I. Уравнение Бюргерса
\[
v_{i}=v v_{x}+\mu v_{x x}
\]

преобразуется в уравнение теплопроводности с помощью вамены $v=2 \mu \varphi_{x} \varphi^{-1}$ [176-178]. Рассмотрим следующую естественную двумеризацию уравнения (9.1):
\[
v_{t}=v v_{y}+v_{x} \partial_{x}^{-1} v_{y}+\mu v_{x y} .
\]

Уравнение (9.2) для функций $v$ вида $v(t, x, y)=v(t, z)$, $z=x+c y$ сводится к уравнению (9.1).

Уравнение (9.2) после подстановки $v=u_{x}$ припимает вид
\[
u_{x t}=u_{x} u_{x y}+u_{y} u_{x x}+\mu u_{x x y} .
\]

Интегрируя это уравнение по $x$, находим
\[
u_{t}=u_{x} u_{y}+\mu u_{x y}+\mu c(t, y),
\]

тде $c(t, y)$ – произвольная функция. Уравнение (9.4) после подстановки $u=\mu \ln \varphi_{1}$ переходит в линейное уравнение
\[
\varphi_{1 t}=\mu \varphi_{1 x y}+c(t, y) \varphi_{1} .
\]

Если произвольная функция $c(t, y)$ зависит только от $t$, то уравнение (9.5) после замены $\varphi=\varphi_{1} \exp \int_{0}^{t} c(\xi) d \xi$ преобразуется к виду $\varphi_{t}=\mu \varphi_{x y}$. Таким образом, уравнение (9.2)-(9.3) линеаризуется с помощью преобразования $v=\mu \varphi_{x} \varphi^{-1}$.
II. Рассмотрим решение уравнения (9.3) с логарифмпческими особенностями вида
\[
u(t, x, y)=\mu \ln \prod_{j=1}^{n}\left(x-a_{j}(t, y)\right) .
\]

Соответствующие функции $v=u_{x}$ имеют полюсы первого порядка:
\[
v(t, x, y)=\mu \sum_{j=1}^{n}\left(x-a_{j}(t, y)\right)^{-1} .
\]

Для функции $f(x)=x^{-1}$ справедливы уравнения
\[
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}=-2 f f^{\prime}, \quad f(a) f^{\prime}(b)= & f(a-b) f^{\prime}(b)+ \\
& +f^{\prime}(a-b)(f(a)-f(b)) .
\end{aligned}
\]

Из последнего уравнения в силу нечетности функцип $f(x)$ следует формула сложения
\[
f(a) f^{\prime}(b)+f^{\prime}(a) f(b)=-f(a-b)\left(f^{\prime}(a)-f^{\prime}(b)\right) .
\]

Уравнение (9.3) для функций вида (9.6) после применения формул (9.8), (9.9) принимает вид
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(a_{j t}-\mu \sum_{k
eq j}^{n}\left(a_{j}-a_{k}\right)^{-1}\left(a_{j y}+a_{k y}\right)\right)\left(x-a_{j}\right)^{-2}=0 .
\]

Отсюда получаем, что уравнение (9.3) для функций (9.6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений
\[
a_{j t}=\mu \sum_{h
eq j}^{n} \frac{a_{j y}+a_{h y}}{a_{j}-a_{k}}, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Система (9.11) имеет простой закон сохранения
\[
\left(a_{1}(t, y)+\ldots+a_{n}(t, y)\right)_{t}=0 .
\]

Система уравпений (9.11), так же как и система (6.17), относится к классу систем гидродипамического типа [174] и, видимо, является интегрируемой.
III. Пусть функция $u\left(t, x_{1}, \ldots, x_{m}\right)$ зависит от $m+1$ переменной, причем $x_{1}=x$. Многомерное интегрируемое обобщение уравнения Бюргерса определим формулой
\[
u_{x t}=\sum_{\alpha, \beta=1}^{n} b_{\alpha \beta}\left(u_{x x_{\alpha}} u_{x_{\beta}}+u_{x x_{\beta}} u_{x_{\alpha}}+\mu u_{x x_{\alpha} x_{\beta}}\right),
\]

где $b_{\alpha \beta}=b_{\beta \alpha}$ – произвольные постоянные.

Уравнение (9.13) линеаризуется с помощью замены $u=\mu \ln \varphi$. Уравнение (9.13) для решений вида (9.6), где $a_{j}=a_{j}\left(t, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)$, эквивалентно системе уравнений
\[
a_{j t}=\mu \sum_{\alpha, \beta=1}^{m} \sum_{k
eq j}^{n} b_{\alpha \beta}\left(a_{j x_{\alpha} x_{\beta}}-\left(a_{j}-a_{k}\right)^{-1}\left(a_{k x_{\alpha}} a_{j x_{\beta}}+a_{k x_{\beta}} a_{j x_{\alpha}}\right)\right),
\]

где принято условное обозначение $a_{j x_{1}}=a_{j x}=-1$, $a_{j x_{\beta}}=0$. Функция $a=a_{1}+\ldots+a_{n}$ в силу системы (9.14) удовлетворяет линейному уравнению
\[
a_{t}=\mu \sum_{\alpha, \beta=2}^{m} b_{\alpha \beta} a_{x_{\alpha} x_{\beta}} .
\]

Уравнения (9.14), (9.15) являются обобщениями уравнений (9.11), (9.12).