I. Так же, как и в § 4, предполагаем, что G и $\mathrm{H}-$ два произвольных коммутирующих автоморфизма в произвольной ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$.

Теорема 3. Дифференциальные уравнения в ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ вида
\[
\dot{c}_{1}=c_{1} \mathrm{H}(b)-b c_{1}+a_{1}-\mathrm{HG}^{-1}\left(a_{1}\right), \quad \dot{a}_{1}=a_{1} G(b)-b a_{1},
\]

где элементь $b, c_{1}$ связаны соотношением ( $d_{1}=\mathrm{const}$ )
\[
d_{1} \mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}(b)-b d_{1}=\mathrm{HG}^{-1}\left(c_{1}\right)-c_{1}, \quad d_{1}=\mathrm{HG}^{-1}\left(d_{1}\right),
\]

допускают эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.

Доказательство. Определим следующие линейные операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$, действующие в ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ :
\[
\mathrm{L}=a_{1} \mathrm{G}+\lambda c_{1} \mathrm{H}+\lambda^{2} d_{1} \mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}, \quad \mathrm{~A}=b+\lambda \mathrm{HG}^{-1} .
\]

Уравнение Лакса $\mathrm{L}=\mathrm{LA}-\mathrm{AL}$ эквивалентно следующей системе уравнений (коәффициенты при $\lambda^{0}, \lambda^{1}, \lambda^{2}, \lambda^{3}$ ):
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{1}=a_{1} \mathrm{G}(b)-b a_{1}, \quad \dot{c}_{1}=c_{1} \mathrm{H}(b)-b c_{1}+a_{1}-\mathrm{HG}^{-1}\left(a_{1}\right), \\
\dot{d}_{1}=0=d_{1} \mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}(b)-b d_{1}-\mathrm{HG}^{-1}\left(c_{1}\right)+c_{1}, \\
0=d_{1}-\mathrm{HG}^{-1}\left(d_{1}\right) .
\end{array}
\]

При выводе уравнений (6.4) из уравнения Лакса существепно используется, что $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ – коммутирующие автоморфизмы. Уравнения (6.4), очевидно, совпадают с дифференциальными уравнениями (6.1) и алгебраическими связями (6.2). Из представления Јакса следует паличие первых интегралов $I_{k}=T\left(\mathrm{~L}(t, \lambda)^{k}\right)$. Теорема 3 доказана.

Первая теорема о двух коммутирующих автоморфизмах (§ 4) является частным случаем теоремы 3 при $d_{1}=0, c_{1}=1$. В этом случае первое дифференциальное уравнение (6.1) превращается в алгебраическую связь (4.2), а алгебраические уравнения (6.2) выполнены тождественно.
II. Укажем некоторые применения конструкции теоремы 3. В дальнейшем преднолагается, что $d_{1}=1$, тогда алгебраические уравнения (6.2) принимают вид
\[
\mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}(b)-b=\mathrm{HG}^{-1}\left(c_{1}\right)-c_{1} .
\]

Предположим, что $\mathrm{H}=\mathrm{id}$. Тогда $c_{1}=b$ является решением уравнений (6.5) и уравпения (6.1) принимают вид
\[
\dot{b}=a_{1}-\mathrm{G}^{-1}\left(a_{1}\right), \quad \dot{a}_{1}=a_{1} \mathrm{G}(b)-b a_{1} .
\]

Важнейшим примепением уравнений (6.6) является цешочка Тода. Пусть $\mathfrak{X}=\mathscr{F}(\mathbb{Z}, \mathbb{R})$ – коммутативная алгебра функций на множестве целых чисел; автоморфизм G является сдвигом: $(G f)(k)=f(k+1)$. Тогда уравнения (6.6) принимают вид
\[
\dot{b}(k)=a_{1}(k)-a_{1}(k-1), \quad \dot{a}_{1}(k)=a_{1}(k)(b(k+1)-b(k)) .
\]

Уравнения (6.7.) после подстановки
\[
a_{1}(k)=\exp (q(k+1)-q(k)), \quad b(k)=\dot{q}(k)
\]

принимают вид уравнений цепочки Тода
\[
\ddot{q}(k)=\exp (q(k+1)-q(k))-\exp (q(k)-q(k-1)) .
\]

Уравнение (6.5) разрешается в общем виде, если
\[
\mathrm{HG}^{-1}=\left(\mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}\right)^{p}, \quad \mathrm{G}=\mathrm{H}^{(2 p-1) /(p-1)}, \quad p \geqslant 2 .
\]

Обозначим $\mathrm{F}=\mathrm{H}^{2} \mathrm{G}^{-1}=\mathrm{H}^{1 /(1-p)} ;$ в силу (6.9) пмеем
\[
\mathrm{H}=\mathrm{F}^{1-p}, \quad \mathrm{G}=\mathrm{F}^{1-2 p}, \quad \mathrm{HG}^{-1}=\mathrm{F}^{p} .
\]

Уравнение (6.5) разрешается в виде $b=c_{1}+\mathrm{F}\left(c_{1}\right)+\ldots$. $\ldots+\mathrm{F}^{p-1}\left(c_{1}\right)$. Уравнения (6.1) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{c_{1}}=c_{1}\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{~F}^{-k}\left(c_{1}\right)\right)-\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{~F}^{k}\left(c_{1}\right)\right) c_{1}+a_{1}-\mathrm{F}^{p}\left(a_{1}\right), \\
\dot{a}_{1}=a_{1}\left(\sum_{k=p}^{2 p-1} \mathrm{~F}^{-k}\left(c_{1}\right)\right)-\left(\sum_{k=0}^{p-1} \mathrm{~F}^{k}\left(c_{1}\right)\right) a_{1} .
\end{array}
\]
III. Пусть алгебра $\mathfrak{U}=\operatorname{gl}(n, \mathbb{C})$ – алгебра комплексных матриц и автоморфизмы $G$ и $H$ определяются формулами
\[
\mathrm{G}(x)=\beta_{1}^{-1} x \beta_{1}, \quad \mathrm{H}(x)=\alpha_{1} x \alpha_{1}^{-1},
\]

где $\alpha_{1}$ и $\beta_{1}$ – обратимые матрицы. Условие коммутативности автоморфизмов $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ имеет вид $\alpha_{1} \beta_{1}^{-1}=\mu \beta_{1}^{-1} \alpha_{1}, \mu^{n}=1$ (см. § 4, формула (4.15)). Уравнения (6.1), (6.5) в силу определений (6.11) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{c}_{1}=c_{1} \alpha_{1} b \alpha_{1}^{-1}-b c_{1}+a_{1}-\alpha_{1} \beta_{1} a_{1} \beta_{1}^{-1} \alpha_{1}^{-1}, \\
\dot{a}_{1}=a_{1} \beta_{1}^{-1} b \beta_{1}-b a_{1}, \\
\alpha_{1}^{2} \beta_{1} b \beta_{1}^{-1} \alpha_{1}^{-2}-b=\alpha_{1} \beta_{1} c_{1} \beta_{1}^{-1} \alpha_{1}^{-1}-c_{1} .
\end{array}
\]

Умножим первое уравнение (6.12) справа на $\alpha_{1}$, второе на $\beta_{1}^{-1}$, третье – на $\alpha_{1}^{2} \beta_{1}$ и обозначим $a=a_{1} \beta_{1}^{-1}, c=c_{1} \alpha_{1}$; получим уравнения
\[
\begin{array}{c}
\dot{c}=[c, b]+a \beta_{1} \alpha_{1}-\alpha_{1} \beta_{1} a, \quad \dot{a}=[a, b], \\
{\left[\alpha_{1}^{2} \beta_{1}, b\right]=\alpha_{1} \beta_{1} c \alpha_{1}^{-1} \beta_{1}^{-1} \alpha_{1} \beta_{1}-c \alpha_{1} \beta_{1} .}
\end{array}
\]

В с илу уравнения (4.15) имеем $\beta_{1} \alpha_{1}=\mu \alpha_{1} \beta_{1}, \alpha_{1}^{-1} \beta_{1}^{-1} \alpha_{1} \beta_{1}=$ $=\mu^{-1}$. Обозначим $\alpha=\alpha_{1}^{2} \beta_{1}, \beta=\alpha_{1} \beta_{1}$; тогда справедливо соотношение
\[
\alpha \beta=\mu^{-1} \beta \alpha, \quad \mu^{n}=1,
\]

и уравнения (6.13) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{c}=[c, b]+\mu a \beta-\beta a, \quad \dot{a}=[a, b], \\
{[\alpha, b]=\mu^{-1} \beta c-c \beta .}
\end{array}
\]

Таким образом, в силу теоремы 3 уравнения (6.15) при условиях (6.14) допускают представление Лакса и поэтому обладаот большим набором первых интегралов.

При $\mu=1$ матрицы $\alpha$, $\beta$ можно ститать диагональными. В этом случае уравнепия (6.15) принимают вид
\[
\dot{c}=[c, b]+[a, \beta], \quad \dot{a}=[a, b], \quad[\alpha, b]=[\beta, c] .
\]

Эти уравнения в случае симметрической матрицы $a$ и кососимметрических матриц $b$ и $c$ описывают интегрируемый случай вращения $N$-мерного твердого тела в «ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом», указанный в работе [26].
При $\mu=-1$ уравнения (6.15) принимают вид
\[
\dot{c}=[c, b]-\{a, \beta\}, \quad \dot{a}=[a, b], \quad[\alpha, b]=-\{\beta, c\} .
\]

Пусть матрицы $a, b, c$ принадлежат алгебре Ли so $(2 n, \mathbb{R})$. Антикоммутирующие матрицы $\alpha, \beta$ выберем в виде (4.24). Тогда алгебраическое уравнение (6.17) разрешается аналогично п. IV § 4. Поэтому дифференциальные уравнения (6.17) корректно определены в алгебре Ли so $(2 n, \mathbb{R}) \oplus \mathrm{so}(2 n, \mathbb{R})$, допускают представление Лакса и обладают большим набором первых интегралов.