I. Пусть $\mathfrak{A}$ – произвольная непрерывная (вещественная или комплексная) ассоциативная алгебра, Н: $\mathfrak{A} \rightarrow$ $\rightarrow \mathfrak{A}$ – произвольный ее автоморфизм:
\[
\begin{aligned}
\mathrm{H}\left(k_{1} a+k_{2} b\right) & =k_{1} \mathrm{H}(a)+k_{2} \mathrm{H}(b), \\
\mathrm{H}(a b) & =\mathrm{H}(a) \mathrm{H}(b),
\end{aligned}
\]

где $a, b \in \mathfrak{I} ; k_{1}, k_{2} \in \mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. В дальнейшем рассматриваются следующие примеры:
1) $\mathfrak{A}=\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ – алгебра матриц $\mathrm{H}(a)={\mathrm{Q} a \mathrm{Q}^{-1}}^{-1}$ внутренний автоморфизм.

2) $\mathfrak{X}=\mathscr{F}(\mathscr{M})$ – алгебра гладких или непрерывных функций на произвольном многообразии $\mathscr{M}, \mathrm{H}$ – оператор сдвига: $\mathrm{H}(a(x))=a(h(x))$, где $x \in \mathscr{M}, h: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}-$ некоторое обратимое отображение (возможно, сохраняющее меру).
3) $\mathfrak{A}=\mathscr{F}(\mathscr{M}, \mathrm{gl}(n, \mathbb{R}))$ – алгебра матричнозначных функций на многообразии $\mathscr{M}$ (гладких или непрерывных). Наиболее общие автоморфизмы $\mathrm{H}$ имеют вид
\[
\mathrm{H}(a)(x)=\mathrm{Q}(x) a(h(x)) \mathrm{Q}^{-1}(x),
\]

где $\mathrm{Q}(x)$ – обратимая матрица, зависящая от точки $x \in \mathscr{A}$.
4) $\mathfrak{A}=\mathbb{R}[\pi]$ или $\mathfrak{U}=\mathbb{C}[\pi]$ – групповая алгебра некоторой групшы $\pi$, ее элементы – функции на группе $a(g), g \in \pi$. Автоморфизмы $\mathrm{H}$ определены формулой $\mathrm{H}(a)(g)=a(h(g))$, где $h: \pi \rightarrow \pi$ – произвольный автоморфизм группы $\pi$.

В дальнейшем предполагается, что на алгебре $\mathfrak{A}$ определена линейная функция $t: \mathfrak{U} \rightarrow \mathbb{R}$ или $t: \mathfrak{A} \rightarrow \mathbb{C}$, обладающая следующими свойствами:
\[
t(a b)=t(b a), \quad t(\mathrm{H}(a))=t(a),
\]

где $\mathrm{H}$ – произвольный автоморфизм из некоторой фиксированной допустимой групшы автоморфизмов $\Gamma$. Если $\mathfrak{A}=\mathrm{gl}(n, \mathbb{C}), \quad \mathrm{H}(a)={\mathrm{Q} a \mathrm{Q}^{-1}}$, то функция $t(a)$ является следом $\operatorname{Tr}(a)$ матрицы $a$. Если $\mathfrak{A}=\mathscr{F}_{n}(\mathscr{M})$ – алгебра матричнозначных функций на $\mathscr{M}$, то группа $\Gamma$ автоморфизмов определяется преобразованиями $h: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$, сохраняющими меру $\mu: \mathrm{H}(a)(x)=\mathrm{Q}(h(x)) a(h(x)) \mathrm{Q}^{-1}(h(x))$. При этом функция $t(a)$ определяется формулой
\[
t(a)=\int_{\mathcal{M}} \operatorname{Tr}(a(x)) d \mu(x) .
\]

В случае групповой алгебры $\mathbb{R}[\pi]$ функция $t(a)$ имеет вид $t(a)=a(1)$.

Пусть $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ – линейные операторы, действую щие на алгебре $\mathfrak{A}$, заданные формулами
\[
\mathrm{L}(t)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}(t) \mathrm{H}_{i}, \quad \mathrm{~A}(t)=\sum_{j=1}^{m} b_{j}(t) \mathrm{H}_{j},
\]

где $a_{i}(t), b_{j}(t) \in \mathfrak{A}, \mathrm{H}_{i}, \mathrm{G}_{j}$ – постоянные автоморфизмы из допустимой группы $\Gamma$. Предполагается, что разложение операторов $\mathrm{L}(t), \mathrm{A}(t),[\mathrm{L}(t), \mathrm{A}(t)]$ в прямую сумму (1.4) определено однозначно. Это свойство выполнено, например, если $\mathfrak{A}=\mathscr{F}(\mathscr{M}, \mathbb{R})$ – алгебра непрерывных функций на многообразии $\mathscr{M}$, а автоморфизмы $\mathrm{H}_{i}, \mathrm{G}_{j}$ являются степенями автоморфизма сдвига $\mathrm{H}_{0}$, который не является периодическим. Определим числовую функцию
\[
T(\mathrm{~L})=t\left(a_{k}\right), \quad \mathrm{H}_{k}=\mathrm{id} .
\]

Здесь элемент $a_{k}$ определен условием $\mathrm{H}_{k}=\mathrm{id}$ – тождественный автоморфизм. Если тождественного автоморфизма нет в разложении (1.4) оператора $\mathrm{L}$, то полагаем $T(\mathrm{~L})=0$. Покажем, что функция $T(\mathrm{~L})$ обладает следующим свойством:
\[
T(\mathrm{LA})=T(\mathrm{AL}), \quad T([\mathrm{~L}, \mathrm{~A}])=0 .
\]

Действительно, коммутатор операторов L и A (1.4) имеет вид
\[
\mathrm{LA}-\mathrm{AL}=\sum_{i, j}^{n, m}\left(a_{i} \mathrm{H}_{i}\left(b_{j}\right) \mathrm{H}_{i} \mathrm{G}_{j}-b_{j} G_{j}\left(a_{i}\right) \mathrm{G}_{j} \mathrm{H}_{i}\right) .
\]

Согласно определению (1.5) имеем
\[
T(\mathrm{LA}-\mathrm{AL})=\sum_{i, j}\left(t\left(a_{i} \mathrm{H}\left(b_{j}\right)\right)-t\left(b_{j} \mathrm{G}_{j}\left(a_{i}\right)\right)\right),
\]

где индексы $i$ и $j$ определены условиями $\mathrm{H}_{i} \mathrm{G}_{j}=\mathrm{id}$. Поэтому используя формулы (1.2), получаем
\[
T(\mathrm{LA}-\mathrm{AL})=\sum_{i, j}\left(t\left(a_{i} \mathrm{H}_{i}\left(b_{j}\right)\right)-t\left(\mathrm{G}_{j}\left(\mathrm{H}_{i}\left(b_{j}\right) a_{i}\right)\right)\right)=0 .
\]

Свойством (1.6) обладает также след $\operatorname{Tr}(L)$ оператоpa L. Однако функция $T(\mathrm{~L})$, очевидно, не совпадает со следом оператора $L$ даже в простейшем случае, когда алгебра $\mathfrak{A}$ конечномерна. Если алгебра $\mathfrak{A}$ бесконечномерна – например $\mathfrak{U}=\mathscr{F}_{n}(\mathscr{M})$, то след линейных операторов на $\mathfrak{A}$ не определен. Однако функция $T(\mathrm{~L})$ определена формулами (1.5), (1.3) для всех ошераторов вида (1.4).
Рассмотрим операторное уравнение типа Лакса
\[
\mathrm{L}=\mathrm{LA}-\mathrm{AL} \text {. }
\]

В силу (1.4), (1.7) уравнение (1.10) эквивалентно некоторой системе дифференциальных и алгебраических уравнений для коэффициентов $a_{i}(t), b_{j}(t)$.

Јумма 1. Уравнение (1.10) и эквивалентная ему система уравнений в пространстве коэффициентов $a_{i}, b_{j}$ имеют счетное множество первых интегралов $I_{n}$, определенных формулами
\[
I_{n}=T\left(\mathrm{~L}^{n}\right) .
\]

Доказательство. Из уравнения (1.10) при любом $n$ следуют уравнения
\[
\left(\mathrm{L}^{n}\right)^{*}=\mathrm{L}^{n} \mathrm{~A}-\mathrm{AL}^{n} .
\]

Поэтому в силу формулы (1.6) получаем
\[
I_{n}^{*}=T\left(\left(\mathrm{~L}^{n}\right)^{*}\right)=0,
\]
т. е. функции $I_{n}$ являются первыми интегралами уравнения (1.10).

Отметим, что в случае конечномерной алгебры $\mathfrak{A}$ уравнение (1.10) имеет еще набор первых интегралов
\[
J_{k}=\operatorname{Tr}\left(L^{k}\right),
\]

которые, вообще говоря, не совпадают с первыми интегралами (1.11). Существенно, что в случае бесконечномерной алгебры $\mathfrak{U}$ (при условии однозначности разложения (1.4)) первые интегралы (1.11) корректно определены, а интегралы (1.13) – нет.