I. Выведем из уравнения Лакса
\[
\mathrm{L}_{t}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{1}\right]
\]

двумерное эволюционное уравнение для функции $u(t, x, y)$, которое при отсутствии зависимости от $y$ переходит в уравнение $[166,167]$
\[
u_{t}=u^{3} u_{x x x}
\]

известпое под названием «уравнение Гарри Дима». Операторы $L$ и $A_{1}$ выберем в виде [167]
\[
\mathrm{L}=u\left(\partial_{x}^{2}-a^{2}\right) u, \quad \mathrm{~A}_{1}=\mathrm{LA}+\mathrm{AL} .
\]

Справедливы равенства
\[
\begin{aligned}
\mathrm{L}_{t} & =u_{t} u^{-1} \mathrm{~L}+\mathrm{L} u_{t} u^{-1} \\
{\left[\mathrm{~L}, \mathrm{~A}_{1}\right] } & =\mathrm{L}[\mathrm{L}, \mathrm{A}]+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \mathrm{L} .
\end{aligned}
\]

Поэтому уравнение Лакса (8.1), (8.3) является следствием уравнения
\[
u_{t} u^{-1}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {. }
\]

Пусть оператор А имеет вид
\[
\mathrm{A}=-\alpha\left(u \partial_{x}+\partial_{x} u\right)+\beta\left(2 \partial_{y}+g \partial_{x}+\partial_{x} g\right),
\]

где функцию $\dot{g}(t, x, y)$ необходимо найти из уравнения (8.5). Несложное вычисление приводит к следующей формуле
\[
\begin{array}{l}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\beta V \partial_{x}^{2}+\beta V_{x} \partial_{x}+\alpha u^{2}\left(u_{x x x}-4 a^{2} u_{x}\right)+} \\
+\beta\left(\left(u^{2} g_{x x}\right)_{x}-2 g\left(u u_{x x}\right)_{x}-2\left(u u_{x x}\right)_{y}+4 a^{2} u\left(g u_{x}+u_{y}\right)\right),
\end{array}
\]

где функция $V(t, x, y)$ имеет вид
\[
V=4 u\left(u g_{x}-g u_{x}-u_{y}\right) .
\]

Из уравнения (8.5), (8.7) следует условие $V=0$. Поэтому в силу уравнения (8.8) получаем выражение для функции $g(t, x, y)$ :
\[
g(t, x, y)=-u(t, x, y) \int_{0}^{x}\left(u^{-1}\right)_{y}(t, \xi, y) d \xi=-u \partial_{x}^{-1}\left(u^{-1}\right)_{y} .
\]

Операторное уравнение (8.5) после подстановки формул (8.7) – (8.9) переходит в эволюционное уравнение
\[
\begin{array}{l}
u_{t}=\alpha u^{3}\left(u_{x x x}-4 a^{2} u_{x}\right)+ \\
+u \beta\left(u_{x} u_{x y}-u_{y} u_{x x}-u u_{x x y}-g \dot{u} u_{x x x}+4 a^{2} u\left(g u_{x}+u_{y}\right)\right) .
\end{array}
\]

Наиболее простой вид это уравнение принимает при $a=0:$
\[
u_{t}=\alpha u^{3} u_{x x x}+u \beta\left(u_{x} u_{x y}-u_{y} u_{x x}-u u_{x x y}+u^{2} u_{x x x} \partial_{x}^{-1}\left(u^{-1}\right)_{y}\right) \text {. }
\]

Уравнение (8.11) для функций вида $u(t, x, y)=u(t, z)$, где $z=x+c y$, сводится к уравнению (8.2).

Уравнение (8.11) (и уравнение (8.10)) в силу проведенного выше вывода допускает әквивалентное представление Лакса (8.1). К этому уравнению в силу вида операторов L и А (8.3), (8.6) применима основная лемма § 2. Поэтому в силу уравнения (8.11) собственные числа $f(t, y)$ оператора $\mathrm{L}(8.3)$ удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
f_{t}+4 \beta f f_{y}=0,
\]

эквивалентному уравнению опрокидывающейся волны Римана. Уравнения (8.11), (8.10) так же, как и другие уравнения, исследованные в данной главе, обладают опрокидывающимися решениямп.
II. Рассмотрим уравнение
\[
\mathrm{L}_{t}=8 \alpha \mathrm{L}^{2}+2 \beta \mathrm{L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}],
\]

которое для операторов (8.3) эквивалентно уравнению
\[
u_{t} u^{-1} \mathrm{~L}+\mathrm{L} u_{t} u^{-1}=8 \alpha \mathrm{L}^{2}+2 \beta \mathrm{L}+\mathrm{L}[\mathrm{L}, \mathrm{A}]+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \mathrm{L}
\]

или
\[
u_{t} u^{-1}=4 \alpha \mathrm{L}+\beta+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {. }
\]

Возьмем оператор А в виде
\[
\mathrm{A}=g \partial_{x}+\partial_{x} g, \quad g=c u-\alpha u \partial_{x}^{-1}\left(u^{-1}\right) .
\]

Тогда уравнение (8.13) принимает следующий вид:
\[
u_{t}=\alpha u\left(2 u u_{x x}-u_{x}^{2}\right)+\beta u+u^{3} u_{x x x}\left(\alpha \partial_{x}^{-1}\left(u^{-1}\right)-c\right) .
\]

Существенно, что полученное уравнение (8.14), в отлічие от (4.3), является трансляционно инвариантным.