В данной главе изучаются конструкции дифференциальных уравнений в алгебрах гладких и непрерывных функций на многообразиях и в произвольных непрерывных ассоциативных алгебрах. Построенные дифференциальные уравнения связаны с автоморфизмами ассоциативных алгебр и допускают эквивалентное представление Лакса (зависящее от спектрального параметра) в пространстве линейных операторов, действующих на рассматриваемой ассоциативной алгебре. Полученные дифференциальные уравнения обладают счетными наборами первых интегралов. Найденныю алгебраические конструкции для коммутативных алгебр функций на дискретном множестве точек и на прямой приводят к динамическим системам и интегро-дифференциальным уравнениям, изучавшимся в гл. V, VI. Применения этих конструкций в некоммутативных алгебрах матричнозначных функций приводят, в частности, к новым интегрируемым случаям уравнений Эйлера в прямых суммах произвольного числа алгебр Ли $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ и $\operatorname{so}(n, \mathbb{R})$.