I. В § 5 гл. X указана связь некоторой лагранжевой интегрируемой системы на прушше Ли SO(3), обладающей однопараметрической группой симметрий, и интегрируемого случая Клебша для уравнений Кирхгофа. В дапном параграфе мы установим связь уравнений Кирхгофа (и некоторых более общих уравнений Эйлера) с лагранжевыми уравнениями на группе Ли SO(3) (соответственно $\mathrm{SO}(n))$.

В работах $[116,117]$ показано, что уравнения Кирхгофа
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \mathit{\omega }+\mathbf{p}\times \mathbf{u},\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p}\times \mathit{\omega },{\omega }_i=\frac{\partial H_1}{\partial M_i},u=\frac{\partial H_1}{\partial p_i},\\ H_1=\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^{\mathbf{3}}(a_i{M}_i^{\mathbf{2}}+2c_{ij}{M}_i{p}_j+b_{ij}{p}_i{p}_j)\end{array}$$

совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре Ји $E_3$ и являются гамильтоновыми с гамильтонианом $J_1=H$ на орбитах ${\mathfrak{M}}^4=T^{\ast }\left(S^2\right)$, определяемых постоянными значениями первых интегралов $J_2=(\mathbf{M},\mathbf{p}),J_3=(\mathbf{p},\mathbf{p})$. В работах $[116,117]$ доказано, что уравнения Кирхгофа на многообразиях ${\mathcal{A}}^4$ «сводятся к системе, математически эквивалентной классической заряженной частице, движущейся по сфере $S^2$ с римановой метрикой $g_{\alpha \beta }(x)$ в потенциальном поле $U(x)$, а также в әффективном магнитном поле $H_{12}(x)$ », т. е. сводятся к лагранжевым системам на сфере $S^2$, зависящим от параметров $J_2=c_2,J_3=c_3$. Этот результат справедлив также $[117,89]$ для гамильтонианов общего вида
$$H=\sum _{i,j=1}^3(\frac{1}{2}{a}_i{M}_i^2+c_{ij}{M}_i{p}_j+d_i{M}_i)+V(\mathbf{p}).$$

В данном параграфе показано, что уравнения Кирхгофа (6.1), (6.2) во всем фазовом пространстве ${\mathbb{R}}^6$ с координатами $M_i,p_j$ являются редукцией некоторой лагранжевой системы на групне Ји SO(3), обладающей однопараметрической грушпой симметрий, причем лагранжиан системы (6.1), (6.2) на инвариантном подмногообразии ${\mathcal{A}}^4=T^{\ast }\left(S^2\right)$ получается из лагранжиана на группе Ли $\mathrm{SO}(3)$ понижением порядка по Раусу. Лагранжева система на группе Ји SO(3), отвечающая гамильтониану общего вида (6.2), имеет следующий физический смысл: эта система описывает вращение электрически заряженного твердого тела — гиростата в осесиметричном силовом поле и в постоянном магнитном поле, направленном параллельно оси симметрии. Поэтому любой интегрируемый случай уравнений Кирхгофа определяет некоторый пнтегрируемый случай динамики твердого тела в указанных выше полях. Основная теорема 4 доказана для уравнений Эйлера (на специалыных алтебрах Ли), обобщающих уравнения Кирхгофа в $n$-мерном случае.
II. Пусть матрица $Q$ принадлежит грушпе $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, матрицы $J,C,D,x$ являются постоянными. Рассмотрим на групше Ли $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ лагранжиан вида
$$L=\mathrm{Tr}[\frac{1}{2}(J\omega +\omega J)\omega +(C\omega +\omega C)S+D\omega ]-V(S),$$

где $\omega =Q^{-1}\dot{Q},S=Q^{-1}xQ$.
Утверждение 1. Группа Ли ортогональных матриц $\mathrm{SO}(n)\subset \mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ является инвариантным многообразием лагранжевой системы с лагранжианом $L$ (6.3) на полной линейной әруппе $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, если матрицы $J,C$ симметрические, а матрицы $D,x$ кососимметрические.

Это утверждение означает, что экстремали функционала действия $S_1=\int Ldt$ на ортогональной пруппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ являются также экстремалями относительно произвольных вариаций всех матричных компонент.

Прямое вычисление приводит к формулам
$$\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial Q_{\beta }^{\alpha }}={\left\{(-\omega M+[C\omega +\omega C-\frac{\partial V}{\partial S},S])Q^{-1}\right\}}_{\alpha }^{\beta },\\ \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{\beta }^{\alpha }}={\left\{M{Q}^{-1}\right\}}_{\alpha }^{\beta },\\ M=J\omega +\omega J+CS+SC+D,{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_{\alpha }^{\beta }=\frac{\partial V}{\partial S_{\beta }^{\alpha }}.\end{array}$$

Поэтому уравнения Лапранжа имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\frac{dL}{\partial {\dot{Q}}_{\beta }^{\alpha }}-\frac{\partial L}{\partial Q_{\beta }^{\alpha }}=\{(\dot{M}-[M,\omega ]-\\ —{[C\omega +\omega C-\frac{\partial V}{\partial S},S])Q^{-1}\}}_{\alpha }^{\beta }=0.\end{array}$$

Эти уравнения эквивалентны матричному уравнению
$$\dot{M}=[M,\omega ]+[C\omega +\omega C-\frac{\partial V}{\partial S},S],$$

где матрица $M$ определена формулой (6.4).
Если матрицы $J$ и $C$ симметрические, а матрицы $D$ и $x$ кососимметрические, то алгебра Ли кососимметрических матриц $\mathrm{SO}(n)$ является инвариантным подмногообразием для уравнения (6.6), что и доказывает утверждение 1.

Предноложим, что все собственные числа матрицы $x$ различны. Тогда стационарная подгруппа ${\mathrm{\Gamma }}_x$ матрицы $x$ в присоединенном представлении прушшы Ли SO $(n)$ является тором ${\mathrm{T}}^r$ размерности $r=\mathrm{rang}\mathrm{SO}(n)=[n/2]$. По определению элементов $Q_x\in {\mathrm{\Gamma }}_x$ имеем $Q_x^{-1}x{Q}_x=x$. Группа Ли ${\mathrm{\Gamma }}_x$ действует на труппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ левыми сдвигами: $Q\to Q_{x}Q$; при этом действии матрицы $\omega =Q^{-1}Q$ и $S=Q^{-1}xQ$ не меняются. Поэтому коммутативная группа Ли ${\mathrm{\Gamma }}_x={\mathrm{T}}^r$ является пруппой симметрий лагранжиана (6.3). Орбита $O_x$ матрицы $x$ в присоединенном представлении пруппы ЈІи SO $(n)$ является факторпространством $\mathrm{SO}(n)/{\mathrm{\Gamma }}_x$.

Выделим однопараметрические подгрупны в ${\mathrm{\Gamma }}_x$, имеющие вид $Q_k(s)=\exp \left(s{x}^{2k-1}\right)$. Интегралы Нётер определяются по формулам [120]
$$J_k(Q,\dot{Q})=\mathrm{Tr}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{\beta }^{\alpha }}{\left({\frac{d{Q}_k(s)Q}{ds}|}_{s=0}\right)}_{\beta }^{\alpha }\right),k=1,\dots ,n.$$

Используя формулы (6.4), получаем
$$J_k(Q,Q)=\mathrm{Tr}\left(M{Q}^{-1}{x}^{2k-1}Q\right)=\mathrm{Tr}\left(M{S}^{2k-1}\right).$$

Вследствие коммутативности группы Ли ${\mathrm{\Gamma }}_x$ возможно попижение порядка лагранжиана (6.3) по Раусу при фикспрованных значениях интегралов $J_k$. В результате потучаем

Утверждение 2. Лагранжева система с лагранжианом (6.3) на әруппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ эквивалентна семейству ларранжевых систем на орбите $O_x$, зависящему от значений первых интегралов $J_1,\dots ,J_r$.

В локалыных координатах $q_1,\dots ,q_N$ на орбите $O_x$ лагранжиан редуцированной системы имеет стандартный вид $L_1=T_2+T_1+U$, где $T_2$ — квадратичная функция от ${\dot{q}}_i,T_1$ — линейная функция от ${\dot{q}}_i,U(q)$ — потенциальная функция.
III. Определим алгебру Ли $A,\dim A=2\dim \mathrm{SO}(n)=$ $=n(n-1)$. Элементами алгебры Ји $A$ являются пары кососимметрических матриц $\{M,S\}$ со следующими коммутационными соотношениями:
$$[\{M_1,S_1\},\{M_2,S_2\}]=\{[M_1,M_2],[M_1,S_2]+[S_1,M_2]\}.$$

В частности, пары $\{0,S\}$ образуют коммутапвный идеал A. Пусть $G$ — грушпа Ли, соответствующая алгебре Лй $A$.

Следующие $2r$ функции являются аннуляторами скобок Пуассона в пространстве функций на сопряженном пространстве $A^{\ast }$ :
$$J_k=\mathrm{Tr}\left(M{S}^{2k-1}\right),J_{r+k}=\mathrm{Tr}\left(S^{2k-1}\right),k=1,\dots ,r.$$

Поверхность постоянного уровня аннуляторов (6.10) определяет орбиту $O\{M,S\}$ присоединенного представления групшы Ли $G$. Используя интегралы (10), несложно показать, что $O\{M,S\}=T^{\ast }{O}_x$ (см. также [149]).
IV. Дополнив уравнение (6.6) уравнением, следующим из определения матрицы $S$, получим замкнутую систему уравнений
$$\dot{M}=[M,\omega ]+[C\omega +\omega C-\frac{\partial V}{\partial S},S],\dot{S}=[S,\omega ],$$

үде матрица $M$ определена формулой (6.4). Уравнения (6.11) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве $A^{\ast }$ к алгебре Ли $A$ (6.9) и имеют гамильтониан
$$H=\mathrm{Tr}[\frac{1}{2}(J\omega +\omega J)\omega ]+V(S).$$

Орбиты $O\{M,S\}$ инвариантны относительно системь (6.11). Нетрудно проверить, что аннуляторы $J_1,\dots ,J_{2r}$ являются первыми интепралами системы (6.11). Согласно общей теории [120] уравнения (6.11) гамильтоновы на орбитах $O\{M,S\}=T^{\ast }{O}_x$ в симплектической структуpe, определенной структурой алгебры Ли $A$ (всюду $S=$ $=Q^{-1}xQ)$.

Теорема 4. Уравнения Эйлера $(6.11),(6.12)$ в сопряженном пространстве $A^{\ast }$ при фиксированных значениях интегралов $J_{r+1},\dots ,J_{2r}$ (6.10) (т. е. фиксировань матрица $x$ и орбита $O_x$ ) являются редукцией лагранжевой системы на группе Ли $\mathrm{SO}(n)$ с лагранжианом (6.3). Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) на орбитах $O\{M,S\}=$ $=T\ast O_x$ эквивалентны лагранжевым уравнениям на ор битах $O_x$, причем соответствующий лагранжиан $L_1$ получается из лагранжиана $L$ (6.3) понижением порядка по раусу в силу наличия группь симметрий ${\mathrm{\Gamma }}_x=T^r$.

Доказательство основано на вычислениях п. II п на совпадении ивтегралов Нётер (6.8) и первых $r$ интепралов (6.10). Справедливы обобщения теоремы 4, где группа Ји $\mathrm{SO}(n)$ заменяетоя на произвольную полушростую группу Ли.
V. В трехмерном случае перейдем к векторной залиси уравнений Кирхгофа (6.1). Воспользуемся изоморфизмом векторов $\omega \in R^3$ и матриц $\hat{\omega }\in \mathrm{so}(3)$ :
$$\begin{array}{l}{M}^i\to M_{jk}=-M^i{\epsilon }_{ijk},(\mathbf{M},\omega )=-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(\hat{M}\hat{\omega }),\\ I\omega \to J\hat{\omega }+\hat{\omega }J,J=\frac{1}{2}(\mathrm{Tr}I)E-I,Q^{-1}\mathbf{e}\to Q^{-1}\hat{\mathbf{e}}Q.\end{array}$$

Здесь $I$-симметричный оператор, $Q$-ортогональный оператор. В силу (6.13) лагранжиан $-L/2$ имеет виг. (см. (6.3), (6.4))
$$L_2=\frac{1}{2}(\mathbf{M},\mathit{\omega })+(C\mathit{\omega },\mathbf{q})+(\mathbf{d},\mathit{\omega })-V(\mathbf{q}),$$

где $\mathbf{M}=I\mathit{\omega }+C\mathbf{q}+\mathbf{d},\mathbf{q}$ — вектор Пуассона, соответствующий матрице $S,\mathbf{q}=Q^{-1}\mathbf{e}$ d и $\mathbf{\text{ м — }}$ — постоянные векторы, I и $C$ — операторы. Уравнения Эйлера (6.11) принимают вид уравнений Кирхгофа
$$\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \mathit{\omega }+\mathbf{q}\times \mathbf{u},\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{q}\times \mathit{\omega },\mathbf{u}=-C\mathit{\omega }+\frac{\partial V}{\partial \mathbf{q}},$$
$$H=\frac{1}{2}(I^{-1}(\mathbf{M}-C\mathbf{q}),(\mathbf{M}-C\mathbf{q}))-(I^{-1}(\mathbf{M}-C\mathbf{q}),\mathbf{d})+V(\mathbf{q}).$$
VI. Рассмотрим вращение электрически заряженного твердого тела $T$ (с плотностью электрических зарядов $\sigma (\mathbf{r})$ ) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле с напряженностью Н и в некотором осесимметричном силовом поле (нашример гравитационном), ось симметрии которого $\mathbf{q}$ параллельна вектору $\mathbf{H},\mathbf{H}=H_0$ q. Соответствующая функция Лагранжа имеет вид
$$L_3=\frac{1}{2}(\mathbf{M},\mathit{\omega })+\frac{1}{c}{\int }_T(\mathbf{A},\mathbf{v})\sigma (\mathbf{r})d^3\mathbf{r}-V(\mathbf{q}),$$

где $c$-скорость света, $\mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r},$ вектор-потенциал $\mathbf{A}=\frac{1}{2}{H}_0\mathbf{q}\times \mathbf{r}$. Вычисляя интеграл в (6.16), получаем
$$L_3=\frac{1}{2}(\mathbf{M},\mathit{\omega })+\frac{1}{2c}{H}_0(\mathit{\omega },I_e\mathbf{q})-V(\mathbf{q}),$$

где тензор $I_e$ имеет компоненты
$$I_{eik}={\int }_T({\delta }_{ik}\sum _{l=1}^3{\left(r^l\right)}^2-r_i{r}_k)\sigma (\mathbf{r})d^3\mathbf{r}.$$

Јагранжиан (6.17), очевидно, относится к типу (6.14). Поэтому в силу теоремы 1 соответствующие уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Эйлера на алгеб́ре Ји $E_3$ с гамильтонианом вида (6.15).

В работе [150] путем прямого сопоставления уравнений движения установлено, что уравнения вращения электрически заряженного твердого тела в постоянном мапнитном поле являются специалыным вырожденным случаем уравнений Кирхгофа. Этот факт получает простое объяснение после доказателыства теоремы 1 о лагранжевой структуре уравнений Эйлера на алгебре Ли $E_3$. Действителыно, уравнения вращения твердого тела в рассматриваемом случае являются латранжевыми на группе Ли SO(3) с лапранжианом $L_3(6.17)$ прп $V(\mathbf{q})=0$, а этот лагранжиан является специалыным случаем обпих лаграпжианов (6.14) уравнений Эйлера на $E_3$ (уравнеший Кирхгофа).

Лагранжев подход показывает, что уравнения Кирхгофа с произвольным потендиалюм $V(q)$ в (6.16) имеют важный физический смысл — это уравнешия вращения электрически заряженного тела (являющегося гиростатом при $\mathit{d}eq0$ ) в постоянном мапнитном поле и осесимметричпом силовом поле. В случае квадратичного невырождепного потенциала $V(\mathbf{q})$ получаем классические уравления Кирхгофа с однородным квадратичным гамильтонианом ${\mathrm{H}}_2(\mathbf{M},\mathbf{q})$ вида (6.1), где $p_i$ заменено на $q_i$. Никаких физических ограничений и связей на коэффициенты гамильтониана ${\mathrm{H}}_2$ нет, нроме известных ограничений на компоненты тензора инерции $I_k=a_k^{-1}$. Вследствие этого все классические интегрируемые случаи для уравнений Кирхгофа [119] реализуются также в задаче о вращении электрически заряженното твердого тела в постояшном мапнитном и осесимметричном силовом поле с квадратичной потенциальной функцией $V(\mathbf{q})$ (некоторые интегрируемые случаи найдены в [151]).