I. Во многих задачах гидродинамики возникают одномерные волны Римана, которые определяются уравнением
\[
v_{t}=k v v_{y} .
\]

В работах [31,32] изучались системы гидродинамического типа, включающие в себя уравнение (1.1) и возникающие при усреднении интегрируемых уравнений по методу Боголюбова – Уизема.

Исследуем вопрос о двумерном взаимодействии волны Римана (1.1), распространяющейся по оси $y$, с длинными волнами, распространяющимися по оси $x$. Подобное взаимодействие в некотором приближении наблюдается в волнах на поверхности моря. Какое уравнение может описывать это взаимодействие?

Естественным требованием к уравнению нелинейных волн является линейность по старшим производным и наличие у линеаризованного уравнения волновых решений вида $v(t, x, y)=a \cos \left(k_{1} x+k_{2} y-\omega t\right)$. Вследствие этого каждое слагаемое в линеаризованном уравнении должно содержать производные только нечетного порядка. Так же естественно предположить, что уравнение в делом имеет квадратичную нелинейность и для функций, не зависящих от $x$, переходит в уравнение волны Римана (1.1), а для функций, зависящих от одной пространственной переменной $z=x+c y$ (при произвольных постоянных $c$ ), переходит в уравнение длинных волн в уравнение Кортевега – де Фриза
\[
v_{t}=m_{1} v_{z}+m_{2} v v_{z}+m_{3} v_{z z z} .
\]

Разумеется, эти предположения означают наличие некоторой анизотропии среды по отношению к дисперсии волн. Уравнение с производными третьего порядка, удовлетворяющее перечисленным условиям, может иметь только следующий вид:
\[
\begin{aligned}
v_{t}=c_{1} v_{x}+c_{2} v v_{x}+ & c_{3} v v_{y}+c_{4} v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}+c_{5} v_{x x x}+c_{6} v_{x x y}+ \\
& +c_{7} v_{x y y}+c_{8} v_{x} \partial_{x}^{-2} v_{y y}+c_{9} v_{x} \partial_{x}^{-3} v_{y y y} .
\end{aligned}
\]

В этом уравнении нет слагаемых
\[
\begin{array}{llll}
c_{10} v_{y}, & c_{11} v_{y} \partial_{x}^{-1} v_{y}, \quad c_{12} v_{x} \partial_{y}^{-1} v_{x}, & c_{13} v_{y} \partial_{y}^{-1} v_{x}, & c_{14} v_{y y y}, \\
c_{15} v_{x}^{2}, & c_{16} v_{x} v_{y}, \quad c_{17} v_{y}^{2}, \quad c_{18} v_{x} v_{x x}, & c_{19} v_{y} v_{x x} \text { и т. д., }
\end{array}
\]

так как они не удовлетворяют указанным условиям.

Всюду в дальнейшем операторы $\partial_{x}^{-1}$ и $\partial_{y}^{-1}$ однозначно определяются формулами
\[
\left(\partial_{x}^{-1} v\right)(x, y)=\int_{0}^{x} v(\xi, y) d \xi, \quad\left(\partial_{y}^{-1} v\right)(x, y)=\int_{0}^{y} v(x, \xi) d \xi .
\]

В уравнении (1.3) слагаемое $c_{1} v_{x}$ устраняется с помощью замены координат
\[
x^{\prime}=x+c_{1} t, \quad y^{\prime}=y, \quad t^{\prime}=t .
\]

Слагаемые $c_{2} v v_{x \text { и }} c_{5} v_{x x x}$ устраняются по отдельности с помощью замены
\[
x^{\prime \prime}=x^{\prime}+c_{0} y^{\prime}, \quad y^{\prime \prime}=y^{\prime}, \quad t^{\prime \prime}=t^{\prime},
\]

где $c_{0}=-c_{2} /\left(c_{3}+c_{4}\right)$ и $c_{0}=-c_{5} /\left(c_{6}+c_{7}\right)$, и одновременно если выполнено соотношение $c_{2} /\left(c_{3}+c_{4}\right)=c_{5} /\left(c_{6}+c_{7}\right)$. Другие линейные замены координат, отличные от (1.4), (1.5), приводят только к усложнению уравнения (1.3). Поэтому существенная, неустранимая часть этого уравнения имеет вид
\[
\begin{array}{l}
v_{t}=c_{3} v v_{y}+c_{4} v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}+c_{6} v_{x x y}+c_{7} v_{x y y}+ \\
+c_{8} v_{x} \partial_{x}^{-2} v_{y y}+c_{9} v_{x} \partial_{x}^{-3} v_{y y y} .
\end{array}
\]

В дальнейшем рассматривается простейший случай уравнения (1.6), удовлетворяющий естественному условию, что уравнение, как и уравнение волны Римана (1.1), содержит минимальное возможное число производных по координате $y$, т. е. имеет вид
\[
v_{t}=k v v_{y}+m v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}-s v_{x x y} .
\]
II. Перечислим некоторые свойства уравнения (1.7). Для функций $v(t, x, y)$, не зависящих от $x$, уравнение (1.7) переходит в уравнение волны Римана (1.1). Для функций $v(t, x, y)$ вида $v(t, x, y)=u(t, z), z=x+c^{-1} y$, уравнение (1.7) переходит в уравнение КдФ
\[
c u_{t}=(k+m) u u_{z}-s u_{z z z} .
\]

Для функций $v(t, x, y)$ вида
\[
v(t, x, y)=u(\tau, x), \quad \tau=c t+y,
\]

уравнение (1.7) переходит в уравнение
\[
c u_{\tau}=k u u_{\tau}+m u_{x} \partial_{x}^{-1} u_{\tau}-s u_{x x \tau},
\]

которое исследовалось в работах $[33,34]$ при дополнительных предположениях $k=2 m$ и $k=m$.
После замены $v=u_{x}$ уравнение (1.7) принимает вид
\[
u_{x i}=k u_{x} u_{x y}+m u_{y} u_{x x}-s u_{x x x y} .
\]

Нетрудно проверить, что производные по $t$ от выражений
\[
P_{1}(u)=u_{x}^{2}, \quad P_{2}(u)=\frac{3 s}{k+m} u_{x x}^{2}+u_{x}^{3}
\]

в силу уравнения (1.10) имеют дивергентный вид. Поэтому уравнение (1.10) обладает двумя первыми интегралами
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{2} u_{x}^{2} d x d y, \quad I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int^{3}\left(\frac{3 s}{k+m} u_{x x}^{2}+u_{x}^{3}\right) d x d y,
\]

которые аналогичны интегралам импульса и энергии для
При $k=m$ уравнение (1.10) эквивалентно эволюционному уравнению
\[
u_{t}=u_{x} u_{y}-u_{x x y} .
\]

Уравнение (1.10) имеет следующие точные решения:
\[
u(t, x, y)=-2 \lambda \zeta\left(\frac{\lambda(k+m)}{6 s} x+\varphi(y+V t)\right)+V x,
\]

где $\varphi(y)$ – произвольная функция, $\lambda, V$ – произвольные постоянные, $\zeta(x)$ – класическая $\zeta$-функция Вейерштрасса, $\zeta^{\prime}(x)=-\gamma^{\circ}(x)$. үе-функция Вейерштрасса является двоякопериодической и мероморфной; $\zeta$-функция удовлетворяет соотношениям
\[
\zeta(z+2 \omega)=\zeta(z)+2 \eta, \quad \zeta\left(z+2 \omega^{\prime}\right)=\zeta(z)+2 \eta^{\prime}
\]

и определяется сходящимся рядом
\[
\zeta(z)=\frac{1}{z}+\sum_{m, n}^{\infty}\left(\frac{1}{z-w_{m n}}+\frac{1}{w_{m n}}+\frac{z}{w_{m n}^{2}}\right),
\]

где $w_{m n}=2 m \omega+2 n \omega^{\prime}-$ векторы решетки периодов на комплексной плоскости. Доказательство того, что формула (1.12) определяет решение уравнения (1.10), следует из уравнения $\wp^{\prime \prime \prime}=12 \wp \wp^{\prime}$ для $\wp$-функции Вейерштрасса [176].

Уравнение (1.10) имеет автомодельные решения следующего вида:
\[
u(t, x, y)=t^{\alpha} u(z, v), \quad z=x t^{\alpha}, \quad v=y t^{-1-2 \alpha},
\]

где $\alpha$ – произвольный параметр. Уравнение (1.10) после подстановки выражений (1.14) принимает вид
\[
2 \alpha u_{z}+\alpha z u_{z z}-(1+2 \alpha) v u_{z v}=k u_{z} u_{z v}+m u_{v} u_{z z}-s u_{z z z} \text {. }
\]

В двух специальных случаях $\alpha=0$ и $\alpha=-1 / 2$ уравнение (1.15) обладает трансляционной инвариантностью по одной из координат $z, v$. При $\alpha=-1 / 3$ уравнение (1.15). имеет одномерные автомодельные решения $u(z, v)=u(\xi)$, $\xi=z+v$, для которых сводится к уравнению
\[
-\frac{1}{3_{\alpha}}\left(2 f+\xi f^{\prime}\right)=(k+m) f f^{\prime}-s f^{\prime \prime \prime}, \quad f=u^{\prime},
\]

известному из теории уравнения КдФ.
Предельными к решениям вида (1.14) являются автомодельные решения
\[
u(t, x, y)=e^{t} u(z, v), \quad z=x e^{t}, \quad v=y e^{-2 t},
\]

для которых уравнение (1.10) сводится к уравнению
\[
2 u_{z}+z u_{z z}-2 v u_{z v}=k u_{z} u_{z v}+m u_{v} u_{z z}-s u_{z z z v} .
\]
III. Уравнения (1.10) при различных значениях параметра $k / m$ не эквивалентны – все масштабные преобразования сохраняют это отношение. Значение параметра $k / m=2$ оказывается выделенным. В этом случае уравнение (1.10) гамильтоново д имеет вид
\[
u_{t}=\partial_{x}^{-1} \delta H / \delta u \text {, }
\]

где гамильтониан $H(u)$ определен формулой
\[
H(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-}\left(\frac{s}{2} u_{x x x}-\frac{m}{2} u_{x}^{2}\right) u_{y} d x d y .
\]

При $k / m=2$ уравнение (1.10) после масштабного преобразования $x^{\prime}=\frac{m}{2 s} x, y^{\prime}=\frac{4 s}{m^{2}} y$ принимает вид
\[
u_{t x}=4 u_{x} u_{x y}+2 u_{y} u_{x x}-u_{x x x y} .
\]

Именно это уравнение ввиду его выделенного характера и будет исследоваться в дальнейшем.
IV. Важным свойством уравнения (1.16) является наличие для него эквивалентного представления Јакса
\[
\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}],
\]

где $\mathrm{L}$ – оператор Шрёдингера
\[
\mathrm{L}=-\partial_{x}^{2}+u_{x}(t, x, y)
\]

A – кососимметрический оператор
\[
\mathrm{A}=-2\left(\partial_{y} \mathrm{~L}+\mathrm{L} \partial_{y}\right)-\left(u_{y} \partial_{x}+\partial_{x} u_{y}\right)
\]

здесь $\partial_{x}=\partial / \partial x, \partial_{y}=\partial / \partial y$.
Существенно, что в представлении Лакса (1.17)(1.19) оператор $L$ является одномерным дифференциальным оператором. Вследствие этого, как будет показано в дальнейшем (см. § 3), уравнение (1.16) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния. Поэтому уравнение (1.16) вкладывается в построенный в работах $[13-15]$ класс нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью обратного сщектрального преобразования, ассоциированного с матричным оператором Шрёдингера. Основным применением методов работ [1315] было открытие интегрируемого одномерного «уравнения бумерона».

Уравнение Лакса (1.17) после добавления к оператоpy A (1.19) ошератора
\[
\mathrm{A}_{1}=\gamma\left(4 \partial_{x}^{3}-3\left(u_{x} \partial_{x}+\partial_{x} u_{x}\right)\right)
\]

приводит к нелинейному уравнению, которое относится к общему классу уравнений (1.3):
\[
u_{t x}=4 u_{x} u_{x y}+2 u_{y} u_{x x}-u_{x x x y}+\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right) .
\]

Уравнение (1.21) эквивалентно уравнению (1.16) и преобразуется в него заменой координат $x^{\prime}=x-\gamma y, y^{\prime}=y$.

В заключение разюмируем: в данном параграфе показано, что двумерное уравнение
\[
v_{t}=4 v v_{y}+2 v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}-v_{x x y}+\gamma\left(6 v v_{x}-v_{x x x}\right),
\]

описывающее взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси $y$, с длинными волнами, распространяющимися по оси $x$, допускает эквивалентное представление Лакса (1.17) – (1.19). Подробное исследование уравнения (1.21) – (1.22) приведено ниже, в § 2 и 3 .