Дальнейшая конструкция основана на следующем разложении на множители (факторизации) оператора Шрёдингера [74]:
\[
L_{0}=-d_{x}^{2}+u_{x}=\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}=\left(-d_{x}+v\right)\left(d_{x}+v\right)=-d_{x}^{\mathbf{2}}+v^{2}-v_{x}
\]
\[
L_{0}=-d_{x}^{2}+u_{x}=\mathrm{LL}^{t}=\left(d_{x}+v\right)\left(-d_{x}+v\right)=-d_{x}^{2}+v^{2}+v_{x} .
\]

Здесь $\mathrm{L}=d_{x}+v$ — простейший дифференциальный оператор. В силу разложений (3.1), (3.2) наиболее естественно появляются преобразования Миуры $u_{x}=v^{2}-v_{x}$, $u_{x}=v^{2}+v_{x}$. Факторизации различных дифференциальных операторов использовались в рао́отах [75-79].

В ряде случаев уравнение Јакса для сператора $\mathrm{L}_{0}$ является следствием операторного уравиения $[27-29,74]$
\[
\mathrm{L}_{t}=\mathrm{LA}+\mathrm{BL}
\]

для оператора L. которое и приводит к модифицированному уравнению для функции $v$. Более того, уравнение (3.3) само оказывается эквивалентным некоторому другому уравнению Лакса.

Пусть $\mathrm{L} \approx d_{x}+v, \mathrm{~A}$ и В являются кососимметрическими операторами третьего порядка
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A}=4 d_{x}^{2} d_{y}+a_{1} d_{x}+a_{2} d_{y}+\frac{1}{2} a_{1 x}+\frac{1}{2} a_{2 y}, \\
\mathrm{~B}=-4 d_{x}^{2} d_{y}+b_{1} d_{x}+b_{2} d_{y}+\frac{1}{2} b_{1 x}+\frac{1}{2} b_{2 y} .
\end{array}
\]

Простое вычисление приводит к формуле
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{LA}+\mathrm{BL}=\left(a_{1}+b_{1}-4 v_{y}\right) d_{x}^{2}+\left(a_{2}+b_{2}-8 v_{x}\right) d_{x} d_{y}+ \\
+\left(a_{1 x}+\frac{1}{2}\left(a_{1}+b_{1}\right)_{x}+\frac{1}{2}\left(a_{2}+b_{2}\right)_{y}+v\left(a_{1}+b_{1}\right)-8 v_{x y}\right) d_{x}+ \\
\quad+\left(a_{2 x}+v\left(a_{2}+b_{2}\right)-4 v_{x x}\right) d_{y}+\frac{1}{2} v\left(a_{1}+b_{1}\right)_{x}+ \\
+\frac{1}{2} v\left(a_{2}+b_{2}\right)_{y}+b_{1} v_{x}+b_{2} v_{y}+\frac{1}{2} a_{1 x x}+\frac{1}{2} a_{2 x y}-4 v_{x x y} .
\end{array}
\]

Уравнение (3.3) в силу $\mathrm{L}_{t}=v_{t}$ приводит к условию равенства нулю коэффициентов цри четырех дифференціальных операторах $d_{x}^{2}, d_{x} d_{y}, d_{x}, d_{y}$ в полученном выражении для LA + BL. Эти четыре условия эквивалентны следующим равенствам:
\[
\begin{array}{c}
a_{1 x}=2\left(v_{x}-v^{2}\right)_{y}, a_{2}=4\left(v_{x}-v^{2}\right)+c_{2}, \\
b_{1}=4 v_{y}-a_{1}, b_{1 x}=2\left(v_{x}+v^{2}\right)_{y}, b_{2}=4\left(v_{x}+v^{2}\right)-c_{2} .
\end{array}
\]

Функции $a_{1}, a_{2}$ согласно (3.5) выражаются через преобразование Миуры $u_{x}=v^{2}-v_{x}$, а функции $b_{1}, b_{2}$ выражаются через преобразование Миуры $u_{x}=v^{2}+v_{x}$.

После подстановки формул (3.5) в скалярную часть выражения LA + BL операторное уравнение (3.3) сводится к следующему уравнению
\[
v_{t}=4 v^{2} v_{y}+b v_{x}-v_{x x y}-c_{2} v_{y}, \quad b_{x}=2\left(v^{2}\right)_{y} .
\]

Это уравнение эквивалентно уравнепию (1.5), так как слагаемое — $c_{2} v_{y}$ устраняется после замены переменных $t_{1} \Rightarrow t, x_{1}=x, y_{1}=y+c_{2} t$. В дальнейшем полагаем $c_{2}=0$.

Таким образом, уравнение (1.5) эквивалентпо операторному уравнению (3.3) — (3.4). Представление Лакса для уравнения (1.5) следует из операторного уравнения (3.3) в силу следующего утверждения.

Утверждение 1. Eсли операторы А и В кососимметрические, то уравнение (3.3) эквивалентно уравнению Лакса
\[
\mathrm{L}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right],
\]

где операторы $\mathrm{L}_{1}$ и $\mathrm{A}_{1}$ действуют на двухкомпонентные вектор-функции и имеют вид
\[
\mathrm{L}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \mathrm{~L}^{t} \\
\mathrm{~L} & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{A}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{A} & 0 \\
0 & \mathrm{~B}
\end{array}\right) .
\]

Действительно, уравнение (3.6), (3.7) эквивалентно двум уравнениям
\[
\mathrm{L}=\mathrm{LA}+\mathrm{BL}, \quad \mathrm{L}^{t}=-\mathrm{AL}^{t}-\mathrm{L}^{t} \mathrm{~B} .
\]

Второе уравнение (3.8) эквивалентно первому, так как получается из него сопряжением (транспонированием) с учетом условий $\mathrm{A}^{t}=-\mathrm{A}, \mathrm{B}^{t}=-\mathrm{B}$. Поэтому уравнения (3.3) и (3.6) — (3.7) эквивалентны.
Из представления Лакса (3.6) получаем следствие
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{2}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{L}_{1}^{2}, \mathrm{~A}_{1}\right], \quad \mathrm{L}_{1}^{2}=\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L} & 0 \\
0 & \mathrm{LL}^{t}
\end{array}\right),
\]

которое в силу формул (3.7) эквивалентно двум уравнениям
\[
\left(\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{L}^{t} \mathrm{~L}, \mathrm{~A}\right], \quad\left(\mathrm{LL}^{t}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{LL}^{t},-\mathrm{B}\right] .
\]

В случав $\mathrm{L}=d_{x}+v$ справедливы формулы (3.1), (3.2). Поэтому в силу формул (3.5) получаем, что оба оператора $\mathrm{A}$ и -В (3.4) имеют одинаковый вид
\[
\mathrm{A}_{0}=4 d_{x}^{2} d_{y}-2 u_{y} d_{x}-4 u_{x} d_{y}-3 u_{x y},
\]

где $u_{x}=v^{2}-v_{x}$ для оператора $\mathrm{A}$ п $u_{x}=v^{2}+x_{x}$ для оператора -В. Оператор (3.11) совпадает с оператором, указанным в гл. II в представлении Јакса для уравнения (1.1) (см. формулу (1.19) предыдущей главы). Поэтому два представления Лакса (3.10) совнадают с представлением Лакса для уравнения (1.1), полученным в г.ग. II.

Тем самым получено второе, независимое доказательство того, что из уравнения (1.5) ири двух преобразованиях Миуры следует уравнение (1.1).

Обозначим $u_{1 x}=v^{2}-v_{x}$ и $u_{2 x}=v^{2}+v_{x}$. Оператор $\mathrm{A}_{1}$ в силу формул (3.4), (3.5), (3.7) имеет следующий вид:
\[
\mathrm{A}_{1}=-2\left(\mathrm{~L}_{1}^{2} d_{y}+d_{y} \mathrm{~L}_{1}^{2}\right)-\left(\begin{array}{cc}
u_{1 y} & 0 \\
0 & u_{2 y}
\end{array}\right) d_{x}-d_{x}\left(\begin{array}{cc}
u_{1 y} & 0 \\
0 & u_{2 y}
\end{array}\right) .
\]

Поэтому в рассматриваемом случае уравнение Лакса (3.6) и эквивалентное ему двумерное модифицированное уравнение (1.5) относятся к классу уравнений с опрокидывающимися солитонами, изучавшемуся в § 2 гл. II. Согласно лемме 1 § 2 собственные числа $f(t, y)$ самосопряженного оператора
\[
\mathrm{L}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right) d_{x}+\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) v(t, x, y)
\]

в силу уравнения (1.5) удовлетворяют уравнению
\[
f_{t}-4 f^{2} f_{y}=0
\]

которое, очевидно, приводит к опрокидыванию графика функции $f(t, y)$.