I. Известной задачей механики является задача о вращении произвольного твердого тела $T$ вокруг его неподвижного центра масс в сферически-симметричном ньютоновском поле материальной точки $P$, имеющей массу $m$. Если расстояние $R$ от точки $P$ до точки $O$ много болыше линейных размеров $l$ твердого тела $T$, то уравнения вращения в главном приоллижении по $l / R$ пмеют вид $[119,130,159]$
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+3 G m R^{-3} \mathbf{p} \times I \mathbf{p}, \quad \dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p} \times \boldsymbol{\omega},
\]

где Ми а – векторы кинетического момента и угловой скорости тела в системе отсчета $S$, жестко связанной с вращающимся твердым телом, в которой тензор инерции тела диагонален: $I_{i k}=I_{i} \delta_{i k}, G$ – гравитационная постоянная. Уравнения (2.1) проинтегрированы в явном виде $[119,130]$ и определяют интегрируемый случай Бруна, совпадающий с интегрируемым случаем Клебша.
II. Рассмотрим более общую задачу о вращении твердого тела $T$ вокруг неподвижного центра масс $O$ в ньютоновском гравитационном поле произвольного объекта $V$ (который может состоять из нескольких отдельных тел) при условии, что размеры тела $T$ много меньше расстояния до $V$. Пусть $R(x)$ – расстояние от точки $x$, принадлежащей $V$, до точки $O, \rho(x)$ – плотность массы объекта $V, \mathbf{p}(x)$ – единичный вектор, направленный из точки $x$ в точку $O$. Уравнения вращения твердого тела являются естественным обобщением уравнений (2.1) и имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \omega+\int_{V} 3 G \rho(x) R^{-3}(x)(\mathbf{p}(x) \times I \mathbf{p}(x)) d x, \\
\dot{\mathbf{p}}(x)=\mathbf{p}(x) \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Докажем следующую теорему [125].
Теорема 1. Вращение произвольного твердого тела $T$ вокруг неподвижного центра масс $O$ в ньютоновском гравитационном поле любого удаленного объекта $V$ описьввется некоторой универсальной вполне интегрируемой динамической системой, не зависящей от параметров объекта $V$.

Воспользуемся известным изоморфизмом векторов с компонентами $v^{i}$ в $\mathbb{R}^{3}$ и кососимметрических $(3 \times 3)$. матриц с компоңентами $V_{j k}$ :
\[
v^{i} \rightarrow V_{j k}=-\sum_{i=1}^{\mathbf{3}} v^{i} \varepsilon_{i j k},
\]

при котором векторное произведение $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ переходит в коммутатор матриц $[X, Y]=X Y-Y X$. После этого изоморфизма векторам $\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega}, \mathbf{p}(x)$ соответствуют кососимметрические матрицы $M, \omega, \dot{p}(x)$. Справедливо соотношение $\omega_{i j}=I_{k}^{-1} M_{i j}(i, j, k=1,2,3)$. Система уравнений (2.2) после изоморфизма (2.3) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}=[M, \omega]+\int_{V} 3 G o(x) R^{-3}(x)[p(x), C p(x)+p(x) C] d x, \\
\dot{p}(x)=[p(x), \omega],
\end{array}
\]

где матрица $C$ имеет компоненты $C_{i j}=\left(2^{-1}\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}\right)\right.$ – $\left.I_{i}\right) \delta_{i j}$. Введем симметрическую матрицу
\[
u=\int_{V} 3 G \rho(x) R^{-3}(x) p^{2}(x) d x .
\]

В силу системы (2.4) и очевидных тождеств
\[
[p, C p+p C]=\left[p^{2}, C\right]=-\left[p^{2}, I\right]
\]

получаем редукцию
\[
\dot{M}=[M, \omega]-[u, I], \quad \dot{u}=[u, \omega] .
\]

Система (2.6) полностью определяет вращение твердого тела $T$. Здесь матрица $u$ записана во врацающейся системе отсчета $S$, ее собственные числа в силу второго уравнения (2.6) постоянны и согласно формуле (2.5) определяются характеристиками притягивающего объекта $V$. В неподвижной системе отсчета $F$ матрица (2.5) постоянна.

Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L_{9}^{\prime}$, элементы которой $l$ представляются в виде $l=M+u$, где $M$ и $u$ трехмерные матрицы, $M^{t}=-M, u^{t}=u$; коммутаторы определены условиями
\[
\begin{array}{r}
{[M, u]=M u-u M,\left[M_{1}, M_{2}\right]=M_{1} M_{2}-M_{2} M_{1},} \\
{\left[u_{1}, u_{2}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Орбиты $O$ действия соответствующей групшы Ли $G_{9}^{\prime}$ в сопряженном пространстве $L_{9}^{\prime *}$ являются симплектическими подмногообразиями $M^{6}=\mathbb{R}^{3} \times \mathrm{SO}(3)=T(\mathrm{SO}(3))$ касательный пучок к группе Ли $\mathrm{SO}(3)$. Многообразия $M^{6}$ определяются условиями $\lambda_{j}(u)=$ const, где $\lambda_{j}(u)$ собственные числа матрицы $u$; если $\lambda_{1}=\lambda_{2}
eq \lambda_{3}$, то орбита $O=M^{5}=\mathbb{R}^{3} \times S^{2}$, и если $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}$, то $O=\mathbb{R}^{3}$. Скобки Пуассона функций на $L_{9}^{\prime *}$ определяются по формулам
\[
\{f, g\}=\sum_{i, j, k} C_{i j}^{k} x^{k} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{\partial g}{\partial x^{j}},
\]

где $C_{i j}^{k}$ – структурные константы алгебры Ли $L_{9}^{\prime}$ в базисе $x^{i}$ (линейные функции на $L_{9}^{\prime *}$, например $x^{i}$, по определению принадлежат алгебре Ли $L_{9}^{\prime}$ ). Функции $\lambda_{j}(u)$ пли $\operatorname{Tr}(u), \operatorname{Tr}\left(u^{2}\right), \operatorname{Tr}\left(u^{3}\right)$ являются аннуляторами скобок Пуассона (2.8), т. е. для любой функции $f$ на $L_{9}^{\prime *}$ имеем $\left\{f, \lambda_{j}(u)\right\}=0$. Ограничение скобок Пуассона (2.8) на подмногообразие $M^{6}\left(\lambda_{j}(u)=c_{j}\right)$ невырожденно.
Уравнения (2.6) имеют гамильтонов вид
\[
\dot{M}_{i j}=\left\{M_{i j}, H\right\}, \quad \dot{u}_{i j}=\left\{u_{i j}, H\right\},
\]

где гамильтониан $H=J_{1}=\operatorname{Tr}\left\{2^{-1} M \cdot \omega-u I\right\}$.
Введем матрицу $B$ с компонентами $B_{i j}=I_{1} I_{2} I_{3} I_{i}^{-1} \delta_{i j}$. Система (2.6) имеет два дополнительных первых интеграла:
\[
J_{2}=\operatorname{Tr}\left(2^{-1} M^{2}+B u\right), \quad J_{3}=\operatorname{Tr}\left(M^{2} u+B u^{2}\right) .
\]

Интегралы $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ очевидно функционально независимы. В силу уравнений (2.9) имеем $J_{2}=\left\{J_{2}, J_{1}\right\}=0$, $J_{3}=\left\{J_{3}, J_{1}\right\}=0$. Прямое вычисление в силу формул $(2.7),(2.8)$ показывает, что скобка Пуассона $\left\{J_{2}, J_{3}\right\}=0$, т. е. три интеграла $J_{1}, J_{2}, J_{3}$ находятся в инволюции. Поэтому гамильтонова система (2.6), (2.9) на шестимерных симплектических подмногообразиях $M^{6}$ является вполне интегрируемой по Лиувиллю и динамика траекторий является квазипериодической на трехмерных торах $\mathrm{T}^{3}$ в $L_{9}^{\prime *}$, определенных условиями $J_{i}=c_{i}, \lambda_{j}(u)=k_{j}$.

В следующих параграфах приводится другой вывод системы (2.6) и доказывается ее интегрируемость в тәтафункциях Римана.