I. Пусть L- симметрическая матрица, имеющая вид матрицы Якоби:
Матрица А является кососимметрической и имеет следующие ненулевые элементы
\[
\mathrm{A}_{i, i+2}=x_{i}, \quad \mathrm{~A}_{i+2, i}=-x_{i}, \quad i=1, \ldots, n-2 .
\]
Рассмотрим для указанных матриц $L$ и $A$ операторное уравнение
\[
\mathrm{L}_{t}=\mathrm{LL}_{y} \mathrm{~L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] .
\]
Это уравнение эквивалентно системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
a_{i}\left(a_{i+1}\right)_{y} a_{i+2}=a_{i+2} x_{i}-a_{i} x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-3, \\
\left(a_{i}\right)_{t}=\frac{1}{2} a_{i}\left(\left(a_{i-1}^{2}\right)_{y}+\left(a_{i}^{2}\right)_{y}+\left(a_{i+1}^{2}\right)_{y}\right)+a_{i-1} x_{i-1}+a_{i+1} x_{i} .
\end{array}
\]
Для разрепения уравнений (1.4) относительно неизвестных $x_{i}$ сделаем подстановку
\[
x_{i}=a_{i} a_{i+1} b_{i} .
\]
В силу (1.4) получаем
\[
\left(a_{i+1}\right)_{y} a_{i+1}^{-1}=b_{i}-b_{i+1} .
\]
Репшение этой системы имеет вид
\[
b_{i}=-\sum_{k=1}^{k=i}\left(a_{k}\right)_{y} a_{k}^{-1}-\beta / 2,
\]
где $\beta$ – произвольная функция от $t, y$.
Система (1.5) после подстановки формул (1.6), (1.8) принимает вид
\[
\begin{array}{r}
\left(a_{i}\right)_{t}=\frac{1}{2} a_{i}\left(\left(a_{i}^{2}\right)_{y}+2 a_{i+1}^{2} \sum_{k=1}^{k=i+1}\left(a_{k}\right)_{y} a_{k}^{-1}-2 a_{i} \sum_{k=1}^{k=i-2}\left(a_{k}\right)_{y} a_{k}^{-1}+\right. \\
\left.+\beta\left(a_{i+1}^{2}-a_{i-1}^{2}\right)\right)
\end{array}
\]
Таким образом, система (1.9) допускает операторное представление (1.3), и поэтому, согласно основной лемме § 2 главы II, собственные числа $f_{k}(t, y)$ матрицы $L$ (1.1) удовлетворяют уравнениям
\[
f_{k t}=f_{k}^{2} f_{k y}
\]
Система (1.9) при $\beta=0$ входит в класс систем гидродинамического типа $\left[92,17 \frac{1}{4}, 175\right]$. Соб́ственные числа $f_{k}(t, y)$ в силу уравнений (1.10) являются инвариантами Римана. Число этих независимых инвариантов равно [ $n / 2]$, так как собственные числа матриц Якоби (1.1) симметричны относительно нуля. В силу уравнений (1.10) собственные числа $f_{k}(t, y)$ опрокидываются. Поэтому так же ведут себя и общие решения системы (1.9) (и системы (3.9), (3.13); см. § 3).
Система (1.9) при отсутствии зависимости от $y$ переходит в классическую систему Вольтерра.
II. Іосле подстановки $a_{i}=\exp \left(u_{i} / 2\right)$ система (1.9) переходит в систему уравнений
\[
u_{i t}=e^{u_{i}} u_{i y}+e^{u_{i+1}} \sum_{k=1}^{k=i+1} u_{k y}-e^{u_{i-1}} \sum_{k=1}^{k=i-2} u_{k y}+\beta\left(e^{u_{i+1}}-e^{u_{i-1}}\right) \text {, }
\]
которая имеет следующиӥ вид:
\[
\begin{array}{l}
u_{i t}=\sum_{j=1}^{n-1} A^{i j} \frac{\partial H}{\partial u_{j}}, \\
H=\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \mathrm{L}^{2}=e^{u_{1}}+e^{u_{2}}+\ldots+e^{u} n-1 .
\end{array}
\]
Операторы $A^{i j}$ являются кососимметрическими п имеют вид
\[
A^{i j}=g^{i j} \frac{\partial}{\partial y}+\sum_{k=1}^{n-1} b_{k}^{i j} u_{k y}+\beta I^{i j} .
\]
Здесь коәффициенты $g^{i j}$ симметричны, $I^{i j}$ и $b_{k}^{i j}$ кососимметричны и постоянны и не равны нулю только в следующих случаях
\[
\begin{aligned}
g^{i i} & =g^{i, i+1}=g^{i+1, i}=1, \quad I^{i, i+1}=-I^{i+1, i}=1, \\
b_{k}^{i, i+1} & =-b_{k}^{i+1, i}=1 \text { прп } 1 \leqslant k \leqslant i .
\end{aligned}
\]
Операторы $A^{i j}$ (1.14) имеют вид операторов, определяющих скобки IІуассона гидродинамического типа [92]. Справедливо тождество
\[
\partial\left(g^{i j}\right) / \partial u^{k}=b_{k}^{i j}+b_{k}^{i i} .
\]
в силу которого символы Кристоффеля $\Gamma_{j k}^{i}$,
\[
\Gamma_{j k}^{i}=-g_{j m} b_{k}^{m i}
\]
определяют постолнную связность, согласованную с метрикой $\mathrm{g}^{i j}$.
В силу тождества (1.16) скалярное произведение двух функций $F(u)$ и $G(u)$ :
\[
\langle F, G\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta F}{\delta u_{i}} A^{i j} \frac{\delta G}{\delta u_{j}} d y
\]
является кососимметрическим.
Коэффициенты $g^{i j}, b_{k}^{i j}$ можно представить в виде
\[
g^{i j}=\gamma^{i j}+\gamma^{j i}, \quad b_{k}^{i j}=\partial \gamma^{i j} / \partial u^{k} .
\]
Здесь коэффициенты $\mathfrak{f}^{i j}$ являются ненулевыми только в следующих случаях: $\quad \gamma^{i i}=\frac{1}{2}, \gamma^{i, i+1}=\frac{1}{2}+S_{i}, \gamma^{i+1, i}=\frac{1}{2}-S_{i}, S_{i}=$ $=\sum_{k=1}^{k=i} u_{k}$. Координаты $u_{1} \ldots, u_{n-1}$ ввиду (1.19), согласно терминологии работы [92], называются лиувиллевыми.
Отметим, что постоянная связность (1.17) в силу формул (1.15) не является симметрической и ее тензор кручения $T_{j k}^{i}$ и тензор кривизны $R_{j k l}^{i}$ не равны нулю. Поэтому, согласно теореме 1- работы [92], оператор (1.14) не удовлетворяет тождеству Якоби для скобок Пуассона.
