Укажем трехмерное уравнение для функции $v(t, x, y, z)$, которое включает в себя уравнение взаимодействия волны Римана с длинными волпами
\[
v_{t}=4 v v_{x}+2 v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}-v_{x x y} ;
\]
оптератор $\mathrm{L}$ имеет вид
\[
\mathrm{L}=-\partial_{x}^{2}+v(t, x, y, z) .
\]
Оператор А выберем кососимметрическим:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A}=\alpha \mathrm{A}_{1}+\beta \mathrm{A}_{2}, \\
\mathrm{~A}_{1}=-2\left(\partial_{y} \mathrm{~L}+\mathrm{L} \partial_{y}\right)-\left(a \partial_{x}+\partial_{x} a\right) \\
\mathrm{A}_{2}=\frac{1}{2}\left(\partial_{z} \mathrm{~L}^{2}+\mathrm{L}^{2} \partial_{z}\right)-\frac{1}{4}\left(b \partial_{x}^{3}+\partial_{x}^{3} b\right)+c \partial_{x}+\partial_{x} c .
\end{array}
\]
Из уравнения Јакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ следуют формулы для неопределенных коэффициентов $a(t, x, y, z), b(t, x, y, z)$, $c(t, x, y, z):$
\[
a=\partial_{x}^{-1} v_{y}, \quad b=\partial_{x}^{-1} v_{z}, \quad c=-\frac{3}{16} v_{x z}+\frac{3}{8} v \partial_{x}^{-1} v_{z}+\frac{1}{8} \partial_{x}^{-1}\left(v v_{z}\right) .
\]
При выполнепии этих соотношений уравнение Лакса с операторами (7.2), (7.3) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
\[
\begin{array}{l}
v_{t}=\alpha\left(4 v v_{y}+2 v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}-v_{x x y}\right)+ \\
\quad+\beta\left(\frac{3}{4} v v_{x z}+\frac{1}{2} v_{z} v_{x x}+\frac{1}{2} v v_{x x z}-v^{2} v_{z}+\right. \\
\left.+\left(\frac{1}{8} v_{x x}-\frac{3}{4} v v_{x}\right) \partial_{x}^{-1} v_{z}-\frac{1}{4} v_{x} \partial_{x}^{-1}\left(v v_{z}\right)-\frac{1}{16} v_{x x x x z}\right) .
\end{array}
\]
Уравнение (7.4) для функций $v$, не зависящих от переменной $z$, переходит в уравнение (7.1). Для функций
\[
v(t, x, y, z)=u(t, r), \quad r=x+k_{1} y+k_{2} z
\]
уравнение (7.4) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
u_{t}=\alpha k_{1}\left(6 u u_{r}-u_{r r r}\right)- \\
\quad-\frac{1}{16} \beta k_{2}\left(10 u^{3}-5\left(u_{r}\right)^{2}-10 u u_{r r}+u_{r r r}\right)_{r} .
\end{array}
\]
Уравнение (7.5) является линейной комбинацией первого и второго уравнений Кортевега – де Фриза.
В силу уравнения (7.4) собственные числа $f(t, y, z)$ оператора L (7.2), согласно ооновной лемме § 2 , удовлетворяют уравнению
\[
f_{t}=4 \alpha f f_{y}-\beta f^{2} f_{z} .
\]
Решения уравнепия (7.6) обладают тем же свойством опрокидывания графика функции $f(t, y, z)$, что и классическая волна Римана.
Эволюция данных рассеяния $a(k, t, y, z), b(k, t, y, z)$ и $b_{n}(t, y, z)$ для оператора L (7.2) в силу уравнения (7.4) онисывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка по $t, y, z$, которые в принципе могут быть решены. В этом смысле трехмерное уравнение (7.4) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L (7.2).
