До недавнего времени считалось, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли, возникающие в физических задачах, обязаны обладать малой размерностью (вследствие трехмерности физического пространства). Были известны примеры таких уравнений, связанные с трехмерной алгеброй Ли SO(3) (собственно уравнения Эйлера вращения свободного твердого тела) и шестимерными алгебрами Ли $\mathrm{SO}(3) \oplus \mathrm{SO}(3)=\mathrm{SO}(4)$ и $E_{3}$ (уравнения Лэмба — Жуковского — Пуанкаре, уравнения Кирхгофа, уравнения Эйлера — Пуассона (см. [116, 117])).

В данной главе показано, что уравнения Эйлера на конечномерных коалгебрах Ли сколь угодно большой размерности возникают в следующих двух группах физических задач:
— вращение твердого тела, имеющего неподвижную точку, шод действием различных физических полей и при наличии в твердом теле произвольного числа эллипсоидальных полостей, заполненных идеальной несжимаемой (магнитной) жидкостью, совершающей однородное вихревое движение ( $\S 2$ );
— вращение спутника Земли вокруг центра масс, движущегося по круговой орбите, при учете воздействия неоднородности гравитационного поля Земли и ее магнитного поля, а также при наличии на спутнике емкостей әллипсоидальной формы, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью (§3).

В § 1 приведен краткий исторический обзор классических работ, в которых исследовались уравнения Эйлера вращения $n$-мерного твердого тела.