I. В данном параграфе указаны физические задачи, связанные с динамикой твердого тела, имеющего неподвижную точку, в которых возникают уравнения Эйлера на коалгебрах Ли сколь угодно большой конечной размерности. Связь исследуемых уравнений с алгебрами Ли приводит к их гамильтоновости и существованию ряда первых интегралов динамики, что является крайне важным для нахождения интегрируемых случаев. Отыскание интегрируемых случаев в различных задачах динамики твердого тела является классической проблемой математической физики, имеющей большую и яркую историю. Важнейшие интегрируемые случаи были открыты Л. Эйлером [93], Ж. Лагранжем [103], С. В. Ковалевской [104], В. А. Стекловым $[105,106]$, А. М. Јяпуновым [107], С. А. Чаплыгиным $[108,109]$, Д. Н. Горячевым [110], А. Клебшем [111], Ф. Бруном [112] и др. Все перечисленные интегрируемые случаи найдены в задачах, описываемых системами из шести обыкновенных дифференциальных уравнений; динамика их траекторий происходит на двумерных инвариантных торах.

В данном параграфе показано, что классические уравнения Эйлера [93] вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в произвольном ньютоновском поле связаны с некоторой двенадцатимерной алгеброй Ли. При исследовании вращения пульсаров (нейтрюнных звезд) выведена динамическая система, связанная с девятимерной алгеброй Ли $\mathrm{SO}(3) \oplus E_{3}$. Показано, что динамика твердого тела с $n$ эллишсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, описывается уравнениями Эйлера на алгебре Ли $L=\mathrm{SO}(3) \oplus \ldots \oplus \mathrm{SO}(3)$ размерности $3 n+3$; при наличии в полостях магнитной жидкости размерность возникающей алгебры Ли $L=$ $=\mathrm{SO}(3) \oplus E_{3} \oplus \ldots \oplus E_{3}$ равна $6 n+3$.

При исследовании этих примеров было обнаружено, что определение (1.8) не охватывает ряда важных физических уравнений, связанных с алгебрами Ли: например, классические уравнения вращения твердого тела в общем потенциальном поле сил, выведенные Эйлером в работе [93], не могут быть представлены в виде (1.8). Поэтому в дальнейшем используется другое, более широкое определение уравнений Эйлера, данное Анри Пуанкаре в работе [97] (см. (1.4)).

Пусть $L$ – это $n$-мерная алгебра Ли, $L^{*}$ – ее сопряженное пространство, $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – координаты на $L^{*}$. Линейные функции $x_{1}, \ldots, x_{n}$ по определению принадлежат алгебре Ли $L$ и образуют базис; пусть $C_{i j}^{k}$ – структурные константы алгебры Ли $L$ в базисе $x_{1}, \ldots, x_{n}$. В пространстве функций на $L^{*}$, как известно, определена скобка Пуассона – Ји
\[
\{f, g\}=\sum_{i, j, k=1}^{n} C_{i j}^{k} x_{k} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{j}},
\]

которая естественно связана с симплектической структурой Березина, Костанта, Кириллова. Пусть $H\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ произвольная функция на сопряженном пространстве $L^{*}$.

Определение. Уравнениями Эйлера в пространстве $L^{*}$ называется система уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=\left\{x_{i}, H\right\}=\sum_{j, k=1}^{n} C_{i j}^{k} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x_{j}} .
\]

Уравнения (2.2) очевидно совпадают с уравнениями (1.4) при $\Omega_{s}=0$ после преобразования Лежандра. Уравнения (2.2) в специальном случае, когда гамильтониан $H\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ является однородным многочленом второй степени, переходят в уравнения вида (1.8).
II. Перечислим важнейшие физические задачи, приводящие к уравнениям Эйлера в смысле (2.2), которые ранее исследовались в цикле работ автора [121-127].
1) Вращение твердого тела $T$ вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле с потенциалом $\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$.

Пусть $\alpha, \beta, \gamma$-три орта неподвижной системы координат, отнесенные к системе отсчета $S$, жестко связанной с твердым телом. Уравнения вращения твердого тела в системе $S$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \times \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\beta}} \times \boldsymbol{\beta}+\frac{\partial U}{\partial \gamma} \times \gamma, \\
\dot{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\beta}=\beta \times \boldsymbol{\beta}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\end{array}
\]

где $U(\alpha, \beta, \gamma)$ – потенциальная функция,
\[
U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=\int_{T} \boldsymbol{\rho}(\mathbf{r}) \varphi((\mathbf{r}, \boldsymbol{\alpha}),(\mathbf{r}, \boldsymbol{\beta}),(\mathbf{r}, \boldsymbol{\gamma})) d r_{1} d r_{2} d r_{3},
\]

и $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ – координаты в системе отсчета $S$.
Уравнения (2.3) являются уравнениями Эйлера вида (2.2) в пространстве $L_{12}^{*}$ и имеют гамильтониан
\[
H=2^{-1}(\mathbf{M}, \omega)-U(\alpha, \beta, \gamma), \quad M_{i}=\sum_{k=1}^{3} I_{i k} \omega_{k} .
\]

Соответствующая алгебра Ли $L_{12}$ является полупрямой суммой $\mathrm{SO}(3)+\mathbb{R}^{3}+\mathbb{R}^{3}+\mathbb{R}^{3}$ с базисом $X_{i}, Y_{j}^{\alpha}, i, j, \alpha, \beta=$ $=1,2,3$, в котором коммутационные соотношения имеют вид
\[
\left[X_{i}, X_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} X_{k},\left[X_{i}, Y_{j}^{\alpha}\right]=\varepsilon_{i j k} Y_{k}^{\alpha}, \quad\left[Y_{i}^{\alpha}, Y_{j}^{\beta}\right]=0 .
\]

В силу уравнения Лапласа $\Delta \varphi=0$ потенциальная функция $U(\alpha, \beta, \gamma)$ удовлетворяет трем уравнениям ( $i=1,2,3$ ):
\[
\frac{\partial^{2} U}{\partial \alpha_{i}^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial \beta_{i}^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial \gamma_{i}^{2}}=0 .
\]

Очевидно, что нелинейность функции $U(\alpha, \beta, \gamma)$ может быть сколь угодно сложной, поэтому в общем случае уравнения Эйлера (2.3) нельзя представить в виде уравнений (1.8) (для которых гамильтониан $H$ необходимо квадратичен). В простейшем случае, когда потенциал $\varphi$ является линейной функцией координат $\varphi=a^{1} x_{1}+a^{2} x_{2}+$ $+a^{3} x_{3}$, уравнения (2.3) эквивалентны уравнениям Эйлера – Пуассона и также не могут быть представлены в виде (1.8).
2) Динамика твердого тела с распределенным электрическим зарядом в идеальной несжимаемой жидкости при наличии постолнного гравитационного и электрического полей и при условии равенства выталкивающей силь и силы тяжести и нулевом суммарном заряде тела.

Уравнения движения в связанной с твердым телом системе отсчета $S$, центр которой совпадает с центром масс твердого тела, при условии безвихревого обтекания имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\mathbf{p} \times \mathbf{u}+m g \mathbf{r} \times \boldsymbol{\gamma}+E \mathbf{d} \times \boldsymbol{\delta}, \\
\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\delta}}=\boldsymbol{\delta} \times \boldsymbol{\omega},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость, $\mathbf{u}$ – скорость твердого тела в жидкости, $\mathbf{p}$ – полный импульс, $\mathbf{M}$ – полный момент импульса (в системе отсчета $S$ ), $m$ – масса тела, $g$ – ускорение силы тяжести, $\gamma$ – направление сплы тяжести, вектор $\mathbf{r}$ определяет положение центра масс вытесненного объема жидкости, $E$ – напряженность электрического поля, d-вектор дипольного момента, $\delta$ – направление электрического поля. Уравнения (2.5) являются уравнениями Эйлера в пространстве $L_{12}^{*}$ и имеют гамильтониан
\[
\begin{array}{c}
H=2^{-1} \sum_{i, j=1}^{3}\left(a_{i j} M_{i} M_{j}+2 c_{i j} M_{i} p_{j}+b_{i j} p_{i} p_{j}\right)- \\
-m g(\mathbf{r}, \gamma)-E(\mathbf{d}, \boldsymbol{\delta}), \\
\omega_{i}=\frac{\partial H}{\partial M_{i}}, \quad u_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\end{array}
\]

где $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}$ – пропзвольные постоянные коэффициенты, обеспечивающие положительную определенность указанной квадратичной формы.

При $E=0$ уравнения (2.5) являются уравнениями Эйлера в пространстве $L_{9}^{*}$, где алгебра Ли $L_{9}$ имеет коммутаторы вида (2.4) при $\alpha, \beta=1,2$. При $E=0, g=0$ уравнения (2.5) переходят в уравнения Кирхгофа (уравнения Эйлера в пространстве $E_{3}^{*}$ [116].
3) Вращение намагниченного твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном гравитационном и магнитном поле.
Уравнения динамики в системе отсчета $S$ имеют вид
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+m g \mathbf{r} \times \boldsymbol{\gamma}+h \mathfrak{M} \times \boldsymbol{\delta}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\delta}}=\boldsymbol{\delta} \times \boldsymbol{\omega},
\]

где $\mathfrak{M}$ – вектор магнитного момента твердого тела, $\delta$ направление магнитного поля, $h$ – его напряженность. Уравнения (2.6) являются уравнениями Эйлера в пространстве $L_{9}^{*}$ с гамильтонианом
\[
H=2^{-1}(\mathbf{M}, \omega)-m \bar{g}(\mathbf{r}, \gamma)-h(\mathfrak{N}, \boldsymbol{\delta}), \quad M_{i}=\sum_{k=1}^{3} I_{i k} \omega_{k} .
\]

При $\mathfrak{R}=0$ уравнения (2.6) переходят в классические уравнения Эйлера – Пуассона, которые являются уравнениями Эйлера в пространстве $E_{3}^{*}$ в смысле (2.2).

4)Динамика твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение (модель вращения пульсара).
Уравнения динамики в системе отсчета $S$ имеют вид
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\mathbf{K}}=\mathbf{K} \times \mathbf{B}+\mathbf{u} \times \mathbf{w}, \quad \dot{\mathbf{u}}=\mathbf{u} \times \mathbf{B},
\]

где $\mathbf{M}$ – суммарный момент количества движения твердого тела и жидкости относительно общего центра масс, А – угловая скорость вращения твердого тела, В – угловая скорость внутреннего вращения жидкости, $\mathbf{K}$ – вектор вихря скорости жидкости, векторы и и ш связаны с магнитным полем, вмороженным в жидкость. Координаты векторов А и В линейно выражаются через координаты векторов М и $К$, координаты векторов и и т также связаны линейными соотношениями. Уравнения (2.7) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $\mathrm{SO}(3) \oplus E_{3}$ и имеют гамильтониан
\[
H=2^{-1}((\mathbf{M}, \mathbf{A})+(\mathbf{K}, \mathbf{B})+(\mathbf{u}, \mathbf{w})) .
\]
5) Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.
Уравнения динамики в системе отсчета $S$ имеют вид
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\mathbf{K}}_{\alpha}=\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha},
\]

где $\alpha=1, \ldots, n, \mathbf{M}$ – суммарный момент количества движения (относительно неподвижного общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, $\mathbf{A}$ – угловая скорость вращения твердого тела, вектор $\mathbf{K}_{\alpha}$ определяет ротор (вихрь) скорости движения жидкости в $\alpha$-полости. Векторы А, $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{n}$ связаны с векторами $\mathbf{M}, \mathbf{K}_{1}, \ldots, \mathbf{K}_{n}$ линейным преобразованием, коэффициенты которого зависят от компонент тензора инерции твердого тела, параметров эллипсоидальных полостей и плотности жидкости в них. Обозначим через $A_{k, 0}=\mathrm{SO}(3) \oplus \ldots \oplus \mathrm{SO}(3)$ прямую сумму $k$ экземпляров алгебры Ји SO(3). Уравнения (2.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $A_{n+1,0}$ и имеют гамильтониан
\[
H=2^{-1}\left((\mathbf{M}, \mathbf{A})+\sum_{\alpha=1}^{n}\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{B}_{\alpha}\right)\right) .
\]

Уравнения (2.8) имеют $n+1$ геометрических первых интегралов
\[
J_{0}=(\mathbf{M}, \mathbf{M}), \quad J_{\alpha}=\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{K}_{\alpha}\right), \quad \alpha=1, \ldots, n .
\]

Совместные (ненулевые) уровни этих интегралов определяют симплектические подмногообразия $M^{2 n+2}$, являющиеся произведениями $n+1$ двумерной сферы $S^{2}, M^{2 n+2}=$ $=S^{2} \times \ldots \times S^{2}$, на которых уравнения (2.8) гамильтоновы с гамильтонианом $H$ (2.9).

Уравнения (2.8) при $n=1$ переходят в уравнения Лэмба – Жуковского – Пуанкаре, которые являются уравнениями Эйлера на алгебре Ли $\mathrm{SO}(3)+\mathrm{SO}(3)=$ $=\mathrm{SO}(4)$.
6) Динамика твердого тела $c$ п эллипсоидальными полостями, заполненными идеальной несжимаемой сверхпроводящей магнитной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение.

Уравнения динамики в системе отсчета $S$ имеют вид $\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\mathbf{K}}_{\alpha}=\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}+\mathbf{u}_{\alpha} \times \mathbf{w}_{\alpha}, \quad \dot{\mathbf{u}}_{\alpha}=\mathbf{u}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}$,

где $\alpha=1, \ldots, n, \mathbf{M}$ – суммарный момент количества движения (относительно общего центра масс) твердого тела и жидкости во всех эллипсоидальных полостях, А- угловая скорость вращения твердого тела, векторы $\mathbf{K}_{\alpha}$, $\mathbf{B}_{\alpha}$, $\mathbf{u}_{\alpha}, \mathbf{w}_{\alpha}$ характеризуют движение жидкости и вмороженное магнитное поле в $\alpha$-полости. Координаты векторов $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}_{1}, \ldots, \mathbf{B}_{n}$ линейно выражаются через координаты векторов $\mathbf{M}, \mathbf{K}_{1}, \ldots, \mathbf{K}_{n}$, координаты векторов $\mathbf{u}_{\alpha}$ и $\mathbf{w}_{\alpha}$ связаны линейными соотношениями; коэффициенты этих линейных связей зависят от компонент тензора инерции твердого тела и параметров эллипсоидалыных полостей. Обозначим через $A_{k, m}=\mathrm{SO}(3) \oplus \ldots \oplus \mathrm{SO}(3) \oplus E_{3} \oplus \ldots \oplus E_{3}$ прямую сумму $k$ экземпляров алгебры Ли $\mathrm{SO}(3)$ и $m$ экземпляров алгебры Ли $E_{3}$. Уравнения (2.10) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L=A_{1, n}$ и пмеют гамильтониан
\[
H=2^{-1}\left((\mathbf{M}, \mathbf{A})+\sum_{\alpha=1}^{n}\left(\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{B}_{\alpha}\right)+\left(\mathbf{u}_{\alpha}, \mathbf{w}_{\alpha}\right)\right)\right) .
\]

При отсутствии магнитного поля в $k$ полостях ( $\mathbf{u}_{\alpha}=\mathbf{w}_{\alpha}=$ $=0, \alpha=1, \ldots, k$ ) алгебра Ли $L$ редуцируется к алгебре Ли $A_{h+1, n-k}$.
7) Вращение твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными магнитной жидкостью, вокруг неподвижной точки в ньютоновском пале $c$ потенциалом $\varphi\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$.

Динамика в системе отсчета $S$ определяется уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}+\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \times \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\beta}} \times \boldsymbol{\beta}+\frac{\partial U}{\partial \gamma} \times \boldsymbol{\gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \mathbf{A}, \\
\dot{\mathbf{K}}_{\alpha}=\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}+\mathbf{u}_{\alpha} \times \mathbf{w}_{\alpha}, \quad \dot{\mathbf{u}_{\alpha}}=\mathbf{u}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}
\end{array}
\]

которые являются нераспадающейся комбинацией уравнений (2.3) и (2.10). Уравнения (2.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L=L_{12} \oplus A_{0, n}$ и имеют гамильтониан
\[
H=2^{-1}(\mathbf{M}, \mathbf{A})+2^{-1} \sum_{\alpha=1}^{n}\left(\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{B}_{\alpha}\right)+\left(\mathbf{u}_{\alpha}, \mathbf{w}_{\alpha}\right)\right)-U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

При отсутствии магнитного поля в $k$ полостях алгебра Ли $L$ редуцируется к алгебре Ли $L_{12} \oplus A_{k, n-k}$.

Комбинируя условия задач 2) и 5), получаем уравнения Эйлера, связанные с алгеброй Ли $L=L_{12} \oplus A_{k, 0}$. При отсутствии электрического поля алгебра Ли $L$ редуцируется к алгебре Ли $L_{9} \oplus A_{k, 0}$. При отсутствии и электрического и гравитационного полей алгебра Ли $L$ редудируется к алгебре Ли $E_{3} \oplus A_{k, 0}=A_{k, 1}$. Алгебры Ли $L_{9} \oplus A_{k, 0}$ и $A_{k, 1}$ связаны также с уравнениями, получающимися комбинацией условий задач 3) и 5).