I. В классической работе [71] численно изучалась динамика частиц на прямой с лагранжианом
\[
L=\sum_{k}\left(\frac{1}{2} \dot{q}_{k}^{2}-V\left(q_{k+1}-q_{k}\right)\right)
\]

т’де потенциальная функция имета вид
\[
V_{1}(u)=\frac{1}{2} u^{2}+\frac{\alpha}{3} u^{3}, \quad V_{2}(u)=\frac{1}{2} u^{2}+\frac{\beta}{4} u^{4} .
\]

Основным результатом работы [71] является открытие аномально большого времени стохастизации рассматриваемых систем при числе частиц порядка ста.

В данном параграфе показано, что нелинейное дифференциальное уравнение, являющееся континуальным пределом систем (6.1) – (6.2), может быть линеаризовано с помощью специального преобразования. Это обстоятельство является еще одним объяснением (см. [72]) отсутствия стохастизации в системах Ферми – Паста – Улама (6.1) $-(6.2)$.
II. Уравнения движения, соответствующие лагранжину (6.1), после растяжения координат $q_{k}$ и времени $t$ могут быть представлены в виде
\[
\ddot{q}_{k}=\frac{1}{\varepsilon}\left(V^{\prime}\left(\frac{q_{k+1}-q_{k}}{\varepsilon}\right)-V^{\prime}\left(\frac{q_{k}-q_{k-1}}{\varepsilon}\right)\right),
\]

где $\varepsilon-$ произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция $u(t, x)$ такая, что $q_{k}(x)=$ $=u\left(t, x_{k}\right)$, где $x_{k}=k \varepsilon$. Уравнения (6.3) после указанной подстановки при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходят в уравнение
\[
u_{t i}=\left(V^{\prime}\left(u_{x}\right)\right)_{x} \text {. }
\]

Уравнение (6.4) лагранжево с лагранжианом
\[
L=\frac{1}{2} u_{t}^{2}-V\left(u_{x}\right) .
\]

Динамика общей цепочки частиц (6.3) в отличие от цепочки Тода (1.1), где $V(u)=\exp u$, не интегрируема. Однако ниже мы докажем, что соответствующий континуальный предел – уравнение (6.4) – всегда (при произвольной функции $V(u)$ ) эквивалентен некоторому линейному уравнению. Это утверждение справедливо также и для всех лагранжевых систем с лагранжианами $L\left(u_{t}, u_{x}\right)$, не зависящими явно от функции $u(t, x)$. Соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial L}{\partial u_{t}}+\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial L}{\partial u_{x}}=0 .
\]

Утверждение 2. Уравнение Лагранжа (6.6) для произвольной невырожденной функции Лагранжа $L\left(u_{t}, u_{x}\right)$ эквивалентно некоторому линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. $B$ случе лагранжиана (6.5) эквивалентное линейное уравнение также является лагранжевым и имеет лагранжиан
\[
L=\frac{1}{2} v_{r}^{2}-\frac{1}{2} V^{\prime \prime}(r) v_{p}^{2} .
\]

Доказательство. Обозпачим $p=u_{t}, r=u_{x}$; условие совместности $u_{t x}=u_{x t}$ переходит в уравнение
\[
p_{x}-r_{t}=0 .
\]

Уравнение Лагранжа (6.6) принимает вид
\[
L_{p p} p_{t}+L_{p r} r_{t}+L_{r p} p_{x}+L_{r r} r_{x}=0 .
\]

Нелипейная система уравпений (6.8) – (6.9) эквивалентна уравнению Лагранжа (6.6). Следуя классическим работам Римана по газовой динамике [73], применим к системе (6.8), (6.9) преобразование годографа, т. е. сделаем нелинейное преобразование
\[
p(t, x), r(t, x) \rightarrow t(p, r), x(p, r) .
\]

Частные производные функций (6.10) связаны соотношениями
\[
p_{t}=D x_{r}, \quad r_{t}=-D x_{p}, \quad p_{x}=-D t_{r}, \quad r_{x}=D t_{p},
\]

где $D=\left(t_{p} x_{r}-t_{r} x_{p}\right)^{-1}
eq 0$. В силу равенств (6.11) уравнения (6.8), (6.9) после преобразования годографа (6.10) принимают вид
\[
t_{r}-x_{p}=0, \quad L_{p p} x_{r}-L_{p r}\left(x_{p}+t_{r}\right)+L_{p p} t_{p}=0 .
\]

Из первого уравнения (6.12) находим $t=v_{p}, x=v_{r}$. Поэтому второе уравнение (6.12) принимает вид
\[
L_{p p} v_{r r}-2 L_{p r} v_{p_{r}}+L_{r r} v_{p p}=0 .
\]

Уравнение (6.13), очевидно, является линейным относительно функции $v(p, r)$.

В случае лагранжиапа $L$ (6.5) уравнение (6.13) переходит в уравнение
\[
v_{r r}-V^{\prime \prime}(r) v_{p p}=0,
\]

которое является лагранжевым уравнением, отвечающим лагранжиану (6.7). Утверждение 2 доказано.
Замечание. Если лагранжиан $L$ имеет вид
\[
L\left(u_{t}, u_{x}\right)=A\left(u_{t}\right)+B\left(u_{x}\right),
\]

то соответствующее линейное уравнение (6.13) является лагранжевым с лагранжнаном
\[
L_{1}=\frac{1}{2} A^{\prime \prime}(p) v_{r}^{2}+\frac{1}{2} B^{\prime \prime}(r) v_{p}^{2} .
\]

В случае лагранжианов (6.5), (6.15) соответствующие линейные уравнения (6.13) могут быть репшены методом Фурье разделения переменных. С помощью преобразования годографа [73] произвольное нелинейное дифференциальное уравнение вида
\[
A\left(u_{t}, u_{x}\right) u_{t t}+B\left(u_{t}, u_{x}\right) u_{t x}+C\left(u_{t}, u_{x}\right) u_{x x}=0
\]

преобразуется в линейное дифференциальное уравнепие с переменными коэффициентами
\[
A(p, r) v_{r r}-B(p, r) v_{p r}+C(p, r) v_{p p}=0 .
\]
III. Для систем Ферми – Паста – Улама (6.1) – (6.2) предельные дифференциальные уравнения (6.4) имеют вид
\[
u_{t t}=\left(u_{x}+\alpha u_{x}^{2}\right), \quad u_{t t}=\left(u_{x}+\beta u_{x}^{3}\right)_{x} .
\]

Эквивалентные им линейные дифференциальные уравнения (6.13) принимают вид
\[
v_{r r}=(1+2 \alpha r) v_{p p}, \quad v_{r r}=\left(1+3 \beta r^{2}\right) v_{p p} .
\]

Первое уравнение (6.17) является уравнением смешанного типа и после замены $s=-(2 \alpha)^{-1 / 3}(r+1 / 2 \alpha)$ переходит в классическое уравнение Трикоми
\[
v_{s s}+s v_{p p}=0 .
\]

Второе уравнение (6.17) всюду является уравнением гиперболического типа.

В случае цепочки Тода $V(u)=e^{u}$; уравнение принимает вид
\[
v_{r r}-e^{r} v_{p p}=0
\]

и имеет всюду гиперболический тип.

Репения уравнений (6.13)-(6.14) обладают достаточно хорошими свойствами. Однако соответствующее им обратное отображение годографа (6.10) является, вообце говоря, многозначным, что соответствует возникновепию особенностей в решениях уравнения Лагранжа (6.4).

Укажем конструкции некоторых решений уравнения (6.4). Продифференцируем уравнение (6.4) по $x$ и обозначим $r=u_{x}$; получим уравнение
\[
r_{t t}=\left(V^{\prime}(r)\right)_{x x} .
\]

Рассмотрим два уравнения первого порядка
\[
r_{t}+\varepsilon\left(V^{\prime \prime}(r)\right)^{1 / 2} r_{x}=0, \quad \varepsilon= \pm 1 .
\]

Дифференцируя уравнение (6.21) по $t$ и подставляя выражение для $r_{t}$ из (6.21), получаем уравнение
\[
r_{t t}=V^{\prime \prime \prime}(r) r_{x}^{2}+V^{\prime \prime}(r) r_{x x}=\left(V^{\prime \prime}(r) r_{x}\right)_{x}=\left(V^{\prime}(r)\right)_{x x} .
\]

Поэтому решение каждого из уравнений (6.21) является также решением уравнения (6.20) и определяет решение уравпения (6.4) в силу равенства $u_{x}=r$. Обозначим $f=$ $=\left(V^{\prime \prime}(r)\right)^{1 / 2}$. В силу уравнений (6.21) получаем
\[
f_{t}+\varepsilon f f_{x}=0 .
\]

Уравнения (6.22) совпадают с классическими уравнениями опрокидывающейся волны Римана (см. § 5, п. II). Поэтому все лагранжевы уравнения (6.4) имеют решения, удовлетворяющие уравнениям (6.21), (6.22), которые при изменении времени $t$ становятся многозначными.
IV. Двумеризадию систем Ферми – Паста – Улама определим системой уравнений
\[
\frac{\partial^{2} q_{k}}{\partial t \partial x}=\frac{1}{\varepsilon}\left(V^{\prime}\left(\frac{q_{k+1}-q_{k}}{\varepsilon}\right)-V^{\prime}\left(\frac{q_{k}-q_{k-1}}{\varepsilon}\right)\right),
\]

где $\varepsilon$-произвольный параметр. Предположим, что существует гладкая функция $u(t, x, y)$ такая, что $q_{k}(t, x)=$ $=u\left(t, x, y_{k}\right)$, где $y_{k}=k \varepsilon$. Система уравнений (6.23) при $\varepsilon \rightarrow 0$ переходит в уравнение
\[
u_{t x}=\left(V^{\prime}\left(u_{y}\right)\right)_{y} .
\]

Уравнение (6.24) лагранжево с лагранжианом
\[
L=\frac{1}{2} u_{t} u_{x}-V\left(u_{y}\right)
\]

Покажем, что уравнение (6.24) при произвольной функции $V^{\prime}\left(u_{y}\right)$ имеет решения, которые при изменении
времени $t$ становятся многозначными. Уравнение (6.24) после дифференцирования по $y$ и обозначения $u_{y}=r$ принимает вид
\[
r_{t x}=\left(\dot{V}^{\prime}(r)\right)_{y y} .
\]

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка
\[
r_{t}=f(r) r_{y}, \quad r_{x}=g(r) r_{y},
\]

где $f(r), g(r)$ – некоторые функции. Дифференцируя первое уравнение (6.27) по $x$, а второе по $t$ и подставляя выражения $r_{t}$ и $r_{x}$ из этих уравнений, получаем равенства
\[
r_{t x}=r_{x t}=(f g)^{\prime} r_{y}^{2}+f g r_{y y}=\left(f g r_{y}\right)_{y} .
\]

Поэтому уравнения (6.27) совместны. Пусть функции $f(r)$ и $g(r)$ удовлетворяют равенству $f(r) g(r)=V^{\prime \prime}(r)$. Тогда уравнение (6.28) совпадает с уравнением (6.26). Поэтому любое решение совместной системы уравнений (6.27) при $f(r) g(r)=V^{\prime \prime}(r)$ определяет решение уравнения (6.26). Из уравнений (6.27) следует уравнение
\[
r_{t}=\frac{f(r)}{g(r)} r_{x} .
\]

Из уравнений (6.27), (6.29) следуют уравнения
\[
f_{t}=f f_{y}, \quad g_{x}=g g_{y}, \quad\left(\frac{f}{g}\right)_{t}=\frac{f}{g}\left(\frac{f}{g}\right)_{x},
\]

каждое из которых совнадает с уравнением опрокидывающейся волны Римана. Поэтому любое непостоянное решение уравнений (6.27), (6.29) при изменении независимых переменных становится многозначным. Следовательно, и соответствующие решения уравнений (6.24), (6.26) многозначны.