I. B данном параграфе мы покажем, что динамичеккие системы (1.3) и (3.1) являются специалыными случаями некоторых общих динамических систем, которые также цопускают представление Лака и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега – де Фриза. Предварительно выясним, к каким динамическим системам (с точностью до эквивалентности) приводят уравнения Лакса вида
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=a E_{0}^{\alpha}+k E_{0}^{\beta}, \quad \mathrm{A}=x E_{0}^{\gamma}+y E_{0}^{\delta}
\]

с произволыным спектралыным параметром $E_{0}$, где матрицы $a$ и $k$ функционально независимы, $\alpha, \beta, \gamma, \delta$-произвольные действительные числа. Покажем, что нетривиальные уравнения Лакса (6.1) эквивалентны трем различным случаям, определенным условиями $(\alpha, \beta)=$ $\Rightarrow(0,1)$ п $(\gamma, \delta)=(0,1),(-1,-2),(1,-1)$. Умножим оператор $\mathrm{L}$ на $E_{0}^{-\alpha}$ и перейдем к параметру $E=E_{0}^{\beta-\alpha}$; тогда $\left(\alpha_{1}, \beta_{1}\right)=(0,1)$. Если из трех пар чисел $(0,1)$, $\left(\gamma_{1}, \gamma_{1}+1\right),\left(\delta_{1}, \delta_{1}+1\right)$ некоторая пара не пересекается ни с одной другой, то из уравнения (6.1) следует либо тривиальная динамика ( $\dot{a}=0, \dot{k}=0$ ), либо функциональная зависимость матриц $a$ и $k$ (если, например, из (6.1) следует, что $[a, x]=0,[k, x]=0)$. Поэтому ,нетривиальные уравнения (6.1) соответствуют следующим значениям $\operatorname{map}\left(\gamma_{1}, \delta_{1}\right)$ : 1) $\left.\left.(1,-1), 2\right)(0,1) ; 3\right)(0,-1)$; 4) $(1,2)$; 5) (-1, -2). Случаи 2) и 3), а также 4) и 5) эквивалентиы после умножения оператора $\mathrm{L}$ на $E^{c}$ и перемены местами матриц $a$ и $k$.
Окончательно получаем следующие уравнения:
\[
\begin{array}{ll}
\left(\gamma_{1}, \delta_{1}\right)=(1,-1) ; & (a+k E)^{\circ}=\left[a+k E, x E+y E^{-1}\right], \\
\left(\gamma_{1}, \delta_{1}\right)=(0,1) ; & (a+k E)^{\circ}=[a+k E, x+y E], \\
\left(\gamma_{1}, \delta_{1}\right)=(-1,-2) ; & (a+k E)^{\cdot}=\left[a+k E, x E^{-1}+y E^{-2}\right],
\end{array}
\]

которые эквивалентіны соответствелно системам уравнений
\[
\begin{array}{lll}
\dot{a}=[k, y], & \dot{k}=[a, x], \quad[a, y]=0, & {[k, x]=0,} \\
\dot{a}=[a, x], & \dot{k}=[k, x]+[a, y], & {[k, y]=0,} \\
\dot{a}=[k, x], & \dot{k}=0, \quad[a, x]+[k, y]=0, & {[a, y]=0 .}
\end{array}
\]

Системы (6.5), (6.6), (6.7), очевидно, попарно не эквивалентны.

Из алтебраических связей (6.5) следует, что $y=$ $=P(a), x=Q(k)$; ісоответствующие динамические системы в случае матриц $a$ и $k$ ленточного вида рассмотрены в работе [12].

Уравнения (6.6) и (6.7) далее рассматриваются в пространстве матриц ленточного вида, ненулевые элементы которых определяются формулами
\[
a_{i, i-r}=a_{i}, \quad k_{i, i+q}=1 .
\]

Необходимо предположить, что в случае (6.6) $y=$ $=\beta k^{p}$, а в случае (6.7) $y=\beta a^{p}$.
II. Рассмотрим следующие уравнения Лакса, отвечающие случаям (6.3) и (6.4):
\[
\begin{aligned}
\left(a^{m}+k E\right)^{\cdot} & =\left[a^{m}+k E,-b-k^{p} E\right], \\
(a+k E)^{\cdot} & =\left[a+k E, c E^{-1}+\beta a^{p} E^{-2}\right] .
\end{aligned}
\]

Уравнейие (6.9) является следствием уравнений
\[
\begin{array}{r}
\dot{a}=[a, b], \quad b=k^{p-1} a^{m}+k^{p-2} a^{m} k+\ldots+a^{m} k^{p-1}, \\
\dot{k}=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (6.10) является следствием уравнений
\[
\begin{array}{r}
\dot{a}=[k, c], \quad c=\alpha a^{p / 2}+\beta\left(a^{p-1} k+a^{p-2} k a+\ldots+k a^{p-1}\right), \\
\dot{k}=0 .
\end{array}
\]

Для разрешимости уравнений (6.11) в матрицах вида (6.8) необхадимо и достаточно выполнения соотношения
\[
r m=(p-1) q .
\]

Для аналогичной раврешимости уравнений (6.12) необходимо и достаточно выполнения соотношения
\[
2 q=r(p-2),
\]

причем $\alpha=0$, если $p$ – нечетное число.
Динамические системы, определенные условиями (6.11) и (6.12), являются эквивалентными щри $m=1$, $p=3$ (в этом случае уравнения отличаются только знаком); топда в силу (6.13), (6.14) имеем $r=2 q$. При других значениях параметров $r, m, p, q$ уравнения Лакса (6.9) и (6.10) приводят к существенно различным динамическим системам.

III. При условиях (6.13) матрица $b$ (6.11) является диагоналыний с элементами ( $r, m, q, p-1>0$ )
\[
b_{i i}=\sum_{j=0}^{p-1} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i+q j-k r} .
\]

Первое уравнение (6.11) принимает вид динамической системы
\[
\begin{aligned}
\dot{a}_{i, i-r}= & a_{i, i-r}\left(b_{i, i}-b_{i-r, i-r}\right)= \\
& =a_{i}\left(\sum_{j=0}^{p-1} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i+q j-k r}-\sum_{j=0}^{p-1} \prod_{h=0}^{m-1} a_{i+q j-k r-r}\right) .
\end{aligned}
\]

В последнем слагаемом (6.16) преобравуем индекс, используя соотношение (6.13):
\[
\begin{aligned}
i+q j-r(1+k)=i+(p-1-s) q- & r(m-l)= \\
& =i-s q+r l,
\end{aligned}
\]

где $s=0, \ldots, p-1, l=0, \ldots, m-1$. Меняя в (6.17) обозначения, получаем окончательный вид уравпений (6.16)
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{j=0}^{p-1} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i+q j-k r}-\sum_{j=0}^{p-1} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i-q j+k r}\right) .
\]

Уравнения (6.18), очевидно, представляются в виде
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(F\left(a_{i+l}\right)-F\left(a_{i-l}\right)\right),
\]

где $-(p-1) q \leqslant l \leqslant(p-1) q$ п $F$ – функция многих переменных, указанная в (6.18).

При $q=1, r m=p-1$ ряд слагаемых в уравнениях (6.16), (6.18) сокращается, и эти уравнения принимают вид
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{j=1}^{r} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i+j+k r}-\sum_{j=1}^{r} \prod_{k=0}^{m-1} a_{i-j-k r}\right) .
\]

Динамические системы (6.20) при $r=p-1, m=1$ и $r=1, m=p-1$ переходят в системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} a_{i-k}\right), \\
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\prod_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\prod_{k=1}^{p-1} a_{i-k}\right),
\end{array}
\]

совпадающие с дичамическими системами (1.3) и (3.1).

Наиболее важной является динамическая система (6.21); все системы (6.18) с помощью орображения $\alpha_{i}=$ $=\prod_{k=0}^{m-1} a_{i-k r}$ преобразуются в систему
\[
\dot{a}_{i}=\alpha_{i}\left(\sum_{j=0}^{p-1} \alpha_{i+q j}-\sum_{j=0}^{p-1} \alpha_{i-q j}\right),
\]

очевидно, эквивалентпую системе (6.21).
Система (6.18) после подстановли
\[
a_{k}(t)=1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{k}\right), \quad x_{k}=k \varepsilon,
\]

принимает в силу формул (6.13) вид (в точке ( $\left.t, x_{k}\right)$ )
\[
\dot{u}=\left(1-\varepsilon^{2} u\right)\left(c_{1} \varepsilon u_{x}+c_{2} \varepsilon^{3} u_{x x x}+o\left(\varepsilon^{4}\right)\right)
\]

с некоторыми постоянными $c_{1}$ и $c_{2}$. Применим к уравнению (6.25) преобразования $t^{\prime}=t, x^{\prime}=x+c_{1} \varepsilon t$ и ‘ $\tau=$ $=\varepsilon^{3} x t^{\prime}, \quad x_{1}=\sigma x^{\prime}$, мде $x=-c_{2} \sigma^{3}, \quad \sigma=\left(c_{1} / 6 c_{2}\right)^{1 / 2}$. После этих преобразовапий и перехода ‘к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнение (6.25) преобразуется в уравнение Кортевега – де Фриза:
\[
\frac{\partial u}{\partial \tau}=6 u \frac{\partial u}{\partial x_{1}}-\frac{\partial^{3} u}{\partial x_{1}^{3}} .
\]

Тем самым доказана следующая
Теорема 3. Динамические системь (6.18), зависящие от четырех целочисленных параметров $r, m, p, q$, связанных соотношением (6.13), допускают представление Лакса (6.9), (6.8), зависящее от спектрального параметра $E$, и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега – де Фриза. Специальными случалми систем (6.18) являются динамические системы (6.20), (6.21) $u(6.22)$.
IV. При выполнении условий (6.14) матрица $c$ (6.12) имеет следующие ненулевые элементы:
\[
c_{i, i-r-q}=\alpha \prod_{k=0}^{p / 2-1} a_{i-k r}+\beta \sum_{j=0}^{p-1} \prod_{k=0}^{p-2-j} a_{i-k r} \prod_{s=0}^{j-1} a_{i-q+s r} .
\]

Первое уравнение (6.12) определяет динамическую систему
\[
\begin{aligned}
\dot{a}_{i} & =c_{i+q, i-r}-c_{i, i-r-q}=\alpha a_{i}\left(\prod_{k=1}^{p / 2-1} a_{i+k r}-\prod_{h=1}^{p / 2-1} a_{i-k r}\right)+ \\
& +\beta a_{i} \sum_{j=1}^{p-1}\left(\prod_{k=0}^{p-2-j} a_{i+q-k r} \prod_{s=1}^{j=1} a_{i+s r}-\prod_{k=0}^{p-2-j} a_{i-q+k r} \prod_{s=1}^{j-1} a_{i-s r}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь сокращены два совпадающих слатаемых, соответствующих $j=0$.

Динамическая система (6.28) имеет вид (6.19). Поэтому аналогично доказанному выше система (6.28) после подстановки (6.25) и перехода к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразуется в уравнение КдФ (6.26). Тем самым доказана следующая

Теорема. 4. Динамические системь (6.28), зависяцие от трех целочисленных параметров $r, p, q$, удовлетворяющих соотношению (6.14), допускают представление Лакса (6.10), (6.8) и в континуальном пределе переходят в уравнение Кортевега – де Фриза.