I. Уравнение (1.21) – (1.22) допускает представление Лакса (1.17) с оператором А вида (1.19). Поэтому к уравнению (1.21) – (1.22) и собственным числам соответствующего оператора $L$ (1.18) полностью применима лемма 1 из § 2, согласно которой собственные числа $f(t, y)$ удовлетворяют уравнению волны Римана
\[
f_{t}-4 f f_{y}=0 .
\]

Этот результат является весьма естественным, учитывая физический смысл уравнения (1.21) – (1.22) – взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси $y$, с длинными волнами, распространяющимися по оси $x$. Построим солитонные решения уравнения (1.21), которые будем искать в виде бегущих волн
\[
u(t, x, y)=\lambda(t, y) a(\zeta), \quad \zeta=\lambda(t, y) x-\varphi(t, y),
\]

где $\lambda(t, y), \varphi(t, y), a(\zeta)$ – неизвестные функции. После подстановки функции (3.2) в уравнение (1.21) нетрудпо убедиться, что функции $\lambda(t, y)$ и $\varphi(t, y)$ обязаны удовлетворять уравнениям
\[
\lambda_{t}=m \lambda^{2} \lambda_{y}, \quad \varphi_{t}=m\left(\lambda^{2} \varphi_{y}-\gamma \lambda^{3}\right),
\]

где $m$ – некоторая постоянная. При выполнении этих условий уравнение (1.21) для функции $u(t, x, y$ ) (3.2) сводится к следующим двум уравнениям относительно функции $a(\zeta)$ :
\[
\begin{aligned}
2 a^{\prime \prime \prime} & =a a^{\prime \prime}+4 a^{2}-m a^{\prime}, \\
a^{\mathrm{IV}} & =6 a^{\prime} a^{\prime \prime}-m a^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Покажем, что полученная система двух уравнений соъместна и эквивалентна одному уравнению
\[
2 a^{\prime}=a^{2}+m .
\]

Действительно, проинтегрируем уравнение (3.5) по $\zeta$, получим
\[
a^{\prime \prime \prime}=3{a^{\prime}}^{2}-m a^{\prime}-c_{1} .
\]

Вычтем из уравнения (3.4) уравнение (3.7) и затем вычтем удвоенное уравнение (3.7), получим
\[
\begin{array}{l}
a^{\prime \prime \prime}=\left(a a^{\prime}\right)^{\prime}+c_{1}, \\
a a^{\prime \prime}=2 a^{\prime 2}-m a^{\prime}-2 c_{1} .
\end{array}
\]

Интегрируя уравнение (3.8) два раза по $\zeta$, находим
\[
\begin{array}{l}
a^{\prime \prime}=a a^{\prime}+c_{1} \zeta+c_{2}, \\
a^{\prime}=\frac{1}{2} a^{2}+\frac{1}{2} c_{1} \zeta^{2}+c_{2} \zeta+c_{3} .
\end{array}
\]

Уравнение (3.9) после подстановия выраяеиия ıринимает вид
\[
\hat{a}^{\prime}\left(2 a^{\prime}-a^{2}-m\right)=a\left(c_{1} \xi+c_{2}\right)+2 c_{1},
\]

Уравнния (3.11), (3.12), которые эквивалентны исходной системе (3.4), (3.5), являются совместными только при условиях $c_{1}=0, c_{2}=0, c_{3}=m / 2$ и в этом случае совпадают с уравнением (3.6).

Таким образом, уравнение (1.21) для функции $u(t, x, y)$ (3.2) сводится к уравнениям (3.3) и (3.6). Решения уравнения (3.6) имеют вид:
\[
\begin{array}{ll}
\text { при } m=b^{2} & a(\zeta)=b \operatorname{tg}\left(\frac{b}{2} \zeta+c\right), \\
\text { при } m=0 & a(\zeta)=-2(\zeta-c)^{-1}, \\
\text { при } m=-b^{2} & a(\zeta)=-b \operatorname{cth}\left(\frac{b}{2} \zeta+c\right), \\
a(\zeta)=-b \operatorname{th}\left(\frac{b}{2} \zeta+c\right) .
\end{array}
\]

Особые точки $a= \pm b$ уравнения (3.6) отражают наличие волны Римана (1.1) в решениях общего уравнения (1.3). Функции (3.13) – (3.15) имеют сингулярности на оси $\zeta$, поэтому сингулярности имеют и соответствующие им решения (3.2). Функция (3.16) не имеет особенностей. Соответствующая формула (3.2) определяет гладкое решение уравнения (1.21)-(1.22). После замены $\lambda_{1}=\frac{1}{2} b \lambda$, $\varphi_{2}=\frac{1}{2} b \varphi$ приходим к справедливости следующего утверждения.

Утверждение 1. Уравнение (1.21)-(1.22) имеет точные опрокидывающиеся решения двух типов. Решения первого типа являются гладкими и определяются формулами
\[
u(t, x, y)=-2 \lambda(t, y) \operatorname{th}(\lambda(t, y) x-\varphi(t, y)),
\]

где $\lambda(t, y), \varphi(t, y)$-произвольные решения уравнений
\[
\lambda_{t}+4 \lambda^{2} \lambda_{y}=0, \quad \varphi_{t}+4 \lambda^{2} \varphi_{v}=4 \gamma \lambda^{3} .
\]

Решения второго типа являются сингулярными, имеют движущиеся полюсы первого порлдка и определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
u_{1}(t, x, y)=2 \lambda(t, y) \operatorname{tg}(\lambda(t, y) x-\varphi(t, y)) \\
\lambda_{t}-4 \lambda^{2} \lambda_{y}=0, \quad \varphi_{t}-4 \lambda^{2} \varphi_{y}=-4 \gamma \lambda^{3} \\
u_{2}(t, x, y)=-2 \lambda(t, y) \operatorname{cth}(\lambda(t, y) x-\varphi(t, y)), \\
\lambda_{t}+4 \lambda^{2} \lambda_{y}=0, \quad \varphi_{t}+4 \lambda^{2} \varphi_{y}=4 \gamma \lambda^{3} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.18) – (3.20) для функции $\lambda(t, y)$ после умножения на $8 \lambda$ переходят в уравнение волиы Римана (2.19) на функцию $v=4 \lambda^{2}$. Поэтому в решениях уравнений (3.18)-(3.20) также возникает явление опрокидывания фронта волны и функция $\lambda(t, y)$ становится многозначной при изменении времени $t$. Это приводит к опрокидыванию и многозначности графика функции $u(t, x, y)$, которые настушают при изменении $t, y$ одновременно на всей оси $-\infty<x<+\infty$.

Динамика полюсов $x_{0}=\psi(t, y)=\varphi(t, y) \lambda^{-1}(t, y)$ сингулярных солитонных решений (3.19), (3.20) определяется уравнениями
\[
\psi_{t}+4 \sigma \lambda^{2} \psi_{y}=4 \sigma \gamma \lambda^{2}, \quad \lambda_{t}+4 \sigma \lambda^{2} \lambda_{y}=0, \quad \sigma= \pm 1 .
\]

Далее мы будем рассматривать только гладкие опрокидывающиеся солитоны (3.17), не имеющие сингулярностей. Производные функции $u(t, x, y)$ определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
u_{x}(t, x, y)=-2 \lambda^{2} \operatorname{ch}^{-2}(\lambda x-\varphi), \\
u_{y}(t, x, y)=-2 \lambda_{y} \operatorname{th}(\lambda x-\varphi)-2 \lambda\left(x \lambda_{y}-\varphi_{y}\right) \operatorname{ch}^{-2}(\lambda x-\varphi) .
\end{array}
\]

Асимптотики функций $u, u_{x}, u_{y}$ при $|x| \rightarrow \infty$ имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
x \rightarrow-\infty: & u \rightarrow 2 \lambda, \quad u_{x} \rightarrow 0, \quad u_{y} \rightarrow 2 \lambda_{y}, \\
x \rightarrow+\infty: & u \rightarrow-2 \lambda, \quad u_{x} \rightarrow 0, \quad u_{y} \rightarrow-2 \lambda_{y} .
\end{array}
\]

Формула (3.17) показывает, что опрокидывание (возникновение многозначности) графика функции $u(t, x, y)$ происходит одновременно с опрокидыванием графика функции $\lambda(t, y)$. Формула (3.21) при фиксированных $t$, $y$ для каждой однозначной ветви значений $\lambda(t, y)$ совпадает с формулой солитона уравнения Кортевега – де Фриза. Поэтому каждому значению $\lambda(t, y)$ соответствует одно собственное значение $-\lambda^{2}(t, y)$ оператора Шрёдингера $\mathrm{L}=-d_{x}^{2}+u_{x}(t, x, y)$, где в функции $u_{x}(t, x, y)$ берется соответствующая однозначная ветвь. Таким образом, многозначность функции $\lambda(t, y)$ не означает появления новых собственных значений у оператора $L$, а соответствует многозначности функции $u_{x}(t, x, y)$, причем каждой однозначной ветви $u_{x}(t, x, y)$ отвечает прежнее число собственных значений. Это свойство верно также и для опрокидывающихся $N$-солитонных решений, указанных ниже.

Обнаруженное явление опрокидывания в решениях нелинейных уравнений (1.16), (1.21) – (1.22) является отражением поведения реальных физических объектов например, дннамики морских волн.

Формула опрокидывающегося солитона (3.17) и асимптотики (3.23) показывают, что в решениях уравнения (1.16), (1.21) нельзя ограничиться случаем фупкций $u(t, x, y)$, убывающих на бесконечности $|x|$ вместе с производными $u_{y}$, а именно их значения следует предполагать ограниченными при $|x| \rightarrow \infty$. При этом $\left|u_{x}\right| \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Это обстоятельство существенно отражается на эволюции данных рассеяния.
II. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.21) в классе функций $u(t, x, y)$, имеющих следующую асимптотику при $|x| \rightarrow \infty$ :
\[
\begin{array}{ll}
x \rightarrow-\infty: & u(t, x, y) \rightarrow g(t, y), \\
x \rightarrow+\infty: & u(t, x, y) \rightarrow h(t, y) .
\end{array}
\]

Для таких решений имеем $u_{x}(t, x, y) \rightarrow 0, u_{x y}(t, x, y) \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$ и $u_{y}(t, x, y) \rightarrow g_{y}, h_{y}$ при $x \rightarrow \mp \infty$. Применим к уравнению (1.21) метод одномерной обратной задачи рассеяния для оператора $\mathrm{L}=-d_{x}^{2}+u_{x}(t, x, y)$, где переменные $t$ и $y$ входят в виде параметров. Данными рассеяния являются собственные значения дискретного спектра $f_{n}(t, y)$, соответствующие им коэффициенты $b_{n}(t, y)$, и коэффициенты $a(k, t, y)$ и $b(k, t, y)$, характеризующие рассеяние в точках непрерывного спектра.

В силу леммы 1 и формулы (1.19) собственные числа $f_{n}(t, y)=-\lambda_{n}^{2}$ удовлетворяют уравнению волны Римана
\[
\frac{\partial f_{n}}{\partial t}-4 f_{n} \frac{\partial f_{n}}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial \lambda_{n}}{\partial t}+4 \lambda_{n}^{2} \frac{\partial \lambda_{n}}{\partial y}=0
\]

и поэтому становятся мпогозначными функциями от $t, y$. Многозначными становятся и соответствующие собственные функции дискретного спектра $\psi_{n}(t, x, y)$, удовлетворяющие условиям
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\partial^{2} \psi_{n}}{\partial x^{2}}+u_{x} \psi_{n}=f_{n} \psi_{n}, f_{n}=-\lambda_{n}^{2}, \lambda_{n}>0, \\
\psi_{n}(t, x, y)=\exp \left(\lambda_{n} x\right)(1+o(1)), x \rightarrow-\infty \\
\psi_{n}(t, x, y)=b_{n}(t, y) \exp \left(–\lambda_{n} x\right)(1+o(1)), \quad x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Используя явный вид оператора $\mathrm{A}$ (1.19), (1.20)
\[
\mathrm{A}=4 d_{x}^{2} d_{y}-2 u_{y} d_{x}-4 u_{x} d_{y}-3 u_{x y}+\gamma\left(4 d_{x}^{3}-6 u_{x} d_{x}-3 u_{x x}\right)
\]

и уравнение (3.25), находим асимптотику при $x \rightarrow-\infty$ : $\left(\psi_{n}\right)_{t}+\mathrm{A}\left(\psi_{n}\right)=\left(-2 g_{y} \lambda_{n}+8 \gamma \lambda_{n}^{3}\right) \exp \left(\lambda_{n} x\right)(1+o(1)) .(3.28)$ В силу леммы 2 § 2 функция $\left(\psi_{n}\right)_{t}+\mathrm{A}\left(\psi_{n}\right)$ является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу $f_{n}$. Поэтому из асимптотик при $x \rightarrow-\infty$ (3.26), (3.28) следует равенство
\[
\left(\psi_{n}\right)_{t}+\mathrm{A}\left(\psi_{n}\right)=\left(-2 g_{y} \lambda_{n}+8 \gamma \lambda_{n}^{3}\right) \psi_{n} .
\]

Подставим в это равенство асимптотику (3.26) при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$ и используем формулы (3.24), (3.25), (3.27); получим уравнение
\[
\left(b_{n}\right)_{t}+4 \lambda_{n}^{2}\left(b_{n}\right)_{y}=\left(-2 \lambda_{n}\left(g_{y}+h_{y}\right)+8 \gamma \lambda_{n}^{3}\right) b_{n} .
\]

Это – линейное уравнение с переменными коэффициентами, поскольку $\lambda_{n}$, $g$ и $h$ – функции от $t, y$.
III. Спектральные функции $\psi(k, t, x, y)$ удовлетворяют условиям
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+u_{x} \psi=k^{2} \psi, \quad k>0, \\
\psi(k, t, x, y)=\exp (-i k x)+o(1), \quad x \rightarrow-\infty, \\
\psi(k, t, x, y)= \\
=a(k, t, y) \exp (-i k x)+b(k, t, y) \exp (i k x)+o(1), x \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Из уравнения Лакса (1.17)-(1.20) следует уравнение $\left(\mathrm{L}-k^{2}\right)\left(\psi_{t}+\mathrm{A} \psi\right)=0$. Отсюда, используя двумерность пространства собственных функций $\psi(k, t, x, y)$ (3.31). при фиксированных $k, t, y$ и асимптотику (3.31) при $x \rightarrow-\infty$, получаем уравнение
\[
\psi_{t}+\mathrm{A} \psi=\left(2 i k g_{y}+4 \gamma i k\right) \psi .
\]

Подставляя в это уравнение асимптотику (3.31) при $x \rightarrow$ $\rightarrow+\infty$ и используя формулу (3.27), получаем уравнения для данных рассеяния
\[
\begin{aligned}
a_{t}-4 k^{2} a_{y} & =2 i k\left(g_{y}-h_{y}\right) a, \\
b_{t}-4 k^{2} b_{y} & =\left(2 i k\left(g_{y}+h_{y}\right)+8 \gamma i k^{3}\right) b .
\end{aligned}
\]

Таким образом, эволюция данных рассеяния, соответствующих решению $u(t, x, y)$ уравнения (1.21), полностью определяется уравнениями (3.25), (3.30), (3.33), (3.34).
IV. Выше мы показали, что применение метода обратной задачи к уравнению (1.21) имеет две особенности. Во-первых, это не постоянство и возникновение многозначности собственных чисел $f_{n}=-\lambda_{n}^{2}$. Во-вторых, дифференциальные уравнения для данных рассеяния (3.30), $(3.33),(3.34)$ содержат асимптотические характеристики $g(t, y)$ и $h(t, y)$ неизвестного решения $u(t, x, y)$.

Если данные рассеяния известны, то потенциал $u_{x}(t$, $x, y$ ) определяется по формулам [5]
\[
\begin{array}{c}
u_{x}(x)=-2 \frac{d K(x, x)}{d x}, \\
K\left(x, x_{1}\right)+F\left(x+x_{1}\right)+\int_{x}^{\infty} K(x, z) F\left(z+x_{1}\right) d z=0 \\
F(x)=\sum_{n=1}^{N} \frac{b_{n} \exp \left(-\lambda_{n} x\right)}{i a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)}+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(k) e^{i k x} d k, \quad r(k)=\frac{b(k)}{a(k)},
\end{array}
\]

в которые переменные $t, y$ входят в виде параметров. Из уравнения (3.35) получаем формулу
\[
u(t, x, y)=-2 K(x, x, t, y)+G(t, y) \text {, }
\]

где $G(t, y)$ – произвольная функция, выбор которой необходимо согласовать с асимптотическими характеристиками $g(t, y)$ и $h(t, y)$.
V. Укажем точные $N$-солитонные решения уравнения (1.21). Пусть функция $b(k, t, y) \equiv 0$. Тогда функция $a(k, t, y)$ определяется уравнением [5] .
\[
a(k, t, y)=\prod_{n=1}^{N} \frac{k-i \lambda_{n}}{k+i \lambda_{n}} .
\]

Подставим эту формулу в уравнение (3.33) и учтем уравнения (3.25), получим следующее необходимое условие для асимптотических характеристик $g(t, y)$ и $h(t, y)$ :
\[
\left(g-h-4 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n}\right)_{y}=0 .
\]

Пусть коэффициенты $b_{n}(t, y)$ определены из уравнений (3.30) при $g+h=0$, а функция $a_{k}(k, t, y)$ задана формулой (3.38). Определим функции
\[
\beta_{n}(t, y)=\frac{b_{n}(t, y)}{i a^{\prime}\left(i \lambda_{n}\right)}, \quad n=1, \ldots, N .
\]

Тогда в соответствии с формулами Хироты [37] и формулой (3.37) потенциал $u(t, x, y)$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
u(t, x, y) & =-2 \frac{d}{d x} \ln \operatorname{det} \mathrm{A}(t, x, y)+G(t, y), \\
\mathrm{A}_{i j}(t, x, y) & =\delta_{i j}+\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right)^{-1} \beta_{i}(t, y) \exp \left(-\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) x\right),
\end{aligned}
\]

где $\mathrm{A}_{i j}(t, x, y)$ – компоненты матрицы $\mathrm{A}, i, j=1, \ldots, N$. Асимптотика функции $u(t, x, y)$ при $|x| \rightarrow \infty$ в силу (3.41) и $\lambda_{i}>0$ имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
\text { при } \quad x \rightarrow-\infty \quad u(t, x, y) \rightarrow 4 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n}+G(t, y) \text {, } \\
\text { при } \quad x \rightarrow+\infty \quad u(t, x, y) \rightarrow G(t, y) . \\
\end{array}
\]

Поэтому необходимое условие (3.39) выполнено при произвольной функции $G(t, y)$.

При $t \rightarrow \pm \infty$ решение (3.41) распадается в сумму односолитонных решений (3.17), имеющих асимптотику (3.23), удовлетворяющую условию $g(t, y)+h(t, y)=0$. Следовательно, это же условие должно быть выполнено и для решения (3.41), что в силу (3.42) однозначно определяет вид функции $G(t, y)$ :
\[
G(t, y)=h(t, y)=-g(t, y)=-2 \sum_{n=1}^{N} \lambda_{n}(t, y) .
\]

При $N=1$ формулы (3.41), (3.43) переходят в опрокидывающийся солитон (3.17). В силу того что функции $\lambda_{n}(t, y)$ удовлетворяют уравнению (3.25), эквивалентному уравнению волны Римана, в решениях (3.41), (3.43) также возникает явление опрокидывания графика функции $u(t, x, y)$, одновременное на всей оси – $<<x<+\infty$. Поэтому формулы (3.41), (3.43) вместе с уравневиями (3.25) определяют опрокидывающиеся $N$-солитонные решения уравнения (1.21).

Опрокидывание графика функции $u(t, x, y)$ происходит одновременно с опрокидыванием графика одной из функций $\lambda_{n}(t, y)$. При этом каждому выбору однозначных ветвей функций $\lambda_{n}(t, y)$ (и соответствующих $\beta_{n}(t, y)$ ) соответствует однозначная ветвь функции $u(t, x, y)$, причем производная $u_{x}(t, x, y)$ для каждой ветви является $N$-солитонным решением уравнения КдФ.
45