I. Рассмотрим в простой алгебре Лп (8 уравнение пулевой кривизны $[5,11]$.
\[
\frac{\partial \mathrm{L}}{\partial t}-\frac{\partial \mathrm{A}}{\partial x}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {, }
\]

где векторы $\mathrm{L}(t, x, E), \mathrm{A}(t, x, E) \in \mathbb{F}$ определяются формулами
\[
\begin{aligned}
\mathrm{L}(t, x, E)=p(t, x)+ & E \sum_{i=0}^{n} b_{i}(t, x) e_{\omega_{i}}+ \\
& +\frac{1}{2} E^{2} \sum_{i, j=0}^{n} m_{i j}(t, x)\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right] \\
\mathrm{A}(t, x, E) & =-E^{-1} \sum_{i=0}^{n} a_{i}(t, x) e_{-\omega_{i}} .
\end{aligned}
\]

Здесь $p(t, x) \in H$ (картановская подалгебра), $\omega_{0}, \ldots$ $\ldots, \omega_{n} \in H$ – допустимый набор корней, $e_{\omega_{i}}$ – корневые векторы. Уравнения (4.1), (4.2) эквивалентны системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
p_{t}=-\sum_{i=0}^{n} b_{i} a_{i} \omega_{i}, \quad\left(b_{i}\right)_{t}=\sum_{j=0}^{n} m_{i j}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) a_{j}, \\
\left(a_{i}\right)_{x}=\left(p, \omega_{i}\right) a_{i}, \quad\left(m_{i j}\right)_{t}=0 .
\end{array}
\]

После подстановки $a_{i}=\exp \left(q, \omega_{i}\right), \mu_{i j}=m_{i j}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)$ система уравнений (4.3) принимает вид ( $p=q_{x}$ )
\[
q_{t x}=-\sum_{i=0}^{n} b_{i} \omega_{i} \exp \left(q, \omega_{i}\right), \quad\left(b_{i}\right)_{t}=\sum_{j=0}^{n} \mu_{i j} \exp \left(q, \omega_{j}\right) .
\]

Эти уравнения представляются также в виде
\[
\frac{\partial^{2} q}{\partial t \partial x}=-\frac{\partial V}{\partial q}, \quad \frac{\partial b_{i}}{\partial t}=\sum_{j=0}^{n} \mu_{i j} \frac{\partial V}{\partial b_{j}}, \quad V=\sum_{i=0}^{n} b_{i}(t, x) \exp \left(q, \omega_{i}\right) .
\]

Ненулевые постоянные $\mu_{i j}=-\mu_{j i}$ соответствую ребрам пополненного графа Дынкина простой алгебры Ли (3. Система уравнений (4.4) является интегрируемым расширепием двумеризованных обобщенных цепочек Тода, которые определяются условиями $\mu_{i j}=0$; при этом $b_{i}=$ $=$ const [62].

В случае алгебры Ли типа $A_{2 n+1}$ пз системы (4.4) при $\omega_{i}=e_{i+1}-e_{i}, \alpha_{i}=\mu_{i, i+1}$ получаем
\[
\begin{aligned}
\left(q_{i}\right)_{t x} & =b_{i} \exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right)-b_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right), \\
\left(b_{i}\right)_{t} & =\alpha_{i} \exp \left(q_{i+2}-q_{i+1}\right)-\alpha_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right) .
\end{aligned}
\]
II. В периодическом случае с периодом 2 ( $b_{i+2}=b_{i}$. $\alpha_{i+1}=\alpha_{i}, q_{i+1}=q_{i}$ ) из системы (4.6) следует система уравнений
\[
\begin{aligned}
\left(q_{1}\right)_{t x} & =b_{1} \exp \left(q_{2}-q_{1}\right)-b_{2} \exp \left(q_{1}-q_{2}\right), \\
\left(q_{2}\right)_{t x} & =b_{2} \exp \left(q_{1}-q_{2}\right)-b_{1} \exp \left(q_{2}-q_{1}\right), \\
\left(b_{1}\right)_{t} & =\alpha \exp \left(q_{1}-q_{2}\right), \quad\left(b_{2}\right)_{t}=-\alpha \exp \left(q_{2}-q_{1}\right),
\end{aligned}
\]

где $\alpha=\alpha_{1}-\alpha_{2}$. Из уравнений (4.7) находим
\[
\left(q_{1}\right)_{t x}=-\alpha^{-1}\left(b_{1} b_{2}\right)_{t}, \quad\left(q_{1}+q_{2}\right)_{t x}=0 .
\]

Отсюда следуют равепства
\[
\left(q_{1}\right)_{x}+\alpha^{-1} b_{1} b_{2}=P(x), \quad q_{1}+q_{2}=F(x)+G(t) .
\]

В специальном случае $q_{1}+q_{2}=0, q_{1}=q$ из (4.7) получаем
\[
\begin{array}{c}
q_{t x}=b_{1} \exp (-2 q)-b_{2} \exp (2 q), \\
\left(b_{1}\right)_{t}=\alpha \exp (2 q), \quad\left(b_{2}\right)_{t}=-\alpha \exp (-2 q) .
\end{array}
\]

Эти уравнения в переменных $u_{1}=b_{1}+b_{2}, u_{2}=b_{1}-b_{2}$ принимают вид
\[
\begin{aligned}
q_{t x}=-u_{1}(\exp (2 q)- & \exp (-2 q)) / 2+ \\
& +u_{2}(\exp (2 q)+\exp (-2 q)) / 2, \\
\left(u_{1}\right)_{t}= & \alpha_{0}(\exp (2 q)-\exp (-2 q)), \\
\left(u_{2}\right)_{t}= & \alpha_{0}(\exp (2 q)+\exp (-2 q)) .
\end{aligned}
\]

В случае вещественных функций $q, u_{1}, u_{2}$ обозначим $\varphi=$ $=2 q, \tau=2 t$; тогда уравнения (4.11) принимают вид
\[
\varphi_{\tau x}=-u_{1} \operatorname{sh} \varphi+u_{2} \operatorname{ch} \varphi, \quad\left(u_{1}\right)_{\tau}=\alpha_{0} \operatorname{sh} \varphi, \quad\left(u_{2}\right)_{\tau}=\alpha_{0} \operatorname{ch} \varphi .
\]

В случае чисто мнимых $q, u_{2}, \alpha_{0}$ и вещественном $u_{1}$ обозначим $2 q=i \varphi, u_{1}=v_{1}, u_{2}=-i v_{2}, \alpha_{0}=-i \alpha, \tau=2 t$; тогда из (4.11) находим
\[
\varphi_{\tau x}=v_{1} \sin \varphi+v_{2} \cos \varphi, \quad\left(v_{1}\right)_{\tau}=\alpha \sin \varphi, \quad\left(v_{2}\right)_{\tau}=\alpha \cos \varphi .
\]

Очевидно, уравнения (4.12), (4.13) являются расширениями уравнения Синус Гордон, которое получается из них при $\alpha=0$. Из уравнений (4.12) находим
\[
\varphi_{x}+\left(u_{1}^{2}-u_{2}^{2}\right) / 2 \alpha_{0}=f(x) .
\]

Из уравнений (4.13) следует
\[
\varphi_{x}-\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) / 2 \alpha=g(x) .
\]

Уравнения (4.12), (4.14) после подстановки $\mu_{1}=r \operatorname{sh} \psi$, $u_{2}=r \operatorname{ch} \psi$ принимают вид
$r_{\tau}=\alpha_{0} \operatorname{ch}(\varphi-\psi), \quad \psi_{\tau}=\alpha_{0} \operatorname{sh}(\varphi-\psi) r^{-1}, \quad \varphi_{x}=f(x)+r^{2} / 2 \alpha_{0}$.

Уравнения (4.13), (4.15) с помощью подстановки $v_{1}=$ $=r \cos \psi, v_{2}=r \sin \psi$ преобразуются к виду
$r_{t}=a \sin (\varphi+\psi), \quad \psi_{t}=\alpha \cos (\varphi+\psi) r^{-1}, \quad \varphi_{x}=g(x)+r^{2} / 2 \alpha$.

III. $\mathrm{Q}$ помощью растяжения координат $q_{i}, t, x$ введем в уравнение (4.6) параметр $\varepsilon$ :
\[
\begin{aligned}
\left(q_{i}\right)_{t x} & =\varepsilon^{-1}\left(b_{i} \exp \left(q_{i+1}-q_{i}\right) / \varepsilon-b_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right) / \varepsilon\right) \\
\left(b_{i}\right)_{t} & =\varepsilon^{-1}\left(\alpha_{i} \exp \left(q_{i+2}-q_{i+1}\right) / \varepsilon-\alpha_{i-1} \exp \left(q_{i}-q_{i-1}\right) / \varepsilon\right) .
\end{aligned}
\]

Предположим, что $\alpha_{k}=\alpha=\mathrm{const}, q_{k}(t, x)=q\left(t, x, y_{k}\right)$, $b_{k}(t, x)=b\left(t, x, y_{k}\right)$, где $y_{k}=k \varepsilon, q(t, x, y)$ и $b(t, x, y)$ гладкие функции. Уравнения (4.18) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в уравнения
\[
q_{t x}=\left(b \exp q_{y}\right)_{y}, \quad b_{t}=2 \alpha\left(\exp q_{y}\right)_{y} .
\]

Продифференцировав первое уравнение по $y$ и обозначив $v=q_{y}$, получаем систему
\[
v_{t x}=(b \exp v)_{y y}, \quad b_{t}=2 \alpha(\exp v)_{y} .
\]

Из последнего уравнения (4.20) находим $b=u_{y}$, $\exp v=$ $=u_{i} / 2 \alpha$; после подстановки в первое уравнение (4.20) получаем
\[
\left(\ln u_{t}\right)_{t x}=\frac{1}{2 \alpha}\left(u_{t} u_{y}\right)_{y y} .
\]

Таким образом, уравнение (4.21) является континуальным пределом уравнений (4.18), допускающих представление нулевой кривизны.