I. В § 5 гл. X указана связь некоторой лагранжевой интегрируемой системы на прушше Ли SO(3), обладающей однопараметрической группой симметрий, и интегрируемого случая Клебша для уравнений Кирхгофа. В дапном параграфе мы установим связь уравнений Кирхгофа (и некоторых более общих уравнений Эйлера) с лагранжевыми уравнениями на группе Ли SO(3) (соответственно $\mathrm{SO}(n))$.

В работах $[116,117]$ показано, что уравнения Кирхгофа
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\mathbf{p} \times \mathbf{u}, \quad \dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \omega_{i}=\frac{\partial H_{1}}{\partial M_{i}}, \quad u=\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{i}}, \\
H_{1}=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{\mathbf{3}}\left(a_{i} M_{i}^{\mathbf{2}}+2 c_{i j} M_{i} p_{j}+b_{i j} p_{i} p_{j}\right)
\end{array}
\]

совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре Ји $E_{3}$ и являются гамильтоновыми с гамильтонианом $J_{1}=H$ на орбитах $\mathfrak{M}^{4}=T^{*}\left(S^{2}\right)$, определяемых постоянными значениями первых интегралов $J_{2}=(\mathbf{M}, \mathbf{p}), J_{3}=(\mathbf{p}, \mathbf{p})$. В работах $[116,117]$ доказано, что уравнения Кирхгофа на многообразиях $\mathscr{A}^{4}$ «сводятся к системе, математически эквивалентной классической заряженной частице, движущейся по сфере $S^{2}$ с римановой метрикой $g_{\alpha \beta}(x)$ в потенциальном поле $U(x)$, а также в әффективном магнитном поле $H_{12}(x)$ », т. е. сводятся к лагранжевым системам на сфере $S^{2}$, зависящим от параметров $J_{2}=c_{2}, J_{3}=c_{3}$. Этот результат справедлив также $[117,89]$ для гамильтонианов общего вида
\[
H=\sum_{i, j=1}^{3}\left(\frac{1}{2} a_{i} M_{i}^{2}+c_{i j} M_{i} p_{j}+d_{i} M_{i}\right)+V(\mathbf{p}) .
\]

В данном параграфе показано, что уравнения Кирхгофа (6.1), (6.2) во всем фазовом пространстве $\mathbb{R}^{6}$ с координатами $M_{i}, p_{j}$ являются редукцией некоторой лагранжевой системы на групне Ји SO(3), обладающей однопараметрической грушпой симметрий, причем лагранжиан системы (6.1), (6.2) на инвариантном подмногообразии $\mathscr{A}^{4}=T^{*}\left(S^{2}\right)$ получается из лагранжиана на группе Ли $\mathrm{SO}(3)$ понижением порядка по Раусу. Лагранжева система на группе Ји SO(3), отвечающая гамильтониану общего вида (6.2), имеет следующий физический смысл: эта система описывает вращение электрически заряженного твердого тела – гиростата в осесиметричном силовом поле и в постоянном магнитном поле, направленном параллельно оси симметрии. Поэтому любой интегрируемый случай уравнений Кирхгофа определяет некоторый пнтегрируемый случай динамики твердого тела в указанных выше полях. Основная теорема 4 доказана для уравнений Эйлера (на специалыных алтебрах Ли), обобщающих уравнения Кирхгофа в $n$-мерном случае.
II. Пусть матрица $Q$ принадлежит грушпе $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$, матрицы $J, C, D, x$ являются постоянными. Рассмотрим на групше Ли $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ лагранжиан вида
\[
L=\operatorname{Tr}\left[\frac{1}{2}(J \omega+\omega J) \omega+(C \omega+\omega C) S+D \omega\right]-V(S),
\]

где $\omega=Q^{-1} \dot{Q}, S=Q^{-1} x Q$.
Утверждение 1. Группа Ли ортогональных матриц $\mathrm{SO}(n) \subset \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ является инвариантным многообразием лагранжевой системы с лагранжианом $L$ (6.3) на полной линейной әруппе $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$, если матрицы $J, C$ симметрические, а матрицы $D, x$ кососимметрические.

Это утверждение означает, что экстремали функционала действия $S_{1}=\int L d t$ на ортогональной пруппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ являются также экстремалями относительно произвольных вариаций всех матричных компонент.

Прямое вычисление приводит к формулам
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial L}{\partial Q_{\beta}^{\alpha}}=\left\{\left(-\omega M+\left[C \omega+\omega C-\frac{\partial V}{\partial S}, S\right]\right) Q^{-1}\right\}_{\alpha}^{\beta}, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{\beta}^{\alpha}}=\left\{M Q^{-1}\right\}_{\alpha}^{\beta}, \\
M=J \omega+\omega J+C S+S C+D, \quad\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{\alpha}^{\beta}=\frac{\partial V}{\partial S_{\beta}^{\alpha}} .
\end{array}
\]

Поэтому уравнения Лапранжа имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{d L}{\partial \dot{Q}_{\beta}^{\alpha}}-\frac{\partial L}{\partial Q_{\beta}^{\alpha}}=\{(\dot{M}-[M, \omega]- \\
– {\left.\left.\left[C \omega+\omega C-\frac{\partial V}{\partial S}, S\right]\right) Q^{-1}\right\}_{\alpha}^{\beta}=0 . }
\end{array}
\]

Эти уравнения эквивалентны матричному уравнению
\[
\dot{M}=[M, \omega]+\left[C \omega+\omega C-\frac{\partial V}{\partial S}, S\right],
\]

где матрица $M$ определена формулой (6.4).
Если матрицы $J$ и $C$ симметрические, а матрицы $D$ и $x$ кососимметрические, то алгебра Ли кососимметрических матриц $\mathrm{SO}(n)$ является инвариантным подмногообразием для уравнения (6.6), что и доказывает утверждение 1.

Предноложим, что все собственные числа матрицы $x$ различны. Тогда стационарная подгруппа $\Gamma_{x}$ матрицы $x$ в присоединенном представлении прушшы Ли SO $(n)$ является тором $\mathrm{T}^{r}$ размерности $r=\operatorname{rang} \mathrm{SO}(n)=[n / 2]$. По определению элементов $Q_{x} \in \Gamma_{x}$ имеем $Q_{x}^{-1} x Q_{x}=x$. Группа Ли $\Gamma_{x}$ действует на труппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ левыми сдвигами: $Q \rightarrow Q_{x} Q$; при этом действии матрицы $\omega=Q^{-1} Q$ и $S=Q^{-1} x Q$ не меняются. Поэтому коммутативная группа Ли $\Gamma_{x}=\mathrm{T}^{r}$ является пруппой симметрий лагранжиана (6.3). Орбита $O_{x}$ матрицы $x$ в присоединенном представлении пруппы ЈІи SO $(n)$ является факторпространством $\mathrm{SO}(n) / \Gamma_{x}$.

Выделим однопараметрические подгрупны в $\Gamma_{x}$, имеющие вид $Q_{k}(s)=\exp \left(s x^{2 k-1}\right)$. Интегралы Нётер определяются по формулам [120]
\[
J_{k}(Q, \dot{Q})=\operatorname{Tr}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{\beta}^{\alpha}}\left(\left.\frac{d Q_{k}(s) Q}{d s}\right|_{s=0}\right)_{\beta}^{\alpha}\right), \quad k=1, \ldots, n .
\]

Используя формулы (6.4), получаем
\[
J_{k}(Q, Q)=\operatorname{Tr}\left(M Q^{-1} x^{2 k-1} Q\right)=\operatorname{Tr}\left(M S^{2 k-1}\right) .
\]

Вследствие коммутативности группы Ли $\Gamma_{x}$ возможно попижение порядка лагранжиана (6.3) по Раусу при фикспрованных значениях интегралов $J_{k}$. В результате потучаем

Утверждение 2. Лагранжева система с лагранжианом (6.3) на әруппе Ли $\mathrm{SO}(n)$ эквивалентна семейству ларранжевых систем на орбите $O_{x}$, зависящему от значений первых интегралов $J_{1}, \ldots, J_{r}$.

В локалыных координатах $q_{1}, \ldots, q_{N}$ на орбите $O_{x}$ лагранжиан редуцированной системы имеет стандартный вид $L_{1}=T_{2}+T_{1}+U$, где $T_{2}$ – квадратичная функция от $\dot{q}_{i}, T_{1}$ – линейная функция от $\dot{q}_{i}, U(q)$ – потенциальная функция.
III. Определим алгебру Ли $A, \operatorname{dim} A=2 \operatorname{dim} \mathrm{SO}(n)=$ $=n(n-1)$. Элементами алгебры Ји $A$ являются пары кососимметрических матриц $\{M, S\}$ со следующими коммутационными соотношениями:
\[
\left[\left\{M_{1}, S_{1}\right\},\left\{M_{2}, S_{2}\right\}\right]=\left\{\left[M_{1}, M_{2}\right],\left[M_{1}, S_{2}\right]+\left[S_{1}, M_{2}\right]\right\} .
\]

В частности, пары $\{0, S\}$ образуют коммутапвный идеал A. Пусть $G$ – грушпа Ли, соответствующая алгебре Лй $A$.

Следующие $2 r$ функции являются аннуляторами скобок Пуассона в пространстве функций на сопряженном пространстве $A^{*}$ :
\[
J_{k}=\operatorname{Tr}\left(M S^{2 k-1}\right), \quad J_{r+k}=\operatorname{Tr}\left(S^{2 k-1}\right), \quad k=1, \ldots, \quad r .
\]

Поверхность постоянного уровня аннуляторов (6.10) определяет орбиту $O\{M, S\}$ присоединенного представления групшы Ли $G$. Используя интегралы (10), несложно показать, что $O\{M, S\}=T^{*} O_{x}$ (см. также [149]).
IV. Дополнив уравнение (6.6) уравнением, следующим из определения матрицы $S$, получим замкнутую систему уравнений
\[
\dot{M}=[M, \omega]+\left[C \omega+\omega C-\frac{\partial V}{\partial S}, S\right], \quad \dot{S}=[S, \omega],
\]

үде матрица $M$ определена формулой (6.4). Уравнения (6.11) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве $A^{*}$ к алгебре Ли $A$ (6.9) и имеют гамильтониан
\[
H=\operatorname{Tr}\left[\frac{1}{2}(J \omega+\omega J) \omega\right]+V(S) .
\]

Орбиты $O\{M, S\}$ инвариантны относительно системь (6.11). Нетрудно проверить, что аннуляторы $J_{1}, \ldots, J_{2 r}$ являются первыми интепралами системы (6.11). Согласно общей теории [120] уравнения (6.11) гамильтоновы на орбитах $O\{M, S\}=T^{*} O_{x}$ в симплектической структуpe, определенной структурой алгебры Ли $A$ (всюду $S=$ $\left.=Q^{-1} x Q\right)$.

Теорема 4. Уравнения Эйлера $(6.11),(6.12)$ в сопряженном пространстве $A^{*}$ при фиксированных значениях интегралов $J_{r+1}, \ldots, J_{2 r}$ (6.10) (т. е. фиксировань матрица $x$ и орбита $O_{x}$ ) являются редукцией лагранжевой системы на группе Ли $\mathrm{SO}(n)$ с лагранжианом (6.3). Уравнения Эйлера (6.11), (6.12) на орбитах $O\{M, S\}=$ $=T * O_{x}$ эквивалентны лагранжевым уравнениям на ор битах $O_{x}$, причем соответствующий лагранжиан $L_{1}$ получается из лагранжиана $L$ (6.3) понижением порядка по раусу в силу наличия группь симметрий $\Gamma_{x}=T^{r}$.

Доказательство основано на вычислениях п. II п на совпадении ивтегралов Нётер (6.8) и первых $r$ интепралов (6.10). Справедливы обобщения теоремы 4, где группа Ји $\mathrm{SO}(n)$ заменяетоя на произвольную полушростую группу Ли.
V. В трехмерном случае перейдем к векторной залиси уравнений Кирхгофа (6.1). Воспользуемся изоморфизмом векторов $\omega \in R^{3}$ и матриц $\hat{\omega} \in \mathrm{so}(3)$ :
\[
\begin{array}{l}
M^{i} \rightarrow M_{j k}=-M^{i} \varepsilon_{i j k}, \quad(\mathbf{M}, \omega)=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(\widehat{M} \widehat{\omega}), \\
I \omega \rightarrow J \widehat{\omega}+\widehat{\omega} J, \quad J=\frac{1}{2}(\operatorname{Tr} I) E-I, \quad Q^{-1} \mathbf{e} \rightarrow Q^{-1} \widehat{\mathbf{e}} Q .
\end{array}
\]

Здесь $I$-симметричный оператор, $Q$-ортогональный оператор. В силу (6.13) лагранжиан $-L / 2$ имеет виг. (см. (6.3), (6.4))
\[
L_{2}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega})+(C \boldsymbol{\omega}, \mathbf{q})+(\mathbf{d}, \boldsymbol{\omega})-V(\mathbf{q}),
\]

где $\mathbf{M}=I \boldsymbol{\omega}+C \mathbf{q}+\mathbf{d}, \mathbf{q}$ – вектор Пуассона, соответствующий матрице $S, \mathbf{q}=Q^{-1} \mathbf{e}$ d и $\mathbf{\text { м – }}$ – постоянные векторы, I и $C$ – операторы. Уравнения Эйлера (6.11) принимают вид уравнений Кирхгофа
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\mathbf{q} \times \mathbf{u}, \quad \dot{\mathbf{q}}=\mathbf{q} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \mathbf{u}=-C \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial V}{\partial \mathbf{q}},
\]
\[
H=\frac{1}{2}\left(I^{-1}(\mathbf{M}-C \mathbf{q}),(\mathbf{M}-C \mathbf{q})\right)-\left(I^{-1}(\mathbf{M}-C \mathbf{q}), \mathbf{d}\right)+V(\mathbf{q}) .
\]
VI. Рассмотрим вращение электрически заряженного твердого тела $T$ (с плотностью электрических зарядов $\sigma(\mathbf{r})$ ) вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле с напряженностью Н и в некотором осесимметричном силовом поле (нашример гравитационном), ось симметрии которого $\mathbf{q}$ параллельна вектору $\mathbf{H}, \mathbf{H}=H_{0}$ q. Соответствующая функция Лагранжа имеет вид
\[
L_{3}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{c} \int_{T}(\mathbf{A}, \mathbf{v}) \sigma(\mathbf{r}) d^{3} \mathbf{r}-V(\mathbf{q}),
\]

где $c$-скорость света, $\quad \mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r}, \quad$ вектор-потенциал $\mathbf{A}=\frac{1}{2} H_{0} \mathbf{q} \times \mathbf{r}$. Вычисляя интеграл в (6.16), получаем
\[
L_{3}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2 c} H_{0}\left(\boldsymbol{\omega}, I_{e} \mathbf{q}\right)-V(\mathbf{q}),
\]

где тензор $I_{e}$ имеет компоненты
\[
I_{e i k}=\int_{T}\left(\delta_{i k} \sum_{l=1}^{3}\left(r^{l}\right)^{2}-r_{i} r_{k}\right) \sigma(\mathbf{r}) d^{3} \mathbf{r} .
\]

Јагранжиан (6.17), очевидно, относится к типу (6.14). Поэтому в силу теоремы 1 соответствующие уравнения Лагранжа эквивалентны уравнениям Эйлера на алгеб́ре Ји $E_{3}$ с гамильтонианом вида (6.15).

В работе [150] путем прямого сопоставления уравнений движения установлено, что уравнения вращения электрически заряженного твердого тела в постоянном мапнитном поле являются специалыным вырожденным случаем уравнений Кирхгофа. Этот факт получает простое объяснение после доказателыства теоремы 1 о лагранжевой структуре уравнений Эйлера на алгебре Ли $E_{3}$. Действителыно, уравнения вращения твердого тела в рассматриваемом случае являются латранжевыми на группе Ли SO(3) с лапранжианом $L_{3}(6.17)$ прп $V(\mathbf{q})=0$, а этот лагранжиан является специалыным случаем обпих лаграпжианов (6.14) уравнений Эйлера на $E_{3}$ (уравнеший Кирхгофа).

Лагранжев подход показывает, что уравнения Кирхгофа с произвольным потендиалюм $V(q)$ в (6.16) имеют важный физический смысл – это уравнешия вращения электрически заряженного тела (являющегося гиростатом при $\boldsymbol{d}
eq 0$ ) в постоянном мапнитном поле и осесимметричпом силовом поле. В случае квадратичного невырождепного потенциала $V(\mathbf{q})$ получаем классические уравления Кирхгофа с однородным квадратичным гамильтонианом $\mathrm{H}_{2}(\mathbf{M}, \mathbf{q})$ вида (6.1), где $p_{i}$ заменено на $q_{i}$. Никаких физических ограничений и связей на коэффициенты гамильтониана $\mathrm{H}_{2}$ нет, нроме известных ограничений на компоненты тензора инерции $I_{k}=a_{k}^{-1}$. Вследствие этого все классические интегрируемые случаи для уравнений Кирхгофа [119] реализуются также в задаче о вращении электрически заряженното твердого тела в постояшном мапнитном и осесимметричном силовом поле с квадратичной потенциальной функцией $V(\mathbf{q})$ (некоторые интегрируемые случаи найдены в [151]).