Широко известно, что из уравнения Лакса
\[
\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}],
\]

которое называют также уравнением пзоспектральной деформации, следует постоянство собственных чисел оператора L. Одним из следствий этого обстоятельства является простейшая динамика солитонных решений. Однако это не верно, если оператор $L$ параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирования по которым входят в оператор $\mathrm{A}$, но не входят в оператор L. B данной главе изучается класс нелинейных уравнений, зависящих от трех $(t, x, y)$ и более переменных, которые допускают представление Лакса. Тем не менее собственные числа $f(t, y)$ соответствующих операторов $L$ изменяются и удовлетворяют нелинейным дифференциальным уравнениям [16], частным случаем которых является классическое уравнение для волны Римана
\[
v_{t}+v v_{y}=0 .
\]

В силу этих уравнений с течением времени происходит, как и для волны Римана $v(t, y)$, опрокидывание графиков собственных чисел $f(t, y)$, что приводит к возникновению их многозначности. Такое же опрокидывание происходит у в солитонных и $N$-солитонных решениях, которые мы будем называть в дальнейшем опрокидывающимися солитонами. Среди уравнений, обладающих указанными свойствами, содержится уравнение, возникающее в теории нелинейных волн и имеющее физические применения.