I. Рассмотрим уравнения Эйлера (1.4) на алгебре Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3) \quad\left(n_{i}=m_{i}=1\right)$ с квадратичным гамильтонианом общего вида
\[
2 H=\sum_{i, j=1}^{3}\left(a_{i j} M_{i} M_{j}+2 c_{i j} M_{i} K_{j}+b_{i j} K_{i} K_{j}\right) .
\]

Гамильтониан (5.1) зависит от 21 параметра $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}$.
Специальным случаем уравнений Эйлера (1.4) являются классические уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение [145-148]. Эти уравнения в самом общем случае содержат 12 параметров, определяющих компоненты тензора инерции твердого тела $I_{i k}$ и расположение эллипсоидальной полости $\left(D_{i k}\right)$. В частности, в случае диагональных матрип $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}$ (заполняющих девятимерное пространство $V^{9}$ ) гамильтонианы, описывающие динамику рассматриваемого объекта, образуют шестимерное подмногообразие $V^{6}$ в $V^{9}$. Новые интегрируемые случаи, найденные в § 2 ((2.3) и (2.9)), зависят от трех произвольных параметров, и их пересечение с многообразием $V^{6}$ тривиально, т. е. эти случаи не соответствуют указанной физической задаче. Интетрируемые случаи (4.12) зависят от шести произвольных параметров, поэтому их пересечение с подмногообразием $V^{6}$ не более чем трехмерно. Это трехмерное семейство интегрируемых случаев и было указано В. А. Стекловым в работе [106].
II. Для нахождения физических применений более широкого класса уравнений Эйлера на алгебре Ли SO(4) рассмотрим динамику твердого тела с $n$ эллинсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Выделим систему отсчета $S$, жестко связанную с твердым телом, центр которой $O$ находится в центре масс. Зануммеруем эллинсоидальные полости инденеом $\alpha=1, \ldots, n$; пусть $r_{\alpha}^{1}, r_{\alpha}^{2}, r_{\alpha}^{3}$ – координаты их центров, $D_{\alpha}$ – симметрические операторы, преобразующие единичный шар в эллипсоидальную $\alpha$-полость. Собственные числа $d_{\alpha 1}, d_{\alpha 2}, d_{\alpha 3}$ оператора $D_{\alpha}$ являются полуосями соответствующей полости, $d_{\alpha}=\operatorname{det} D_{\alpha}=d_{\alpha 1} d_{\alpha 2} d_{\alpha 3}$. Каждая палость целиком заполнена пдеальной несжимаемой жидкостью с постоянной плотностью $\rho_{\alpha}$ и полной массой $m_{\alpha}=4 \pi \rho_{\alpha} d_{\alpha} / 3$.

Вращение твердого тела вокруг центра масс определяется ортогональной матрицей $Q(t)$. Движение жидкости в каждой полости удовлетворяет уравнениям гидродинамики
\[
\rho d v / d t=-\operatorname{grad} p, \quad \operatorname{div} v=0,
\]

где $\rho$ – плотность жидкости, $v$-скорость жидкости, $p$ давлешие. В дальнейшем предполагается, что движение жидкости в каждой полости является движением с однородной деформацией (см. [158]), т. е. определяется следующим преобразованием из лагранжевых координат $a^{k}$ (пробегающих единичный шар $\left(a^{1}\right)^{2}+\left(a^{2}\right)^{2}+\left(a^{3}\right)^{2} \leqslant 1$ ) в эйлеровы координаты $x^{i}$ :
\[
x^{i}=\sum_{k=1}^{3}\left(F_{\alpha k}^{i}(t) a^{k}+Q_{k}^{i} r_{\alpha}^{k}\right), \quad F_{\alpha}=Q D_{\alpha} Q_{\alpha},
\]

где $Q_{\alpha}(t)$-ортогональная матрица, определяющая вращение жидкости в $\alpha$-поласти относительно твердого тела.

Уравнениями цвижения твердого тела с $n$ полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, являются уравнения гидродинамики (4.2) в каждой полости и вакон сохранения полного момента импульса. Введем обозначение
\[
\dot{Q}=Q A_{0}, \quad \dot{Q_{\alpha}}=-B_{0 \alpha} Q_{\alpha}
\]

и воспользуемся изоморфизмом векторов с компонентами $v^{i}$ в $\mathbb{R}^{3}$ и кососимметрических ( $3 \times 3$ ) матрид с компонентами $V_{j k}$ :
\[
v^{i} \rightarrow V_{i k}=-\sum_{i=1}^{3} v^{i} \varepsilon_{i j k},
\]

при котором векторное произведение векторов $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ переходит в коммутатор матриц $[X, Y]=X Y-Y X$. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам $A_{0}$ и $B_{0 \alpha}$ отвечают векторы с компонентами $A^{i}, B_{\alpha}^{i}, i=1,2,3$.

Момент количеств движения жидкости в – -полости (относительно центра масс $O$ ) имеет вид (всюду интеграл берется по юбъему полости)
\[
\begin{array}{c}
M_{\alpha}^{i}=\rho_{\alpha} \int(\mathbf{x} \times \mathbf{v})^{i} d x^{1} d x^{2} d x^{3}= \\
=\sum_{j, k=1}^{3}\left(-\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} M_{\alpha j k}+Q_{j}^{i} I_{\alpha j k} A^{k}\right) \\
M_{\alpha}=\mu_{\alpha}^{-1}\left(\dot{F}_{\alpha} F_{\alpha}^{t}-F_{\alpha} \dot{F}_{\alpha}^{t}\right)= \\
=\mu_{\alpha}^{-1} Q\left(D_{\alpha}^{2} A_{0}+A_{0} D_{\alpha}^{2}-2 D_{\alpha} B_{0 \alpha} D_{\alpha}\right) Q^{t} \\
I_{\alpha j k}=m_{\alpha}\left(\delta_{j k} \sum_{l=1}^{3}\left(r_{\alpha}^{l}\right)^{2}-r_{\alpha}^{j} r_{\alpha}^{k}\right), \quad \mu_{\alpha}^{-1}=m_{\alpha} / 5
\end{array}
\]

Из формул (5.6) после перехода к векторным обозначениям в силу (5.5) получаем, что вектор М полного момента количества движения рассматриваемого объекта в системе отсчета $S$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}=I \cdot \mathbf{A}+\sum_{\alpha=1}^{n} \mu_{\alpha}^{-1}\left(C_{\alpha} \mathbf{A}-2 d_{\alpha} D_{\alpha}^{-1} \mathbf{B}_{\alpha}\right), \\
I_{i k}=I_{0 i k}+I_{1 i k}+\ldots+I_{n i k}, \quad C_{\alpha}=\operatorname{Tr}\left(D_{\alpha}^{r}\right) E-D_{\alpha}^{2},
\end{array}
\]

где $I_{0 \text { ik }}$ – тензор инерции твердого тела в системе $S$.
Закон сохранения полного момента количеств движения в системе отсдета $S$ имеет вид
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A} \text {. }
\]

Для движений жидкости с однородной деформацией (5.3) уравнение неразрывности $\operatorname{div} \mathbf{v}=0$ (5.2) выполнено тождественно; уравнение цинамики $\rho d \mathbf{v} / d t=-\operatorname{grad} p$ (5.2) эквивалентно закону Гельмгольца о вмороженности вихря $\omega=\operatorname{rot} \mathbf{v}$, т. е. $d \omega / d t=0$ вдоль траекторий жидкости. Вектор вихря в $\alpha$-полости $\omega_{\alpha}$ отвечает в силу изоморфизма (5.5) матрице
\[
\begin{array}{l}
K_{0 \alpha}=\dot{F}_{\alpha}^{t} F_{\alpha}-F_{\alpha}^{t} \dot{F}_{\alpha}=Q_{\alpha}^{t} K_{1 \alpha} Q_{\alpha}, \\
K_{1 \alpha}=D_{\alpha}^{2} B_{0 \alpha}+B_{0 \alpha} D_{\alpha}^{2}-2 D_{\alpha} A_{0} D_{\alpha} .
\end{array}
\]

Закон Гельмгольца ( $K_{0 \alpha}=0$ ) шмеет вид
\[
K_{1 \alpha}=\left[K_{1 \alpha}, B_{0 \alpha}\right] .
\]

Отсюда после изоморфизма (5.5) $K_{1 \alpha} \rightarrow \mathbf{K}_{\alpha}$ и домножения на $\mu_{\alpha}^{-1}$ получаем:
\[
\dot{\mathbf{K}}_{\alpha}=\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}, \quad \mathbf{K}_{\alpha}=\mu_{\alpha}^{-\mathbf{1}}\left(C_{\alpha} \mathbf{B}_{\alpha}-2 d_{\alpha} D_{\alpha}^{-\mathbf{1}} \mathbf{A}\right) .
\]

Уравнения (5.8), (5.11) полностью описывают динамику твердого тела с $n$ эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Эти уравнения после преобразования Лежандра $\mathbf{A}, \mathbf{B}_{\alpha} \rightarrow \mathbf{M}, \mathbf{K}_{\alpha}$ (которое очевидно является симметрическим) переходят в систему уравнений
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}} & =\mathbf{M} \times \mathbf{A}, & \dot{\mathbf{K}}_{\alpha} & =\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}, \\
A^{i} & =\partial H / \partial M^{i}, & B_{\alpha}^{i} & =\partial H / \partial K_{\alpha}^{i},
\end{aligned}
\]

где гамильтониан $H$ является полной кинетической энергией вращения твердого тела и жидкости в каждой из полостей и имеет вид
\[
\begin{array}{c}
2 H=(\mathbf{M}, \mathbf{A})+\sum_{\alpha=1}^{n}\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{B}_{\alpha}\right)=\left(G^{-1} \mathbf{N}, \mathbf{N}\right)+\sum_{\alpha=1}^{n} \mu_{\alpha}\left(\mathbf{K}_{\alpha}, C_{\alpha}^{-1} \mathbf{K}_{\alpha}\right), \\
\mathbf{N}=\mathbf{M}+\sum_{\alpha=1}^{n} 2 d_{\alpha} C_{\alpha}^{-1} D_{\alpha}^{-1} \mathbf{K}_{\alpha}, \\
G=I+\sum_{\alpha=1}^{n} \mu_{\alpha}^{-1} C_{\alpha}^{-1}\left(C_{\alpha}^{2}-4 d_{\alpha}^{2} D_{\alpha}^{-2}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (5.12) определены в пространстве $R^{3 n+3}$ и являются специальным случаем уравнений Эйлера в сопряженном пространстве $L_{n+1}^{*}$ к алгебре Ли групшы $G_{n+1}=$ $=\mathrm{SO}(3) \times \ldots \times \mathrm{SO}(3) \quad(n+1$ сомножитель). Гамильтониан $H$ содержит $6 n+6$ независимых параметров (компоненты симметрических матриц $I, D_{1}, \ldots, D_{n}$ ); отметим, что параметры $\mu_{\alpha}$ (или плотности $\rho_{\alpha}$ ) несущественны и устраняются путем замены $\bar{D}_{\alpha}=\mu_{\alpha}^{-1 / 2} D_{\alpha}$. В квадратичную форму $H$ (5.13) входят скалярные произведения между всеми парами $\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{K}_{\beta}$ и $\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{M}$, т. е. в указанном естественном базисе форма $H$ существенно диагональна.

Уравнения (5.12) имеют кроме гамильтониана $H$ еще $n+1$ геометрический интеграл
\[
J_{0}=(\mathbf{M}, \mathbf{M}), \quad J_{\alpha}=\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{K}_{\alpha}\right), \quad \alpha=1, \ldots, n,
\]

тде $J_{0}$-квадрат полного момента количеств движения. Поверхности уровня интегралов (5.14) являются орбитами $O$ коприсоединенного представления группы Ји $G_{n+1}$ в $L_{n+1}^{*}$. Многообразия $O=S^{2} \times \ldots \times S^{2} \quad(n+1$ сомножитель) имеют стандартную симплектическую структуру, в которой уравнения (5.12) гамильтоновы с тамильтонианом $H$ (5.13).

III. Уравнения Эйлера на алгебре Ли $\mathrm{SO}(4)=$ – $\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3)$ долучаются из уравнений (5.12) в двух случаях. Первый случай, классический, соответствует $n=$ $=1$ и содержит 12 свободных параметров (компоненты $I_{i k}, D_{i k}$ ). Второй случай соответствует $n=2$ и $J_{0}=0$ ( $M=$ $=0$ ); при этом уравнения (5.12) принимают вид
\[
\dot{\mathbf{K}}=\mathbf{K}_{1} \times \mathbf{B}_{1}, \quad \dot{\mathbf{K}}_{2}=\mathbf{K}_{2} \times \mathbf{B}_{2} .
\]

Уравнения (5.15) (с гамильтонианом (5.13) при $\mathbf{M}=0$ ) содержат 18 свободных параметров (компоненты $I_{i k}, D_{1 i k}$, $D_{2 i k}$ ) и, очевидно, являются уравнениями Эйлера на $\mathrm{SO}(4)$. В случае диагональных матриц $I, D_{1}, D_{2}$, таким образом, получается девятимерная область однородных гамильтонианов вида (1.6) ( $r_{i}=q_{i}=0$ ).

Иіследуем возможность указанной физической интерпретации интегрируемых случаев (2.3) п (2.9). Алгео́ры Ли класса А при $x=1$ после преобразования $\bar{X}_{i}=\left(X_{i}+\right.$ $\left.+Y_{i}\right) / 2, \bar{Y}_{i}=\left(X_{i}-Y_{i}\right) / 2$ переходят в алгебры Ли класса В с $n_{i}=m_{i}$. Таким образом получаем разложение алгебры Ли $\mathrm{SO}(4)=\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3) \quad\left(n_{i}=1, x=1\right)$; при этом уравнения Эйлера (1.3) переходят в уравнения вида (1.4) $-(5.15)$, где $K_{1}^{i}=M^{i}+K^{i}, K_{2}^{i}=M^{i}-K^{i}$. Гамильтонианы $H$ (1.6) при $c_{i}=r_{i}=q_{i}=0$, рассматривавшиеся в § 2 , после указанного преобразования принимают вид
\[
\begin{array}{c}
2 H=\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha_{i}\left(\left(K_{1}^{i}\right)^{2}+\left(K_{2}^{i}\right)^{2}\right)+2 \beta^{i} K_{1}^{i} K_{2}^{i}\right), \\
4 \alpha_{i}=a_{i}+b_{i}, \quad 4 \beta_{i}=a_{i}-b_{i} .
\end{array}
\]

Ивтетрируемые случаи (2.3) и (2.9) в новых кординатах определяются соответственно условиями
\[
\begin{array}{c}
\beta_{1}=-2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{2}=\alpha_{1}-2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \\
\beta_{3}=-\alpha_{1}-\alpha_{2}+2 \alpha_{3}, \\
\beta_{i}=3 \alpha_{i}-\alpha_{1}-\alpha_{2}-\alpha_{3} .
\end{array}
\]

Соответствующие уравнения Эйлера (5.15) интегрируемы по Јиувиллю ва уровне первых интегралов $\left(K_{1}, K_{1}\right)=$ $=\left(K_{2}, K_{2}\right)$ (т. е. $\left.J_{3}=(M, K)=0\right)$.

Рассмотрим твердое тело с двумя эллипсоидальными полостями, оси симметрии которых параллетьны главным осям тензора инерции $I_{i h}$, т. е. в системе отстета $S$, связанной с осями тензора $I_{i k}$, три матрицы $I, D_{1}, D_{2}$ диагональны. Допустим, что плотности жидкостей $\rho_{1}, \rho_{2}$ и полуоси эллипсоидальных полостей удовлетворяют условию подобия
\[
d_{1 i} / d_{2 i}=\left(\rho_{2} / \rho_{1}\right)^{1 / 5} ;
\]

тогда $\mu_{1}^{-1 / 2} d_{1 i}=\mu_{2}^{-1 / 2} d_{2 i}=d_{i}$. Соответствующий гамильтопиан $H$ (5.13) имеет вид (5.16), где
\[
\begin{array}{c}
\beta_{i}=4 d_{j}^{2} d_{k}^{2}\left(d_{j}^{2}+d_{k}^{2}\right)^{-2}\left(I_{i}+2\left(d_{j}^{2}-d_{k}^{2}\right)^{2}\left(d_{j}^{2}+d_{k}^{2}\right)^{-1}\right)^{-1}>0, \\
\alpha_{i}=\beta_{i}+\left(d_{j}^{2}+d_{k}^{2}\right)^{-1}, \quad i, j, k=1,2,3 .
\end{array}
\]

Интегрируемый случай (2.9) – (5.18) не удовлетворяет физическим условиям (5.20), так как из (5.18) следует $\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3}=0$, а согласно (5.20) имеем $\beta_{i}>0$.

Условия существования интегрируемого случая (2.3) – (5.17) после подстановки (5.20) принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
d_{1}^{4}+d_{2}^{4}=2 d_{3}^{4} \\
R_{2} I_{2}=I_{1}\left(d_{1}^{2}+d_{3}^{2}\right)^{-1}\left(16 d_{1}^{2} d_{3}^{2}\left(d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right)+\right. \\
\left.+6\left(d_{1}^{2}-d_{3}^{2}\right)^{2}\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right)\right)+\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right)\left(12 \frac{\left(d_{1}^{2}-d_{3}^{2}\right)^{2}\left(d_{2}^{2}-d_{3}^{2}\right)^{2}}{\left(d_{1}^{2}+d_{3}^{2}\right)\left(d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right)}+\right. \\
\left.+32 \frac{d_{3}^{2}\left(2 d_{1}^{2} d_{2}^{2}-d_{3}^{2}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)\right)}{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}\right) \\
R_{3} I_{3}=I_{1}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}\right)^{-1}\left(8 d_{1}^{2} d_{2}^{2}\left(d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\right)+\right. \\
\left.+6\left(d_{1}^{2}-d_{2}^{2}\right)^{2}\left(d_{3}^{2}-d_{1}^{2}\right)\right)+ \\
+6 \frac{d_{2}^{2}-d_{1}^{2}}{d_{2}^{2}+d_{3}^{2}}\left(12 \frac{\left(d_{2}^{2}-d_{3}^{2}\right)^{2}\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right)\left(d_{3}^{2}-d_{1}^{2}\right)}{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}+\right. \\
\left.+8 d_{2}^{2}\left(d_{1}^{2} d_{2}^{2}+d_{3}^{2}\left(3 d_{1}^{2}-4 d_{2}^{2}\right)\right)\right) \\
R_{j=1}=16 \frac{d_{2}^{2} d_{3}^{2}}{d_{3}^{2}+d_{3}^{2}}\left(d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}-d_{j}^{2}\right)+3 I_{1}\left(d_{1}^{2}-d_{j}^{2}\right)+ \\
+6\left(d_{2}^{2}-d_{3}^{2}\right)^{2} \frac{d_{1}^{2}-d_{j}^{2}}{d_{2}^{2}+d_{3}^{2}} .
\end{array}
\]

Условия (5.21) определяют связь параметров $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ и выражают компоненты тензора инерции $I_{2}, I_{3}$ через $I_{1}, d_{1}, d_{2}, d_{3}$. При $d_{1} \approx d_{2}$ из (5.21) следует $d_{1} \approx d_{2} \approx d_{3}$,
$I_{1} \approx I_{2} \approx 2 I_{3}$, поэтому необходимое физическое условие $I_{i}+I_{j}>I_{k}$ выполнено.

Таким образом, интегрируемый случай (2.3) – (5.17) описьвает вращение твердого тела с двумя әллипсоидальными полостями, заполненными идеалыной несжимаемой жидкостью при условиях (5.19) – (5.21) и на уровне первых интегралов $(\mathbf{M}, \mathbf{M})=0, \quad\left(\mathbf{K}_{1}, \mathbf{K}_{1}\right)=\left(\mathbf{K}_{2}, \mathbf{K}_{2}\right)$. При этом, как показано в § 3 , уравнения Эйлера (1.3) (5.15) интегрируются явно в әллиптических функциях времени.

Замечание. В § 5 гл. VII указана конструкция интегрируемых уравнений Эйлера в прямой сумме любого числа алтебр Ли $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ и so $(n, \mathbb{R})$. При $n=3$ эти интегрируемые случаи (в прямой сумме $k+1$ алгебр Ли $\mathrm{SO}(3, \mathbb{R})$ могут быть применены для описания динамики твердого тела с $k$ полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью.