I. С жаждой динамической системой вида (1.3), (3.1) или (3.2) связана бесконечная иерархия интегрируемых динамических систем, допускающих представление Лакса с той же матрицей $\mathrm{L}$, но с более сложными матрицами $\mathrm{A}$. Операторы Лакса L и $\mathrm{A}_{k}$ для иерархии «высших» динамических систем, связанных с (1.3), определяются формулами
\[
\mathrm{L}=a+m E, \quad \mathrm{~A}_{k}=b+\sum_{j=1}^{k-1} c_{j} E^{j}+\beta_{k} m^{k p} E^{k},
\]

где матрицы $a, m, b, c_{j}$ имеют только следующие пенулевые элементы:
\[
a_{i, i+1-p}=a_{i}, \quad m_{i, i+1}=1, \quad b_{i i}, \quad\left(c_{j}\right)_{i, i+p j} .
\]

Уравнение Лакса $\mathrm{L}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{k}\right]$ со слектральным параметром $E$ сводится к системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=[a, b], \quad\left[a, c_{1}\right]+[m, b]=\dot{m}=0, \\
{\left[a, c_{j}\right]+\left[m, c_{j-1}\right]=0, \quad\left[a, \beta_{k} m^{k p}\right]+\left[m, c_{k-1}\right]=0,}
\end{array}
\]

где $j=2, \ldots, k-1$. Решения последних двух уравнений (5.3) имеют следующий алгебраический вид:
\[
\begin{array}{l}
c_{k-1}=\beta_{k-1} m^{(k-1) p}+\beta_{k} \sum_{j=\mathbf{x}_{0}}^{k p-1} m^{j} a m^{k p-1-j}, \\
c_{k-2}=\beta_{k-2} m^{(k-2) j}+\beta_{k-1} \sum_{j=0}^{(k-1) p-1} m^{j} a m^{(k-1) p-1-j}+ \\
+\beta_{k} \sum_{j=0}^{h p-1} \sum_{i=0}^{j-1} m^{i} a m^{k p-1-j} a m^{j-i-1} .
\end{array}
\]

После подстановки этих формул последние два уравнения (5.3) обращаются в тождества.

При $k=2$ из (5.3), (5.4) получаем вторую динамическую систему в рассматриваемой иерархии
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=[a, b], \\
b=\beta_{1} \sum_{i=0}^{p-1} m^{i} a m^{p-1-i}+\beta_{2} \sum_{j=0}^{2 p-1} \sum_{i=0}^{j-1} m^{i} a m^{2 p-1-j} a m^{j-i-1},
\end{array}
\]

которая при $\beta_{2}=0, \beta_{1}=-1$ переходит в систему (1.3).
II. Операторы Јакса $L$ и $A_{k}$ для иерархии интегрируемых динамических систем, связанных с системой (3.1), определяются формулами
\[
\mathrm{L}=a+m E, \quad \mathrm{~A}_{k}=\sum_{j=\mathbf{1}}^{k-1} c_{j} E^{-j}+\beta_{k} a^{k p} E^{-k} .
\]

Здесь матрицы $a, m, c_{j}$ имеют следующие ненулевые элементы:
\[
a_{i, i+1}=a_{i}, \quad m_{i, i+1-p}=-1,\left(c_{j}\right)_{i, i+p j} .
\]

Уравнение Лакса $\dot{\mathrm{L}}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{k}\right]$ при этом сводится к системе уравнепий
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=\left[m, c_{1}\right], \quad\left[a, c_{j}\right]+\left[m, c_{j+1}\right]=0, \\
{\left[a, c_{k-1}\right]+\left[m, \beta_{k} a^{k p}\right]=0 .}
\end{array}
\]

Решения последних двух уравшений (5.8) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
c_{k-1}= \beta_{k-1} a^{(k-1) p}+\beta_{k} \sum_{j=0}^{k p-1} a^{j} m a^{k p-1-j}, \\
c_{k-2}=\beta_{k-2} a^{(k-2) p}+\beta_{k-1} \sum_{j=0}^{(k-1) p-1} a^{j} m a^{(k-1) p-1-j}+ \\
+\beta_{k} \sum_{j=1}^{k p-1} \sum_{i=0}^{j-1} a^{i} m a^{k p-1-j} m a^{j-i-1} .
\end{array}
\]

При $k=2$ и $k=3$ формулы (5.8), (5.9) определяют вторую и третью динамические системы в иерархии, порожденной системой (3.1), жоторой соответствует $k=1$.
III. Рассмотрим динамическую систему (5.8) в простейшем случае $k=2, p=2$. В силу формул (5.9), (5.7) получаем
\[
\begin{aligned}
c_{1} & =\beta_{1} a^{2}+\beta_{2}\left(m a^{3}+a m a^{2}+a^{2} m a+a^{3} m\right), \\
\left(c_{1}\right)_{i, i+2}= & \beta_{1} a_{i} a_{i+1}- \\
& -\beta_{2}\left(a_{i-1} a_{i} a_{i+1}+a_{i}^{2} a_{i+1}+a_{i} a_{i+1}^{2}+a_{i} a_{i+1} a_{i+2}\right) .
\end{aligned}
\]

Первое уравнение (5.8) $\dot{a}=\left[m, c_{1}\right]$ в силу формул сводится к динамической системе
\[
\dot{a}_{i}=\left(c_{1}\right)_{i, i+2}-\left(c_{1}\right)_{i-1, i+1},
\]

которая после подстановки формул (5.10) принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\beta_{1}\left(a_{i+1}-a_{i-1}\right)-\right. \\
\left.\quad-\beta_{2}\left(a_{i+1}\left(a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}\right)-a_{i-1}\left(a_{i}+a_{i-1}+a_{i-2}\right)\right)\right) .
\end{array}
\]

Эта система включает в себя при $\beta_{2}=0$ систему Вольтерра или дискретное уравнение КдФ, определена в пространстве произволыной размерности и имеет те же первые интегралы, что и система Вольтерра, так как юператоры L для этих систем совпадают.

Исследуем континуалыный предел системы (5.11). Пусть $a_{k}(t)=1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{k}\right), u(t, x)$ – некоторая гладкая функция и $x_{k}=k \varepsilon$. После подстановки өтих выражений уравнения (5.11) в точке $\left(t, x_{k}\right)$ принимают вид
\[
\begin{array}{r}
u_{t}=2 \varepsilon\left(\beta_{1}-6 \beta_{2}\right) u_{x}+2 \varepsilon^{3}\left(\frac{\beta_{1}}{6}-2 \beta_{2}\right)\left(u_{x x x}-6 u u_{x}\right)+ \\
+2 \varepsilon^{5}\left[\frac{1}{5 !}\left(\beta_{1}-36 \beta_{2}\right) u_{x}^{\mathrm{V}}-\left(\frac{\beta_{1}}{6}-4 \beta_{2}\right) u u_{x x x}+\right. \\
\left.+4 \beta_{2} u_{x} u_{x x}-6 \beta_{2} u^{2} u_{x}\right]+o\left(\varepsilon^{6}\right) .
\end{array}
\]

При $\beta_{1}
eq 12 \beta_{2}$ стандартные преобразования (см. § 1,3) приводят уравнение (5.12) в пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ к уравнению Кортевега – де Фриза $u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}$. Пусть $\beta_{1}=12 \beta_{2}$; сделаем последовательно вамену координат $t_{1}=t, x_{1}=$ $=x+12 \beta_{2} \varepsilon t$, замену времени $\tau=-2 \beta_{2} \varepsilon^{5} t_{1}$ и затем перейдем к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$. Тогда уравнение (5.12) перейдет в уравнение
\[
u_{t_{1}}=\frac{1}{5} u^{\mathrm{V}}-2 u u^{\prime \prime \prime}-4 u^{\prime} u^{\prime \prime}+6 u^{2} u^{\prime} .
\]

Это уравнение представляется в виде
\[
u_{t_{1}}=\frac{d}{d x_{1}} \cdot \frac{\delta I_{2}}{\delta u}, \quad 10 I_{2}=\left(u^{\prime \prime}\right)^{2}-5 u^{2} u^{\prime \prime}+5 u^{4}
\]

и поэтому совнадает со «вторым» уравнением КддФ (см., например, [5]). Таким обравом, доказано следующее

Утверждение 2. Бесконечная система уравнений (5.11) допускает представление Лакса со спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ, если $\beta_{\mathrm{\kappa}}
eq 12 \beta_{2}$, и «второе» уравнение КдФ (5.14), если $\beta_{1}=12 \beta_{2}$.

Замечание 1. В утверждении 2 существенно используется то нетривиальне обстоятельство, что в разложении (5.12) произвольные постоянные $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ входят в коэффициент при $\varepsilon^{3}$ в виде общего множителя $\beta_{1}$ для всех динамических систем (5.8) при $k=2, \quad p>2$ и соответствующем специалыном соотношении между коэффициентами $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$. Возможно, что и все высшие уравнения КдФ имеют интегрируемые дискетизации вида (5.3) и (5.8) при некоторых специальных соотношениях между коэффициентами $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}$.