I. Уравнение Бюргерса
$$v_i=v{v}_x+\mu v_{xx}$$

преобразуется в уравнение теплопроводности с помощью вамены $v=2\mu {\phi }_x{\phi }^{-1}$ [176-178]. Рассмотрим следующую естественную двумеризацию уравнения (9.1):
$$v_t=v{v}_y+v_x{\partial }_x^{-1}{v}_y+\mu v_{xy}.$$

Уравнение (9.2) для функций $v$ вида $v(t,x,y)=v(t,z)$, $z=x+cy$ сводится к уравнению (9.1).

Уравнение (9.2) после подстановки $v=u_x$ припимает вид
$$u_{xt}=u_x{u}_{xy}+u_y{u}_{xx}+\mu u_{xxy}.$$

Интегрируя это уравнение по $x$, находим
$$u_t=u_x{u}_y+\mu u_{xy}+\mu c(t,y),$$

тде $c(t,y)$ — произвольная функция. Уравнение (9.4) после подстановки $u=\mu \ln {\phi }_1$ переходит в линейное уравнение
$${\phi }_{1t}=\mu {\phi }_{1xy}+c(t,y){\phi }_1.$$

Если произвольная функция $c(t,y)$ зависит только от $t$, то уравнение (9.5) после замены $\phi ={\phi }_1\exp {\int }_0^{t}c(\xi )d\xi$ преобразуется к виду ${\phi }_t=\mu {\phi }_{xy}$. Таким образом, уравнение (9.2)-(9.3) линеаризуется с помощью преобразования $v=\mu {\phi }_x{\phi }^{-1}$.
II. Рассмотрим решение уравнения (9.3) с логарифмпческими особенностями вида
$$u(t,x,y)=\mu \ln \prod _{j=1}^n(x-a_j(t,y)).$$

Соответствующие функции $v=u_x$ имеют полюсы первого порядка:
$$v(t,x,y)=\mu \sum _{j=1}^n{(x-a_j(t,y))}^{-1}.$$

Для функции $f(x)=x^{-1}$ справедливы уравнения
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime \prime }=-2f{f}^{\prime },f(a)f^{\prime }(b)=& f(a-b)f^{\prime }(b)+\\ & +f^{\prime }(a-b)(f(a)-f(b)).\end{array}$$

Из последнего уравнения в силу нечетности функцип $f(x)$ следует формула сложения
$$f(a)f^{\prime }(b)+f^{\prime }(a)f(b)=-f(a-b)(f^{\prime }(a)-f^{\prime }(b)).$$

Уравнение (9.3) для функций вида (9.6) после применения формул (9.8), (9.9) принимает вид
$$\sum _{j=1}^n(a_{jt}-\mu \sum _{keqj}^n{(a_j-a_k)}^{-1}(a_{jy}+a_{ky})){(x-a_j)}^{-2}=0.$$

Отсюда получаем, что уравнение (9.3) для функций (9.6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений
$$a_{jt}=\mu \sum _{heqj}^n\frac{a_{jy}+a_{hy}}{a_j-a_k},j=1,\dots ,n.$$

Система (9.11) имеет простой закон сохранения
$${(a_1(t,y)+\dots +a_n(t,y))}_t=0.$$

Система уравпений (9.11), так же как и система (6.17), относится к классу систем гидродипамического типа [174] и, видимо, является интегрируемой.
III. Пусть функция $u(t,x_1,\dots ,x_m)$ зависит от $m+1$ переменной, причем $x_1=x$. Многомерное интегрируемое обобщение уравнения Бюргерса определим формулой
$$u_{xt}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^n{b}_{\alpha \beta }(u_{x{x}_{\alpha }}{u}_{x_{\beta }}+u_{x{x}_{\beta }}{u}_{x_{\alpha }}+\mu u_{x{x}_{\alpha }{x}_{\beta }}),$$

где $b_{\alpha \beta }=b_{\beta \alpha }$ — произвольные постоянные.

Уравнение (9.13) линеаризуется с помощью замены $u=\mu \ln \phi$. Уравнение (9.13) для решений вида (9.6), где $a_j=a_j(t,x_2,\dots ,x_m)$, эквивалентно системе уравнений
$$a_{jt}=\mu \sum _{\alpha ,\beta =1}^m\sum _{keqj}^n{b}_{\alpha \beta }(a_{j{x}_{\alpha }{x}_{\beta }}-{(a_j-a_k)}^{-1}(a_{k{x}_{\alpha }}{a}_{j{x}_{\beta }}+a_{k{x}_{\beta }}{a}_{j{x}_{\alpha }})),$$

где принято условное обозначение $a_{j{x}_1}=a_{jx}=-1$, $a_{j{x}_{\beta }}=0$. Функция $a=a_1+\dots +a_n$ в силу системы (9.14) удовлетворяет линейному уравнению
$$a_t=\mu \sum _{\alpha ,\beta =2}^m{b}_{\alpha \beta }{a}_{x_{\alpha }{x}_{\beta }}.$$

Уравнения (9.14), (9.15) являются обобщениями уравнений (9.11), (9.12).