrm{~L}^{t} \mathrm{~L}\right)_{i, i+1}=\left(\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}\right)_{i+1, i}=a_{i} b_{i}, \\
\left(\mathrm{LL}^{t}\right)_{i i}=a_{i}^{2}+b_{i}^{2}, \quad\left(\mathrm{LL}^{t}\right)_{i, i+1}=\left(\mathrm{LL}^{t}\right)_{i+1, i}=a_{i} b_{i+1} .
\end{array}
\]

Определим два отображения переменных $a_{i}, b_{j}$ в переменные $p_{i}, c_{k}$ :
\[
\begin{array}{ll}
p_{i}=a_{i-1}^{2}+b_{i}^{2}, & c_{i}=a_{i} b_{i}, \\
p_{i}=a_{i}^{2}+b_{i}^{2}, & c_{i}=a_{i} b_{i+1} .
\end{array}
\]

Уравнения (9.26) в силу формул (9.28), (9.31) – (9.34) совпадают с уравнениями цепочки Тода
\[
\dot{p}_{i}=2\left(c_{i-1}^{2}-c_{i}^{2}\right), \quad \dot{c}_{i}=c_{i}\left(p_{i}-p_{i+1}\right) .
\]

Следовательно, формулы (9.33), (9.34) определяют два отображения модифицировапной цепочки Тода (9.27) в классическую цепочку Тода (9.35).
Уравнения (9.27) после подстановки
\[
a_{i}=\exp \left(q_{i}-q_{i+1}\right), \quad b_{i}=\exp \left(\bar{p}_{i} / 2\right)
\]

преобразуются в гамильтонову систему уравнений
\[
\dot{\bar{p}}_{i}=2\left(\exp 2\left(q_{i-1}-q_{i}\right)-\exp 2\left(q_{i}-q_{i+1}\right)\right), \quad \dot{q}_{i}=\exp \bar{p}_{i},
\]

имеющую гамильтониан
\[
H=\Sigma \exp \bar{p}_{i}+\Sigma \exp 2\left(q_{i}-q_{i+1}\right) .
\]

Кинетическая энергия в гамильтониане (9.38) имеет нестандартный вид суммы экспонент от импульсов. Проведенные построения доказывают также, что «экспоненциальная цепочка Тода» (9.37) отображается в классическую депочку Тода (9.35) с помощью двух отображений (9.33), (9.34).