I. Известной задачей механики является задача о вращении произвольного твердого тела $T$ вокруг его неподвижного центра масс в сферически-симметричном ньютоновском поле материальной точки $P$, имеющей массу $m$. Если расстояние $R$ от точки $P$ до точки $O$ много болыше линейных размеров $l$ твердого тела $T$, то уравнения вращения в главном приоллижении по $l/R$ пмеют вид $[119,130,159]$
$$\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \mathit{\omega }+3Gm{R}^{-3}\mathbf{p}\times I\mathbf{p},\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p}\times \mathit{\omega },$$

где Ми а — векторы кинетического момента и угловой скорости тела в системе отсчета $S$, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции тела диагонален: $I_{ik}=I_i{\delta }_{ik},G$ — гравитационная постоянная. Уравнения (2.1) проинтегрированы в явном виде $[119,130]$ и определяют интегрируемый случай Бруна, совпадающий с интегрируемым случаем Клебша.
II. Рассмотрим более общую задачу о вращении твердого тела $T$ вокруг неподвижного центра масс $O$ в ньютоновском гравитационном поле произвольного объекта $V$ (который может состоять из нескольких отдельных тел) при условии, что размеры тела $T$ много меньше расстояния до $V$. Пусть $R(x)$ — расстояние от точки $x$, принадлежащей $V$, до точки $O,\rho (x)$ — плотность массы объекта $V,\mathbf{p}(x)$ — единичный вектор, направленный из точки $x$ в точку $O$. Уравнения вращения твердого тела являются естественным обобщением уравнений (2.1) и имеют вид
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \omega +{\int }_{V}3G\rho (x)R^{-3}(x)(\mathbf{p}(x)\times I\mathbf{p}(x))dx,\\ \dot{\mathbf{p}}(x)=\mathbf{p}(x)\times \mathit{\omega }.\end{array}$$

Докажем следующую теорему [125].
Теорема 1. Вращение произвольного твердого тела $T$ вокруг неподвижного центра масс $O$ в ньютоновском гравитационном поле любого удаленного объекта $V$ описьввется некоторой универсальной вполне интегрируемой динамической системой, не зависящей от параметров объекта $V$.

Воспользуемся известным изоморфизмом векторов с компонентами $v^i$ в ${\mathbb{R}}^3$ и кососимметрических $(3\times 3)$. матриц с компоңентами $V_{jk}$ :
$$v^i\to V_{jk}=-\sum _{i=1}^{\mathbf{3}}{v}^i{\epsilon }_{ijk},$$

при котором векторное произведение $\mathbf{x}\times \mathbf{y}$ переходит в коммутатор матриц $[X,Y]=XY-YX$. После этого изоморфизма векторам $\mathbf{M},\mathit{\omega },\mathbf{p}(x)$ соответствуют кососимметрические матрицы $M,\omega ,\dot{p}(x)$. Справедливо соотношение ${\omega }_{ij}=I_k^{-1}{M}_{ij}(i,j,k=1,2,3)$. Система уравнений (2.2) после изоморфизма (2.3) принимает вид
$$\begin{array}{c}\dot{M}=[M,\omega ]+{\int }_{V}3Go(x)R^{-3}(x)[p(x),Cp(x)+p(x)C]dx,\\ \dot{p}(x)=[p(x),\omega ],\end{array}$$

где матрица $C$ имеет компоненты $C_{ij}=(2^{-1}(I_1+I_2+I_3)$ — $I_i){\delta }_{ij}$. Введем симметрическую матрицу
$$u={\int }_{V}3G\rho (x)R^{-3}(x)p^2(x)dx.$$

В силу системы (2.4) и очевидных тождеств
$$[p,Cp+pC]=[p^2,C]=-[p^2,I]$$

получаем редукцию
$$\dot{M}=[M,\omega ]-[u,I],\dot{u}=[u,\omega ].$$

Система (2.6) полностью определяет вращение твердого тела $T$. Здесь матрица $u$ записана во врацающейся системе отсчета $S$, ее собственные числа в силу второго уравнения (2.6) постоянны и согласно формуле (2.5) определяются характеристиками притягивающего объекта $V$. В неподвижной системе отсчета $F$ матрица (2.5) постоянна.

Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L_9^{\prime }$, элементы которой $l$ представляются в виде $l=M+u$, где $M$ и $u$ трехмерные матрицы, $M^t=-M,u^t=u$; коммутаторы определены условиями
$$\begin{array}{r}[M,u]=Mu-uM,[M_1,M_2]=M_1{M}_2-M_2{M}_1,\\ [u_1,u_2]=0.\end{array}$$

Орбиты $O$ действия соответствующей групшы Ли $G_9^{\prime }$ в сопряженном пространстве $L_9^{\prime \ast }$ являются симплектическими подмногообразиями $M^6={\mathbb{R}}^3\times \mathrm{SO}(3)=T(\mathrm{SO}(3))$ касательный пучок к группе Ли $\mathrm{SO}(3)$. Многообразия $M^6$ определяются условиями ${\lambda }_j(u)=$ const, где ${\lambda }_j(u)$ собственные числа матрицы $u$; если ${\lambda }_1={\lambda }_{2}eq{\lambda }_3$, то орбита $O=M^5={\mathbb{R}}^3\times S^2$, и если ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$, то $O={\mathbb{R}}^3$. Скобки Пуассона функций на $L_9^{\prime \ast }$ определяются по формулам
$$\{f,g\}=\sum _{i,j,k}{C}_{ij}^k{x}^k\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial g}{\partial x^j},$$

где $C_{ij}^k$ — структурные константы алгебры Ли $L_9^{\prime }$ в базисе $x^i$ (линейные функции на $L_9^{\prime \ast }$, например $x^i$, по определению принадлежат алгебре Ли $L_9^{\prime }$ ). Функции ${\lambda }_j(u)$ пли $\mathrm{Tr}(u),\mathrm{Tr}\left(u^2\right),\mathrm{Tr}\left(u^3\right)$ являются аннуляторами скобок Пуассона (2.8), т. е. для любой функции $f$ на $L_9^{\prime \ast }$ имеем $\{f,{\lambda }_j(u)\}=0$. Ограничение скобок Пуассона (2.8) на подмногообразие $M^6({\lambda }_j(u)=c_j)$ невырожденно.
Уравнения (2.6) имеют гамильтонов вид
$${\dot{M}}_{ij}=\{M_{ij},H\},{\dot{u}}_{ij}=\{u_{ij},H\},$$

где гамильтониан $H=J_1=\mathrm{Tr}\{2^{-1}M\cdot \omega -uI\}$.
Введем матрицу $B$ с компонентами $B_{ij}=I_1{I}_2{I}_3{I}_i^{-1}{\delta }_{ij}$. Система (2.6) имеет два дополнительных первых интеграла:
$$J_2=\mathrm{Tr}(2^{-1}{M}^2+Bu),J_3=\mathrm{Tr}(M^{2}u+B{u}^2).$$

Интегралы $J_1,J_2,J_3$ очевидно функционально независимы. В силу уравнений (2.9) имеем $J_2=\{J_2,J_1\}=0$, $J_3=\{J_3,J_1\}=0$. Прямое вычисление в силу формул $(2.7),(2.8)$ показывает, что скобка Пуассона $\{J_2,J_3\}=0$, т. е. три интеграла $J_1,J_2,J_3$ находятся в инволюции. Поэтому гамильтонова система (2.6), (2.9) на шестимерных симплектических подмногообразиях $M^6$ является вполне интегрируемой по Лиувиллю и динамика траекторий является квазипериодической на трехмерных торах ${\mathrm{T}}^3$ в $L_9^{\prime \ast }$, определенных условиями $J_i=c_i,{\lambda }_j(u)=k_j$.

В следующих параграфах приводится другой вывод системы (2.6) и доказывается ее интегрируемость в тәтафункциях Римана.