I. Бесконечная (по индексу $k$ ) цепочка Тода
\[
\ddot{q}_{k}=\exp \left(q_{k+1}-q_{k}\right)-\exp \left(q_{k}-q_{k-1}\right)
\]

в опредленном континуальном пределе переходит в уравнение нелинейной струны [70]
\[
u_{t t}=c_{0}^{2}\left(\left(1-b h u_{x}\right) u_{x x}+\frac{h^{2}}{12} u_{x x x x}\right),
\]

которое оказывается связанным с уравнением КдФ [70].
Укажем другой континуальный предел цепочки Тода. Введем в систему (5.1) путем растяжения функций $q_{k}$ и времени $t$ параметр $\varepsilon$ :
\[
\ddot{q_{k}}=\frac{1}{\varepsilon}\left(\exp \frac{q_{k+1}-q_{k}}{\varepsilon}-\exp \frac{q_{k}-q_{k-1}}{\varepsilon}\right) .
\]

Предположим, что существует гладкая функция $u(t, x)$ такая, что $q_{k}(t)=u\left(t, x_{k}\right)$, где $x_{k}=k \varepsilon$. После указанной подстановки система (5.2) в пределє при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в уравнение
\[
u_{t t}=\left(e^{u_{x}}\right)_{x} .
\]

Уравнение (5.3) лагранжево с лагранжианом
\[
L=\iint\left(\frac{1}{2} u_{t}^{2}-\exp u_{x}\right) d t d x .
\]

Эквивалентная форма уравнения (5.3) имеет вид
\[
v_{t t}=v_{t} v_{x x} .
\]

Здесь функции $u(t, x)$ и $v(t, x)$ связаны соотношениями
\[
u_{t}=v_{x}, \quad v_{t}=\exp u_{x},
\]

которые разрешимы в силу уравнения (5.3).
Утверждение 1. Уравнение (5.5) для решений, имеющих асимптотику $v(t, x) \rightarrow c_{ \pm} n р и \quad x \rightarrow \pm \infty$, имеет счетное множество первых интегралов $(m=1,2, \ldots)$
\[
I_{m}=\sum_{k=0}^{[m / 2]} \frac{m !}{(m-2 k !)(k !)^{2}} \int_{-\infty}^{\square \infty} v_{x}^{m-2 k} v_{t}^{k} d \vec{x} .
\]

Доказательство. Рассмотрим в алгебре линейных операторов на пространстве гладких функций на прямой уравнение Лакса со спектральным параметром $E$ :
\[
\frac{\partial \mathrm{L}\left(E_{v} t\right)}{\partial t}=[\mathrm{L}(E, t), \mathrm{A}(E, t)],
\]

где линейные операторы $\mathrm{L}(E, t)$ и $\mathrm{A}(E, t)$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}(E, t)=E a(t, x) \mathrm{P}_{\varepsilon}+b(t, x)+E^{-1} \mathrm{P}_{-\varepsilon}, \\
\mathrm{A}(E, t)=-E^{-1} \varepsilon^{-1} a(t, x) \mathrm{P}_{\varepsilon} .
\end{array}
\]

Здесь $a(t, x), b(t, x)$ – некоторые гладкие функции, $\mathrm{P}_{\varepsilon}-$ оператор сдвига
\[
P_{\varepsilon}(\varphi)(x)=\varphi(x+\varepsilon),
\]

являющийся автоморфизмом в алгебре функций на прямой. Уравнение $(5.8),(5.9)$ эквивалентно уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x) \frac{b(t, x+\varepsilon)-b(t, x)^{-}}{\varepsilon}, \\
\frac{\partial b(t, x)}{\partial t}=\frac{1}{8}\left(a(t, x)-a^{\prime}(t, x-\varepsilon)\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (5.11) после перехода к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ принимдют вид
\[
\frac{\partial a}{\partial t}=a \frac{\partial b}{\partial x}, \quad \frac{\partial b}{\partial t}=\frac{\partial a}{\partial x} .
\]

В силу вұорого уравнения (5.12) существует функция $v(t, x)$, удовлетворяющая равенствам
\[
a=v_{t}, \quad b=v_{x} .
\]

Первое уравнение (5.12) после подстановки формул (5.13) переходит в уравнение (5.5). Уравнения (5.11). при любом $\varepsilon$ эквивалентны уравнению Лакса (5.8), (5.9), к которому применима лемма 1 из § 1 гл. VII. Поэтому уравнения (5.11) имеют счетный набор первых интегралов $I_{m}$, которые являются интегралами по $x$ от коэффициента при нулевом сдвиге в операторе
\[
\mathrm{L}(E, t)^{m}=\left(E a(t, x) \mathrm{P}_{\varepsilon}+b(t, x)+E^{-1} \mathrm{P}_{-\varepsilon}\right)^{m} .
\]

При $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнения (5.11) переходят в уравнение (5.5)’. Поэтому первые интегралы $I_{m}$ уравнений (5.11) при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в первые интегралы уравнения (5.5). Коәффициент при нулевом сдвиге в операторе (5.14) при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в коэфициент $c_{m}$ при $E^{0}$ в разложении функции
\[
\left(E a(t, x)+b(t, x)+E^{-1}\right)^{m}
\]

по степеням параметра $E$. Этот коэффициент $c_{m}$ определяется формулой
\[
c_{m}=\sum_{k=0}^{[m / 2]} \frac{m !}{(m-2 k) !(k !)^{2}} a^{k} b^{m-2 h} .
\]

Поэтому после подстановки (5.13) получаем первые пнтегралы (5.7) уравнения (5.5). Утверждение 1 доказано.
Первые нетривиальные интегралы $I_{m}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(v_{x}^{2}+2 v_{t}\right) d x, \quad I_{3}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(v_{x}^{3}+6 v_{x} v_{t}^{\prime}\right) d x \\
I_{4}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(v_{x}^{4}+12 v_{x}^{2} v_{t}+6 v_{t}^{2}\right) d x .
\end{array}
\]

Простейшее автомодельное решение уравнения имеет вид
\[
u(t, x)=2 x \ln (x / e t) .
\]

II. Покажем, что уравнения (5.3), (5.5) имеют решения, которые с течением времени становятся многозначными. Уравнение (5.3) после дифференцированыя по $x$ п замены $u_{x}=w$ принимает вид
\[
w_{t t}=(\exp w)_{x x} .
\]

Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
w_{t}=\varepsilon(\exp w / 2) w_{x}, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Дифференцируя уравнение (5.17) по $t$ и подставляя выражение $w_{t}$, в силу (5.17) получаем
\[
w_{t t}=(\exp w) w_{x}^{2}+(\exp w) w_{x x}=(\exp w)_{x x} .
\]

Поэтому любое решение уравнения (5.17) является также решением уравнения (5.16). Уравнение (5.17) после замены $f=\exp (w / 2)$ переходит в классическое уравнение опрокидывающейся волны Римана
\[
f_{t}=\varepsilon f f_{x}, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

В силу уравнения (5.18) каждая точка графика функции $f(t, x)$ перемещается при изменении времени $t$ горизонтально со скоростью \&f. Такое изменение графика приводит к явлению «перехлеста»- возникновению неоднозначности функции $f(t, x)$. В газовой динамике это явление служит формальной причиной возникновения ударных волн. Таким образом, уравнение (5.16) (и следовательно, уравнения (5.3), (5.5)) имеет решения, удовлетворяющие уравнению (5.17) – (5.18), которые при изменении времени $t$ становятся многозначными.
III. Укажем континуальный предел [12] двумеризованной цепочки Тода [51]. Для этого введем в ее уравнения (с помощью растяжения функций $q_{k}(t, x)$ п времени $t$ ) параметр $\varepsilon$ :
\[
\frac{\partial^{2} q_{k}}{\partial t \partial x}=\frac{1}{\varepsilon}\left(\exp \frac{q_{k+1}-q_{k}{ }^{*}}{\varepsilon}-\exp \frac{q_{k}-q_{k-1}}{\varepsilon}\right) .
\]

Предположим, что существует гладкая функция $u(t, x, y)$ такая, что $q_{k}(t, x)=u\left(t, x, y_{k}\right)$, где $y_{k}=k \varepsilon$. После указанной подстановки и перехода к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнения (5.19) переходят в уравнение
\[
u_{t x}=\left(e^{u}\right)_{y} .
\]

Уравнение (5.20) является лагранжевым с лагранжианом
\[
L=\iiint\left(\frac{1}{2} u_{t} u_{x}-\exp u_{y}\right) d t d x d y .
\]

Эквивалентная форма уравнения (5.20) имеет вид
\[
v_{t x}=v_{t} v_{v y} .
\]

Здесь функции $u(t, x, y)$ и $v(t, x, y)$ связаны соотношениями
\[
u_{x}=v_{y}, \quad v_{t}=\exp u_{y},
\]

которые разрешимы в силу уравнения (5.20).
Уравнение (5.20) после подстановки
\[
u(t, x, y)=y\left(\varphi(t, x)+\ln y^{2}-2-\ln 2\right)
\]

переходит в уравнение Лиувилля для фупкции $\varphi(t, x)$ :
\[
\varphi_{t x}=\exp \varphi .
\]

Замена (5.24) после использования точных формул для решений уравнения Лиувилля приводит к следующим точным решениям уравнения (5.20):
\[
u(t, x, y)=y \ln \frac{y^{2} A^{\prime}(x) B^{\prime}(t)}{(A(x)+B(t))^{2}}+C(x)+D(t)-2 y,
\]

где $A(x), B(t), C(x), D(t)$ – произвольные функции.
Уравнепие (5.20) после подстановки
\[
u(t, x, y)=\varphi(t, x)+y(\ln (b y)-1)
\]

переходит в неоднородное волновое уравнение $\varphi_{t x}=b$. Поэтому уравпение (5.20) имеет следующие точные решения:
\[
u(t, x, y)=A(x)+B(t)+b x t+y(\ln (b y)-1),
\]

где $A(x)$ и $B(t)$ – произвольные функции.
Уравнение (5.20) для функций $u(t, x, y)$ вида $u(t, x, y)=u(z, y)$, где $z=x+c t$, сводится к уравнению
\[
c u_{z x}=\left(\exp u_{y}\right)_{y},
\]

очевидно эквивалентному уравнению (5.3).
Уравнение (5.20) после дифференцирования по $y$ и обозначения $w=u_{y}$ принимает вид
\[
w_{t x}=(\exp w)_{y y}
\]

Уравнение (5.20), (5.28) впервые было выведено в 1987 году в работе [12]. Оно существенно отличается от уравнения
\[
w_{x x}+w_{y y}=(\exp w)_{z z}
\]

которое возникло при изучении автодуальных решений уравнений Эйнштейна для положительно определенных метрик $[82,83]$. Связь уравнений вида
\[
\partial^{2} y(t) / \partial z_{+} \partial z_{-}=\int d t^{\prime} K\left(t, t^{\prime}\right) \exp y\left(t^{\prime}\right)
\]

с континуальными алгебрами Ли изучалась в работах $[86,87]$.
IV. Покажем, что уравнение (5.28) имеет решения, которые с течением времени становятся многозначными. Рассмотрим систему двух дифферепциальных уравнений первого порядка
\[
w_{t}=f(w) w_{y}, \quad w_{x}=g(w) w_{y},
\]

где $f(w), g(w)$ – некоторые функции. Продифференцировав первое уравнение (5.30) по $x$, а второе по $t$ и подставив выражения $w_{t}$ и $w_{x}$, в силу уравнений (5.30) находим
\[
w_{t x}=w_{x t}=(f g)_{w}^{\prime} w_{y}^{2}+f g w_{y y}=\left(f g w_{y}\right)_{y} .
\]

Поэтому уравнения (5.30) совместны.
Уравнение (5.31) совпадает с уравнением (5.28), если $f(w) g(w)=\exp w$. В этом случае любое репение совместной системы уравнений (5.30) является также решением уравнения (5.28). Из уравнений (5.30) следует уравнение
\[
w_{t}=\frac{f(w)}{g(w)} w_{x} .
\]

Из уравнений (5.30), (5.32) следуют уравнения
\[
f_{t}=f f_{y}, \quad g_{x}=g g_{y}, \quad\left(\frac{f}{g}\right)_{t}=\left(\frac{f}{g}\right)\left(\frac{f}{g}\right)_{x} .
\]

Каждое из этих уравнений совпадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому непостоянные решения уравнений (5.33) и, следовательно, соответствующие им решения уравнения (5.28) при изменении времени $t$ становятся многозначными.

В простейшем случае $f(w)=c_{1} \exp (w / 2), \quad g(w)=$ $=c_{2} \exp (w / 2)$ из уравнений (5.30) находим
\[
w(t, x, y)=w(\tau, y), \quad \tau=c_{1} t+c_{2} x,
\]

и уравнения (5.30) сводятся к одному уравнению опрокидывающейся волны Римана $f_{\tau}=f f_{y}$.

Замечание. Уравнение (5.29) для функций вида $w(x, y, z)=w(\tau, x), \tau=\alpha x+\beta y$ переходит в уравнение $\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) w_{\tau \tau}=(\exp w)_{z z}$, эквивалентное уравнению (5.3), (5.16). Поэтому уравнение (5.29) для решений вида $w(\tau, z)$ имеет счетное множество первых интегралов и может быть линеаризовано с помощью преобразования годографа (см. § 6).
V. Укажем вывод уравнения (5.20), (5.22) как предельного случая из уравнения нулевой кривизны
\[
\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial t}-\frac{\partial \mathrm{A}}{\partial x}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=0 .
\]

Пусть $\mathrm{L}(E, t, x)$ и $\mathrm{A}(E, t, x)$ – линейные операторы, действующие на пространстве функций $\varphi(y)$, определенные формулами
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{L}(E, t, x)=E a(t, x, y) \mathrm{P}_{\varepsilon}+b(t, x, y)+E^{-1} \mathrm{P}_{-\varepsilon}, \\
\mathrm{A}(E, t, x)=E \varepsilon^{-1} a(t, x, y) \mathrm{P}_{\varepsilon},
\end{array}
\]

где $\mathrm{P}_{\varepsilon}$ – оператор сдвига по $y: \mathrm{P}_{\varepsilon}(\varphi)(y)=\varphi(y+\varepsilon)$; $E, \varepsilon-$ произвольные параметры. Уравнение (5.34), (5.35) эквивалентно системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial a(t, x, y)}{\partial t}+\frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial a(t, x, y)}{\partial x}= \\
\quad=a(t, x, y) \frac{1}{\varepsilon}(b(t, x, y+\varepsilon)-b(t, x, y)), \\
\frac{\partial b(t, x, y)}{\partial t}=\frac{1}{\varepsilon}(a(t, x, y)-a(t, x, y-\varepsilon)) .
\end{array}
\]

Уравнения (5.36) после замены $t_{1}=t+x_{1}, x=\varepsilon^{-1} x_{1}$ и перехода к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразуются в уравнения
\[
\frac{\partial a}{\partial x_{1}}=a \frac{\partial b}{\partial y}, \quad \frac{\partial b}{\partial t_{1}}=\frac{\partial a}{\partial y} .
\]

В силу второго уравнения (5.37) существует функция $v(t, x, y)$ такая, что $a=v_{t}, b=v_{y}$. После подстановки этих выражений первое уравнение (5.37) переходит в уравнение (5.22),
$14^{*}$