I. Так же, как и в § 4, предполагаем, что G и $\mathrm{H}-$ два произвольных коммутирующих автоморфизма в произвольной ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$.

Теорема 3. Дифференциальные уравнения в ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ вида
$${\dot{c}}_1=c_1\mathrm{H}(b)-b{c}_1+a_1-{\mathrm{HG}}^{-1}\left(a_1\right),{\dot{a}}_1=a_{1}G(b)-b{a}_1,$$

где элементь $b,c_1$ связаны соотношением ( $d_1=\mathrm{const}$ )
$$d_1{\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1}(b)-b{d}_1={\mathrm{HG}}^{-1}\left(c_1\right)-c_1,d_1={\mathrm{HG}}^{-1}\left(d_1\right),$$

допускают эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.

Доказательство. Определим следующие линейные операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$, действующие в ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ :
$$\mathrm{L}=a_1\mathrm{G}+\lambda c_1\mathrm{H}+{\lambda }^2{d}_1{\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1},\mathrm{A}=b+\lambda {\mathrm{HG}}^{-1}.$$

Уравнение Лакса $\mathrm{L}=\mathrm{LA}-\mathrm{AL}$ эквивалентно следующей системе уравнений (коәффициенты при ${\lambda }^0,{\lambda }^1,{\lambda }^2,{\lambda }^3$ ):
$$\begin{array}{c}{\dot{a}}_1=a_1\mathrm{G}(b)-b{a}_1,{\dot{c}}_1=c_1\mathrm{H}(b)-b{c}_1+a_1-{\mathrm{HG}}^{-1}\left(a_1\right),\\ {\dot{d}}_1=0=d_1{\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1}(b)-b{d}_1-{\mathrm{HG}}^{-1}\left(c_1\right)+c_1,\\ 0=d_1-{\mathrm{HG}}^{-1}\left(d_1\right).\end{array}$$

При выводе уравнений (6.4) из уравнения Лакса существепно используется, что $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ — коммутирующие автоморфизмы. Уравнения (6.4), очевидно, совпадают с дифференциальными уравнениями (6.1) и алгебраическими связями (6.2). Из представления Јакса следует паличие первых интегралов $I_k=T(\mathrm{L}(t,\lambda {)}^k)$. Теорема 3 доказана.

Первая теорема о двух коммутирующих автоморфизмах (§ 4) является частным случаем теоремы 3 при $d_1=0,c_1=1$. В этом случае первое дифференциальное уравнение (6.1) превращается в алгебраическую связь (4.2), а алгебраические уравнения (6.2) выполнены тождественно.
II. Укажем некоторые применения конструкции теоремы 3. В дальнейшем преднолагается, что $d_1=1$, тогда алгебраические уравнения (6.2) принимают вид
$${\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1}(b)-b={\mathrm{HG}}^{-1}\left(c_1\right)-c_1.$$

Предположим, что $\mathrm{H}=\mathrm{id}$. Тогда $c_1=b$ является решением уравнений (6.5) и уравпения (6.1) принимают вид
$$\dot{b}=a_1-{\mathrm{G}}^{-1}\left(a_1\right),{\dot{a}}_1=a_1\mathrm{G}(b)-b{a}_1.$$

Важнейшим примепением уравнений (6.6) является цешочка Тода. Пусть $\mathfrak{X}=\mathcal{F}(\mathbb{Z},\mathbb{R})$ — коммутативная алгебра функций на множестве целых чисел; автоморфизм G является сдвигом: $(Gf)(k)=f(k+1)$. Тогда уравнения (6.6) принимают вид
$$\dot{b}(k)=a_1(k)-a_1(k-1),{\dot{a}}_1(k)=a_1(k)(b(k+1)-b(k)).$$

Уравнения (6.7.) после подстановки
$$a_1(k)=\exp (q(k+1)-q(k)),b(k)=\dot{q}(k)$$

принимают вид уравнений цепочки Тода
$$\ddot{q}(k)=\exp (q(k+1)-q(k))-\exp (q(k)-q(k-1)).$$

Уравнение (6.5) разрешается в общем виде, если
$${\mathrm{HG}}^{-1}={\left({\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1}\right)}^p,\mathrm{G}={\mathrm{H}}^{(2p-1)/(p-1)},p⩾2.$$

Обозначим $\mathrm{F}={\mathrm{H}}^2{\mathrm{G}}^{-1}={\mathrm{H}}^{1/(1-p)};$ в силу (6.9) пмеем
$$\mathrm{H}={\mathrm{F}}^{1-p},\mathrm{G}={\mathrm{F}}^{1-2p},{\mathrm{HG}}^{-1}={\mathrm{F}}^p.$$

Уравнение (6.5) разрешается в виде $b=c_1+\mathrm{F}\left(c_1\right)+\dots$. $\dots +{\mathrm{F}}^{p-1}\left(c_1\right)$. Уравнения (6.1) принимают вид
$$\begin{array}{l}\dot{c_1}=c_1\left(\sum _{k=1}^{p-1}{\mathrm{F}}^{-k}\left(c_1\right)\right)-\left(\sum _{k=1}^{p-1}{\mathrm{F}}^k\left(c_1\right)\right)c_1+a_1-{\mathrm{F}}^p\left(a_1\right),\\ {\dot{a}}_1=a_1\left(\sum _{k=p}^{2p-1}{\mathrm{F}}^{-k}\left(c_1\right)\right)-\left(\sum _{k=0}^{p-1}{\mathrm{F}}^k\left(c_1\right)\right)a_1.\end{array}$$
III. Пусть алгебра $\mathfrak{U}=\mathrm{gl}(n,\mathbb{C})$ — алгебра комплексных матриц и автоморфизмы $G$ и $H$ определяются формулами
$$\mathrm{G}(x)={\beta }_1^{-1}x{\beta }_1,\mathrm{H}(x)={\alpha }_{1}x{\alpha }_1^{-1},$$

где ${\alpha }_1$ и ${\beta }_1$ — обратимые матрицы. Условие коммутативности автоморфизмов $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ имеет вид ${\alpha }_1{\beta }_1^{-1}=\mu {\beta }_1^{-1}{\alpha }_1,{\mu }^n=1$ (см. § 4, формула (4.15)). Уравнения (6.1), (6.5) в силу определений (6.11) принимают вид
$$\begin{array}{c}{\dot{c}}_1=c_1{\alpha }_{1}b{\alpha }_1^{-1}-b{c}_1+a_1-{\alpha }_1{\beta }_1{a}_1{\beta }_1^{-1}{\alpha }_1^{-1},\\ {\dot{a}}_1=a_1{\beta }_1^{-1}b{\beta }_1-b{a}_1,\\ {\alpha }_1^2{\beta }_{1}b{\beta }_1^{-1}{\alpha }_1^{-2}-b={\alpha }_1{\beta }_1{c}_1{\beta }_1^{-1}{\alpha }_1^{-1}-c_1.\end{array}$$

Умножим первое уравнение (6.12) справа на ${\alpha }_1$, второе на ${\beta }_1^{-1}$, третье — на ${\alpha }_1^2{\beta }_1$ и обозначим $a=a_1{\beta }_1^{-1},c=c_1{\alpha }_1$; получим уравнения
$$\begin{array}{c}\dot{c}=[c,b]+a{\beta }_1{\alpha }_1-{\alpha }_1{\beta }_{1}a,\dot{a}=[a,b],\\ [{\alpha }_1^2{\beta }_1,b]={\alpha }_1{\beta }_{1}c{\alpha }_1^{-1}{\beta }_1^{-1}{\alpha }_1{\beta }_1-c{\alpha }_1{\beta }_1.\end{array}$$

В с илу уравнения (4.15) имеем ${\beta }_1{\alpha }_1=\mu {\alpha }_1{\beta }_1,{\alpha }_1^{-1}{\beta }_1^{-1}{\alpha }_1{\beta }_1=$ $={\mu }^{-1}$. Обозначим $\alpha ={\alpha }_1^2{\beta }_1,\beta ={\alpha }_1{\beta }_1$; тогда справедливо соотношение
$$\alpha \beta ={\mu }^{-1}\beta \alpha ,{\mu }^n=1,$$

и уравнения (6.13) принимают вид
$$\begin{array}{c}\dot{c}=[c,b]+\mu a\beta -\beta a,\dot{a}=[a,b],\\ [\alpha ,b]={\mu }^{-1}\beta c-c\beta .\end{array}$$

Таким образом, в силу теоремы 3 уравнения (6.15) при условиях (6.14) допускают представление Лакса и поэтому обладаот большим набором первых интегралов.

При $\mu =1$ матрицы $\alpha$, $\beta$ можно ститать диагональными. В этом случае уравнепия (6.15) принимают вид
$$\dot{c}=[c,b]+[a,\beta ],\dot{a}=[a,b],[\alpha ,b]=[\beta ,c].$$

Эти уравнения в случае симметрической матрицы $a$ и кососимметрических матриц $b$ и $c$ описывают интегрируемый случай вращения $N$-мерного твердого тела в «ньютоновском гравитационном поле с однородным квадратичным потенциалом», указанный в работе [26].
При $\mu =-1$ уравнения (6.15) принимают вид
$$\dot{c}=[c,b]-\{a,\beta \},\dot{a}=[a,b],[\alpha ,b]=-\{\beta ,c\}.$$

Пусть матрицы $a,b,c$ принадлежат алгебре Ли so $(2n,\mathbb{R})$. Антикоммутирующие матрицы $\alpha ,\beta$ выберем в виде (4.24). Тогда алгебраическое уравнение (6.17) разрешается аналогично п. IV § 4. Поэтому дифференциальные уравнения (6.17) корректно определены в алгебре Ли so $(2n,\mathbb{R})\oplus \mathrm{so}(2n,\mathbb{R})$, допускают представление Лакса и обладают большим набором первых интегралов.