I. С жаждой динамической системой вида (1.3), (3.1) или (3.2) связана бесконечная иерархия интегрируемых динамических систем, допускающих представление Лакса с той же матрицей $\mathrm{L}$, но с более сложными матрицами $\mathrm{A}$. Операторы Лакса L и ${\mathrm{A}}_k$ для иерархии «высших» динамических систем, связанных с (1.3), определяются формулами
$$\mathrm{L}=a+mE,{\mathrm{A}}_k=b+\sum _{j=1}^{k-1}{c}_j{E}^j+{\beta }_k{m}^{kp}{E}^k,$$

где матрицы $a,m,b,c_j$ имеют только следующие пенулевые элементы:
$$a_{i,i+1-p}=a_i,m_{i,i+1}=1,b_{ii},{\left(c_j\right)}_{i,i+pj}.$$

Уравнение Лакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_k]$ со слектральным параметром $E$ сводится к системе уравнений
$$\begin{array}{c}\dot{a}=[a,b],[a,c_1]+[m,b]=\dot{m}=0,\\ [a,c_j]+[m,c_{j-1}]=0,[a,{\beta }_k{m}^{kp}]+[m,c_{k-1}]=0,\end{array}$$

где $j=2,\dots ,k-1$. Решения последних двух уравнений (5.3) имеют следующий алгебраический вид:
$$\begin{array}{l}{c}_{k-1}={\beta }_{k-1}{m}^{(k-1)p}+{\beta }_k\sum _{j={\mathbf{x}}_0}^{kp-1}{m}^{j}a{m}^{kp-1-j},\\ c_{k-2}={\beta }_{k-2}{m}^{(k-2)j}+{\beta }_{k-1}\sum _{j=0}^{(k-1)p-1}{m}^{j}a{m}^{(k-1)p-1-j}+\\ +{\beta }_k\sum _{j=0}^{hp-1}\sum _{i=0}^{j-1}{m}^{i}a{m}^{kp-1-j}a{m}^{j-i-1}.\end{array}$$

После подстановки этих формул последние два уравнения (5.3) обращаются в тождества.

При $k=2$ из (5.3), (5.4) получаем вторую динамическую систему в рассматриваемой иерархии
$$\begin{array}{c}\dot{a}=[a,b],\\ b={\beta }_1\sum _{i=0}^{p-1}{m}^{i}a{m}^{p-1-i}+{\beta }_2\sum _{j=0}^{2p-1}\sum _{i=0}^{j-1}{m}^{i}a{m}^{2p-1-j}a{m}^{j-i-1},\end{array}$$

которая при ${\beta }_2=0,{\beta }_1=-1$ переходит в систему (1.3).
II. Операторы Јакса $L$ и $A_k$ для иерархии интегрируемых динамических систем, связанных с системой (3.1), определяются формулами
$$\mathrm{L}=a+mE,{\mathrm{A}}_k=\sum _{j=\mathbf{1}}^{k-1}{c}_j{E}^{-j}+{\beta }_k{a}^{kp}{E}^{-k}.$$

Здесь матрицы $a,m,c_j$ имеют следующие ненулевые элементы:
$$a_{i,i+1}=a_i,m_{i,i+1-p}=-1,{\left(c_j\right)}_{i,i+pj}.$$

Уравнение Лакса $\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_k]$ при этом сводится к системе уравнепий
$$\begin{array}{c}\dot{a}=[m,c_1],[a,c_j]+[m,c_{j+1}]=0,\\ [a,c_{k-1}]+[m,{\beta }_k{a}^{kp}]=0.\end{array}$$

Решения последних двух уравшений (5.8) имеют вид
$$\begin{array}{l}{c}_{k-1}={\beta }_{k-1}{a}^{(k-1)p}+{\beta }_k\sum _{j=0}^{kp-1}{a}^{j}m{a}^{kp-1-j},\\ c_{k-2}={\beta }_{k-2}{a}^{(k-2)p}+{\beta }_{k-1}\sum _{j=0}^{(k-1)p-1}{a}^{j}m{a}^{(k-1)p-1-j}+\\ +{\beta }_k\sum _{j=1}^{kp-1}\sum _{i=0}^{j-1}{a}^{i}m{a}^{kp-1-j}m{a}^{j-i-1}.\end{array}$$

При $k=2$ и $k=3$ формулы (5.8), (5.9) определяют вторую и третью динамические системы в иерархии, порожденной системой (3.1), жоторой соответствует $k=1$.
III. Рассмотрим динамическую систему (5.8) в простейшем случае $k=2,p=2$. В силу формул (5.9), (5.7) получаем
$$\begin{array}{rl}{c}_1& ={\beta }_1{a}^2+{\beta }_2(m{a}^3+am{a}^2+a^{2}ma+a^{3}m),\\ {\left(c_1\right)}_{i,i+2}=& {\beta }_1{a}_i{a}_{i+1}-\\ & -{\beta }_2(a_{i-1}{a}_i{a}_{i+1}+a_i^2{a}_{i+1}+a_i{a}_{i+1}^2+a_i{a}_{i+1}{a}_{i+2}).\end{array}$$

Первое уравнение (5.8) $\dot{a}=[m,c_1]$ в силу формул сводится к динамической системе
$${\dot{a}}_i={\left(c_1\right)}_{i,i+2}-{\left(c_1\right)}_{i-1,i+1},$$

которая после подстановки формул (5.10) принимает следующий вид:
$$\begin{array}{l}{\dot{a}}_i=a_i({\beta }_1(a_{i+1}-a_{i-1})-\\ -{\beta }_2(a_{i+1}(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})-a_{i-1}(a_i+a_{i-1}+a_{i-2}))).\end{array}$$

Эта система включает в себя при ${\beta }_2=0$ систему Вольтерра или дискретное уравнение КдФ, определена в пространстве произволыной размерности и имеет те же первые интегралы, что и система Вольтерра, так как юператоры L для этих систем совпадают.

Исследуем континуалыный предел системы (5.11). Пусть $a_k(t)=1-{\epsilon }^{2}u(t,x_k),u(t,x)$ — некоторая гладкая функция и $x_k=k\epsilon$. После подстановки өтих выражений уравнения (5.11) в точке $(t,x_k)$ принимают вид
$$\begin{array}{r}{u}_t=2\epsilon ({\beta }_1-6{\beta }_2)u_x+2{\epsilon }^3(\frac{{\beta }_1}{6}-2{\beta }_2)(u_{xxx}-6u{u}_x)+\\ +2{\epsilon }^5[\frac{1}{5!}({\beta }_1-36{\beta }_2)u_x^{\mathrm{V}}-(\frac{{\beta }_1}{6}-4{\beta }_2)u{u}_{xxx}+\\ +4{\beta }_2{u}_x{u}_{xx}-6{\beta }_2{u}^2{u}_x]+o\left({\epsilon }^6\right).\end{array}$$

При ${\beta }_{1}eq12{\beta }_2$ стандартные преобразования (см. § 1,3) приводят уравнение (5.12) в пределе $\epsilon \to 0$ к уравнению Кортевега — де Фриза $u_t=6u{u}_x-u_{xxx}$. Пусть ${\beta }_1=12{\beta }_2$; сделаем последовательно вамену координат $t_1=t,x_1=$ $=x+12{\beta }_2\epsilon t$, замену времени $\tau =-2{\beta }_2{\epsilon }^5{t}_1$ и затем перейдем к пределу $\epsilon \to 0$. Тогда уравнение (5.12) перейдет в уравнение
$$u_{t_1}=\frac{1}{5}{u}^{\mathrm{V}}-2u{u}^{\prime \prime \prime }-4u^{\prime }{u}^{\prime \prime }+6u^2{u}^{\prime }.$$

Это уравнение представляется в виде
$$u_{t_1}=\frac{d}{d{x}_1}\cdot \frac{\delta I_2}{\delta u},10I_2={\left(u^{\prime \prime }\right)}^2-5u^2{u}^{\prime \prime }+5u^4$$

и поэтому совнадает со «вторым» уравнением КддФ (см., например, [5]). Таким обравом, доказано следующее

Утверждение 2. Бесконечная система уравнений (5.11) допускает представление Лакса со спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ, если ${\beta }_{\kappa }eq12{\beta }_2$, и «второе» уравнение КдФ (5.14), если ${\beta }_1=12{\beta }_2$.

Замечание 1. В утверждении 2 существенно используется то нетривиальне обстоятельство, что в разложении (5.12) произвольные постоянные ${\beta }_1$ и ${\beta }_2$ входят в коэффициент при ${\epsilon }^3$ в виде общего множителя ${\beta }_1$ для всех динамических систем (5.8) при $k=2,p>2$ и соответствующем специалыном соотношении между коэффициентами ${\beta }_1$ и ${\beta }_2$. Возможно, что и все высшие уравнения КдФ имеют интегрируемые дискетизации вида (5.3) и (5.8) при некоторых специальных соотношениях между коэффициентами ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_k$.