I. Конструкции интегрируемых комшлексных расширений уравнений КдФ и МКдФ будут основаны на исследовании некоторых операторных уравнений вида
\[
\dot{L}=\mathrm{LA}+\mathrm{BL} \text {. }
\]
Укажем в дополнение к § 3 еще три случая, когда уравнение (8.1) оказывается эквивалентным уравнению Лакса. Пусть L, A, В – комплексные операторы и черта $\overline{\mathrm{L}}$ означает комплексное сопряжение.
Утверждение 3. Если $\mathrm{B}=-\overline{\mathrm{A}}$, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса
\[
\mathrm{L}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right]
\]
с операторами
\[
\mathrm{L}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \overline{\mathrm{L}} \\
\mathrm{L} & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{A}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{A} & 0 \\
0 & -\mathrm{B}
\end{array}\right) .
\]
Действительно, уравнение (8.2), (8.3) эквивалентно двум уравнениям
\[
\dot{\mathrm{L}}=\mathrm{LA}+\mathrm{BL}, \quad \dot{\overline{\mathrm{L}}}=-\mathrm{A} \overline{\mathrm{L}}-\overline{\mathrm{L}} \mathrm{B} .
\]
Второе уравнение (8.4) эквивалентно первому, так как получается из него комплексным сопряжением с учетом условия $\mathrm{B}=-\overline{\mathrm{A}}$.
Из уравнения Лакса (8.2) следует уравнение
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{2}\right)^{*}=\left[\mathrm{L}_{1}^{2}, \mathrm{~A}_{1}\right],
\]
которое в случае (8.3) эквивалентно уравнению
\[
(\overline{\mathrm{L}})^{*}=[\overline{\mathrm{L}} \mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {. }
\]
Утверждение 4. Eсли операторы А и В косоэрмитовы, $\overline{\mathrm{A}}^{t}=-\mathrm{A}, \overline{\mathrm{B}}^{t}=-\mathrm{B}$, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2) с операторами
\[
\mathrm{L}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
0 & \overline{\mathrm{L}}^{t} \\
\mathrm{~L} & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{A}_{1}=\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{A} & 0 \\
0 & -\mathrm{B}
\end{array}\right) .
\]
Доказательство аналогично.
Из уравнения (8.5) в случае (8.7) следуют два уравнения
\[
\left(\overline{\mathrm{L}}^{t} \mathrm{~L}\right)^{\cdot}=\left[\overline{\mathrm{L}}^{t} \mathrm{~L}, \mathrm{~A}\right], \quad\left(\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}}^{t}\right)^{\cdot}=\left[\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}}^{t},-\mathrm{B}\right]
\]
с эрмитовыми операторами $\overline{\mathrm{L}}^{t} \mathrm{~L}$ и $\mathrm{L}^{t}$.
Утверждение 5. Если оператор А кососимметричен, а оператор $\mathrm{B}$ косоэриитов, $\overline{\mathrm{A}}^{t}=-\mathrm{A}, \overline{\mathrm{B}}^{t}=-\mathrm{B}$, то уравнение (8.1) эквивалентно уравнению Лакса (8.2), где операторы $\mathrm{L}_{1}$ и $\mathrm{A}_{1}$ действуют на четырехкомпонентные вектор-функции и имеют вид
\[
\mathrm{L}_{1}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & \mathrm{~L}^{t} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \overline{\mathrm{L}}^{t} \\
0 & \overline{\mathrm{L}} & 0 & 0 \\
\mathrm{~L} & 0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{A}_{1}=\left(\begin{array}{cccc}
\mathrm{A} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \overline{\mathrm{A}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\overline{\mathrm{B}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\mathrm{B}
\end{array}\right) .
\]
Действительно, уравнение (8.2), (8.9) эквивалентно четырем уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathrm{L}}=\mathrm{LA}+\mathrm{BL}, \quad \dot{\overline{\mathrm{L}}}=\overline{\mathrm{L}} \overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{L}}, \\
\dot{\mathrm{L}}^{t}=-\mathrm{L}^{t} \overline{\mathrm{B}}-\mathrm{AL}^{t}, \quad \dot{\overline{\mathrm{L}}}^{t}=-\overline{\mathrm{L}}^{t} \mathrm{~B}-\overline{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{L}}^{t} . \\
\end{array}
\]
Три последних уравнения (8.10) эквивалентны первому в силу условий $\mathrm{A}^{t}=-\mathrm{A}, \overrightarrow{\mathrm{B}}^{t}=-\mathrm{B}$. Поэтому уравнения (8.1) и (8.2), (8.9) эквивалентны.
Из уравнения (8.2) следует
\[
\left(\mathrm{L}_{1}^{4}\right)^{\bullet}=\left[\mathrm{L}_{1}^{4}, \mathrm{~A}_{1}\right],
\]
которое в силу формул (8.9) эквивалентно двум уравнениям
\[
\begin{array}{ll}
\dot{\mathrm{M}}_{1}=\left[\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~A}\right], & \mathrm{M}_{1}=\mathrm{L}^{t} \overline{\mathrm{L}} \overline{\mathrm{L}}^{t} \mathrm{~L}, \\
\dot{\mathrm{M}}_{2}=\left[\mathrm{M}_{2},-\mathrm{B}\right], & \mathrm{M}_{2}=\mathrm{LL}^{t} \overline{\mathrm{L}} \overline{\mathrm{L}}^{t},
\end{array}
\]
и уравнениям, комплексно сопряженным к ним.
II. Рассмотрим уравнение
\[
\mathrm{L}=\mathrm{BL}-\mathrm{L} \overrightarrow{\mathrm{B}}
\]
где операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{B}$ имеют вид
\[
\mathrm{L}=-\partial_{x}^{2}+u(t, x), \quad \mathrm{B}=-4 \partial_{x}^{8}+4 b(t, x) \partial_{x}+4 \partial_{x} \bar{b}(t, x),
\]
$u(t, x), b(t, x)$ – комплекснозначные функции. Уравнение (8.13), (8.14) сводится к системе двух дифференциальных уравнений
\[
3 u_{x}=\bar{b}_{x}+3 b_{x}, u_{t} / 4=(b+\bar{b}) u_{x}+u\left(\bar{b}-b_{x}\right)+(b-u)_{x x x} .
\]
Из первого уравнения находим равенство
\[
b=\frac{3}{8}(3 u-\bar{u})+c,
\]
где $c$ – произвольная постоянная. Второе равенство (8.15) после подстановки выражения (8.16) принимает вид
\[
u_{t}=6 \bar{u}_{x} u+3(\bar{u}-u) u_{x}+\frac{1}{2}(u-3 \bar{u})_{x x x},
\]
где опущено несущественное слагаемое $(c+\bar{c}) u_{x}$, которое устраняется заменой координат $t_{1}=t, x_{1}=x+(c+\bar{c}) t$.
Уравнение (8.17) эквивалентно операторному уравнению (8.13). Поэтому в силу утверждения 3 уравнение (8.17) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.3). Следовательно, уравнение (8.17) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Соответствующий (8.14) оператор $L_{1}$ (8.3). является дифференциальным оператором второго порядка, действующим на двухкомпонентные вектор-функции:
\[
\mathrm{L}_{1}\left(\begin{array}{l}
\psi_{1} \\
\psi_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
-\psi_{2 x x}+\bar{u} \psi_{2} \\
-\psi_{1 x x}+u \psi_{1}
\end{array}\right)
\]
Из уравнения (8.17) в силу утверждения 3 следует также уравнение Лакса
\[
(\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}})^{\bullet}=[\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}},-\mathrm{B}],
\]
где оператор $\mathrm{LE}$ имеет вид
\[
\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}}=d_{x}^{4}-u d_{x}^{2}-d_{x}^{2} \bar{u}+|u|^{2} .
\]
Собственные числа эрмитовых операторов (8.18), (8.19). сохраняются в силу уравнения (8.17).
Уравнение (8.17) для вещественных функций $u(t, x)$ переходит в уравнение КдФ и является, следовательно, его нетривиальной интегрируемой комплексификацией.
Уравнение (8.17) эквивалентно системе двух вещественных уравнений на вещественную и мнимую части функции $u(t, x)=f(t, x)+i h(t, x)$ :
\[
f_{t}=6 f f_{x}-f_{x x x}+12 h h_{x}, \quad h_{t}=-6 f h_{x}+2 h_{x x x} .
\]
$И_{3}$ последнего уравнения находим $f=\left(2 h_{x x x}-h_{t}\right) / 6 h_{x}$.
После подстановки этого выражения в первое уравнение (8.20) получается некоторое интегрируемое дифференциальное уравнепие второго порядка по $t$ для одной функции $h(t, x)$.
Из уравнения (8.17) следуют соотношения
\[
\begin{array}{l}
\quad(u+\bar{u})_{t}=-\frac{3}{2}\left(u^{2}+\bar{u}^{2}-6 u \bar{u}\right)_{x}-(u+\bar{u})_{x x x}, \\
\left(u^{2}+\bar{u}^{2}-6 u \bar{u}\right)_{t}= \\
=-6 \operatorname{Re}\left[2 u \bar{u}^{2}+2 u \bar{u}_{x x}-u_{x} \bar{u}_{x}-\frac{10}{3} u u_{x x}+\frac{5}{3} u_{x}^{2}\right]_{x} .
\end{array}
\]
В силу этих равенств уравнение (8.17) в классе функций $u(t, x)$, достаточно быстро убывающих при $|x| \xrightarrow{\rightarrow \infty}$, имеет следующие первые интегралы:
\[
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}(u+\bar{u}) d x, \quad I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(u^{2}+\bar{u}^{2}-6 u \bar{u}\right) d x .
\]
III. Рассмотрим операторное уравнение
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}_{2}=\mathrm{L}_{2} \mathrm{~A}+\mathrm{BL}_{2}, \\
\mathrm{~L}_{2}=d_{x}+v(t, x), \quad \frac{\mathrm{A}}{4}=d_{x}^{3}+a(t, x) d_{x}+d_{x} a(t, x), \\
\frac{\mathrm{B}}{4}=-d_{x}^{3}+b(t, x) d_{x}+d_{x} \bar{b}(t, x), \quad \mathrm{A}^{t}=-\mathrm{A}, \overline{\mathrm{B}}^{t}=-\mathrm{B},
\end{array}
\]
где $a(t, x), b(t, x), v(t, x)$ – комплекснозначные функции. Уравнение (8.23) эквивалентно системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
2 a+b+\bar{b}=3 v_{x}, 3 a_{x}+\bar{b}_{x}+(2 a+b+\bar{b}) v=3 v_{x x}, \\
v_{t}=4\left(a_{x x}+\left(a_{x}+\bar{b}_{x}\right) v+(b+\bar{b}) v_{x}-v_{x x x x}\right) .
\end{array}
\]
Из первых двух уравнений (8.24) следуют равенства
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{3}{8}\left(3 v_{x}-v^{2}-v_{x}-\bar{v}^{2}\right)-\frac{1}{2}(c+c), \\
b=\frac{3}{8}\left(3 v_{x}+3 v^{2}-v_{x}-\bar{v}^{2}\right)+c .
\end{array}
\]
Третье уравнение (8.24) после подстановки формул (8.25) принимает вид
\[
v_{t}=\left(3 \bar{v} \bar{v}^{2}-v^{3}+3 \bar{v}_{x}(v-\bar{v})+\frac{1}{2}(v-3 \bar{v})_{x x}\right)_{x},
\]
где опущено несущественное слагаемое $(c+\bar{c}) v_{x}$.
Уравнение (8.26) эквивалентно операторному уравнению (8.23), где $\overline{\mathrm{A}}=-\mathrm{A}, \overline{\mathrm{B}}^{t}=-\mathrm{B}$. Следовательно, в силу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает эквивалентное представление Лакса (8.2), (8.9). Поэтому уравнение (8.26) интегрируемо методом обратной задачи рассеяния.
Уравнение (8.26) для вещественных функций $v(t, x)$ совпадает с уравнением МКдФ
\[
v_{t}=6 v^{2} v_{x}-v_{x x x}
\]
и поэтому является его нетривиальной интегрируемой комплексификацией. После подстановки $v(t, x)=$ $=f(t, x)+i h(t, x)$ уравнение (8.26) переходит в интегрируемую систему двух вещественных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
f_{t}=\left(6 h h_{x}+2 f^{3}+6 f h^{2}-f_{x x}\right)_{x}, \\
h_{t}=\left(6 h f_{x}-2 h^{3}-6 f^{2} h+2 h_{x x}\right)_{x} .
\end{array}
\]
Из уравнения (8.23) следует уравнение
\[
\left(\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t}\right)^{\cdot}=\mathrm{BL}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t}-\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t} \overline{\mathrm{B}}, \quad \mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t}=-d_{x}^{2}+v^{2}+v_{x}=\mathrm{L},
\]
совпадающее с уравнением (8.13) при $u=v^{2}+v_{x}$. Формулы (8.16) и (8.25) для коэффициента $b(t, x)$ совпадают. Поэтому уравнение (8.26) при преобразовап:и Миуры $u=v^{2}+v_{x}$ переходит в уравнение (8.17), т. е. уравнение (8.26) является модифицированным по отношению к уравнению (8.17).
В силу утверждения 5 уравнение (8.26) допускает еще два представления Лакса вида (8.12). Соответствующие операторы Лакса имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{M}_{1}=\mathrm{L}_{2}^{t} \overline{\mathrm{L}}_{2} \overline{\mathrm{L}}_{2}^{t} \mathrm{~L}= d_{x}^{4}+d_{x}^{3} v-v d_{x}^{3}-v d_{x}^{2} v-d_{x}\left(\bar{v}_{x}+\bar{v}^{2}\right) d_{x}+ \\
+v\left(\bar{v}_{x}+\bar{v}^{2}\right) d_{x}-d_{x}\left(\bar{v}_{x}+\bar{v}^{2}\right) v+v^{2}\left(\bar{v}_{x}+\bar{v}^{2}\right), \\
\mathrm{M}_{2}=\mathrm{L}_{2} \mathrm{~L}_{2}^{t} \overline{\mathrm{L}}_{2} \overline{\mathrm{L}}_{2}^{t}=d_{x}^{4}-\left(v_{x}+v^{2}\right) d_{x}^{2}-d_{x}^{2}\left(\bar{v}_{x}+\bar{v}^{2}\right)+\left|v_{x}+v^{2}\right|^{2} .
\end{array}
\]
Оператор $\mathrm{M}_{1}$ симметрический, оператор $\mathrm{M}_{2}=\mathrm{L} \overline{\mathrm{L}}$ эрмитов. Собственные числа этих операторов являются первыми интегралами уравнения (8.26).
