I. Интегрируемая система Вольтерра определяется уравнениями
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(a_{i+1}-a_{i-1}\right) .
\]

Одним из важнейших свойств системы Вольтерра является то, что в континуальном пределе уравнения (1.1) переходят в уравнение Кортевега – де Фриза
\[
u_{t}=6 u u_{x}-u_{x x x}
\]

и тем самым являются его интегрируемой дискретизацией.

Теорема 1. При любом целом $p \geqslant 2$ динамическал систела
\[
a_{i}=a_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} a_{i-k}\right)
\]

допускает представление Лакса с произвольным спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ (1.2).

Доказательство. Рассмотрим уравнение Јакса $\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ вида
\[
(a+m E)^{\cdot}=\left[a+m E,-b-m^{p} E\right],
\]

где $E$ – произвольпый параметр, матрицы $a$ и $k$ имеют только один непулевой элемент в каждой строке и каждом столбце, которые определяются формулами
\[
a_{i, i+1-p}=a_{i}, \quad m_{i, i+1}=1 .
\]

Уравнение (1.4) эквивалентно системе трех матричных уравнений (коэффициенты при степенях спектрального параметра $E$ ):
$E^{0}: \dot{a}=-[a, b], \quad E^{1}:[m, b]=\left[m^{p}, a\right]$,
\[
E^{2}:\left[m, m^{p}\right] \equiv 0 .
\]

Второе уравнепие (1.6) удовлетворено, если матрица $b$ имеет вид
\[
b=\sum_{j=0}^{p-1} m^{p-1-j} a m^{j} .
\]

При этом в силу (1.5) матрица $b$ является диагональной со следующими ненулевыми элементами:
\[
b_{i i}=b_{i}=a_{i}+a_{i+1}+\ldots+a_{i+p-1} .
\]

Первое уравнение (1.6) эквивалентно уравнениям $\dot{a}_{i}=$ $=a_{i}\left(b_{i}-b_{i+1-p}\right)$, которые после подстановки формул (1.8) принматот вид (1.3). Поэтому динамическая система (1.3) эквивалентна уравнепию Лакса (1.4), (1.5), (1.7).

Для получения континуалыпого предела динамической системы (1.3) предположим, что справедтивы равенства
\[
a_{j}(t)=1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}\right), \quad x_{j}=j \varepsilon,
\]

где $u(t, x)$ – некоторая гладкая функция. Система (1.3)

после подстановки (1.9) переходит в систему
\[
\begin{array}{l}
-\varepsilon^{2} \frac{\partial u}{\partial t}\left(t, x_{j}\right)=\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}\right)\right)\left(\sum_{k=1}^{p-1}\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}+k \varepsilon\right)\right)-\right. \\
\left.-\sum_{k=1}^{p-1}\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}-k \varepsilon\right)\right)\right) .
\end{array}
\]

После подстановти разложения фупкции $u\left(t, x_{j} \pm k \varepsilon\right)$ в ряд Тейлора в точке $\left(t, x_{j}\right)$ находим $\left(\mu=\frac{1}{3} \sum_{h=1}^{p-1} k^{3}\right)$
\[
u_{t}=\varepsilon p(p-1) u_{x}+\varepsilon^{2}\left(-p(p-1) u u_{x}+\mu u_{x x x}\right)+O\left(\varepsilon^{5}\right) .
\]

Уравнение (1.11) после перехода $\kappa$ новым переменшым $t^{\prime}=t, x^{\prime}=x+p(p-1) \varepsilon t$ принимает вид
\[
\frac{\partial u}{\partial t^{\prime}}=\varepsilon^{2}\left(-p(p-1) u \frac{\partial u}{\partial x^{\prime}}+\mu \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right)+O\left(\varepsilon^{5}\right) .
\]

После замены переменных
\[
\tau=-\varepsilon^{3} x t^{\prime}, \quad x=\sigma x^{\prime}, \sigma=(p(p-1) / 6 \mu)^{1 / 2}, \quad x=\mu \sigma^{3}
\]

и перехода к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнение (1.12) преобразуется в уравнение Кортевега – де Фриза $u_{\tau}=6 u u_{x}-u_{x x x}$. Теорема 1 доказана.

Динамическую систему (1.3) можпо представить в виде
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left(\int T_{k k^{\prime}} a_{k^{\prime}} d k^{\prime}\right),
\]

где ядро $T_{h k^{\prime}}$ аштисимметрично и определяется формулами
\[
T_{k k^{\prime}}=\sum_{s=1}^{p-1}\left(\delta\left(k-k^{\prime}+s\right)-\delta\left(k-k^{\prime}-s\right)\right) .
\]

Поэтому система (1.3) является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в случае, когда спектр (в $k$-пространстве) имеет струйную структуру [43].
II. Важным следствием представления Лакса (1.4) для спстемы (1.3) является существование первых интегралов этой системы
\[
I_{n}=\operatorname{Tr}(a+m E)^{n p}, \quad n=1,2, \ldots
\]

Простое вычисление приводит к следующим формулам:
\[
I_{k+1}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{s_{1}, \ldots, s_{k}} C(s) \prod_{m=0}^{h} a_{i-m r+s_{1}+\ldots+s_{m}},
\]

где $s_{i} \geqslant 0, s_{0}=0, C(s)=(k+1) r+1-s_{1}-\ldots-s_{k}, s_{1}+\ldots$ $\ldots+s_{k} \leqslant(k+1) r$. Интегралы $I_{k}$ определены при условиях: 1) периодичности, $a_{i} \equiv a_{i+n}$;2) непериодичности, при $a_{k}=0$ для $k \leqslant p-1$ и $k>n$. Интеграл $I_{k}(a)$ является однородным многочленом степени $k$. Разумеется, между иптегралами $I_{k}(k=1,2, \ldots)$ имеются некоторые функциональные соотношения. Простейший интеграл $I_{1}$ имеет вид $I_{1}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. В периодическом случае имеется еще один шервый интеграл $J_{1}=\prod_{i=1}^{n} a_{i}$.

С динамической системой (1.3) в периодическом случае $\left(a_{i+n} \equiv a_{i}\right.$ ) связана риманова поверхность $\Gamma$, определенная уравнением
\[
R(E, w)=\operatorname{det}(a(t)+m E-w \cdot 1)=0 .
\]

Коэффициенты уравнения (1.15) тажже являются первыми интегралами динамической системы (1.3).
III. Укажем гамильтонову структуру динамических систем (1.3). После замены переменных $a_{i}=\exp u_{i}$ система (1.3) принимает вид
\[
\dot{u}_{i}=\sum_{h=1}^{p-1} \exp u_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} \exp u_{i-k}=\sum I_{i m} \frac{\partial H}{\partial u_{m}},
\]

где $H=\sum_{m} \exp u_{m}$. Оператор $I_{i m}$ является кососимметрическим и имеет следующие ненулевые компоненты:
\[
I_{i, i+k}=1, \quad I_{i, i-k}=-1, \quad k=1,2, \ldots, p-1 .
\]

В силу представления (1.16) динамическая система (1.3) является гамильтоновой с гамильтонианом $H$. По-видимому, интегралы $I_{h}$ (1.14) инволютивны относительно скобок Пуассона $\{F, G\}=\sum_{i, m} I_{i m} \frac{\partial F}{\partial u_{i}} \frac{\partial G}{\partial u_{m}}$, и система является вполле интегрируемой по Лиувиллю. Из представления Лакса (1.4) со спектральным параметром $E$ следует пнтегрируемость системы (1.3) в периодическом случае $a_{i+n} \equiv a_{i}$ в тэта-функциях римановой поверхности $\Gamma$ (1.15).

IV. Динамические системы (1.3) входят в общий класс систем, выделенных В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. При этом величина $a_{k}(t)$ является численностью популяции $k$-го вида (или ее плотностью); предполагается, что пищей для $i$-го вида являются особи видов $i+1, i+2, \ldots, i+p-1$.

В работе [46] рассматривался, независимо от работ $[12,21,47]$, спедиальный случай конечномерных динамических систем (1.3) в периодическом случае $a_{i+n} \equiv a_{i}$ и при условии $n=2 p-1$. В этом случае любые два вида $a_{i}, a_{j}$ «взаимодействуют» друг с другом (как хищник и жертва). В работе [46] при $n=2 p-1$ с помощью комбинаторных методов найдены формулы для $p$ первых интегралов рассматриваемой динамической системы. Формулы (1.14) в специальном случае $n=2 p-1$ отличаются от формул первых интегралов, полученных в работе [46]. В частности, все первые интегралы, указанные в работе [46], имеют нечетные степени $a_{j}: 1,3, \ldots, 2 p-1$. Совпадают только первые интегралы $I_{1}$ и $J_{1}$.
V. Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Ланса (1.4) гри $E=1$ и динамической системой (1.3). Предположим, что функции $a_{j}(t)$ имеют асимптотику $a_{j}(t) \rightarrow 1$ при $j \rightarrow \pm \infty$. Собственные функции $\varphi(k, t)$ оператора $\mathrm{L}(t, 1)=a+m$ (1.4) удовлетворяют уравнению
\[
\begin{aligned}
(\operatorname{L\varphi }(k, t))_{n}=a_{n} \varphi(k, t)_{n+1-p}+\varphi(k, t)_{n+1} & = \\
& =k \varphi(k, t)_{n},
\end{aligned}
\]

где $k \in \mathbb{C}-$ спектральный параметр. Линейное пространство решений уравнений (1.18) имеет размерность p. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций $\varphi_{i}(k, t)$ и $\psi_{i}(k, t)$, которые имеют следующие асимштотики при $n \rightarrow \pm \infty$ :
\[
\begin{array}{ll}
\left(\varphi_{i}(k, t)\right)_{n}=z_{i}^{n}, & n \rightarrow-\infty, \\
\left(\psi_{j}(k, t)\right)_{n}=z_{j}^{n}, & n \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Числа $z_{i}(k), z_{j}(k)$ являются корнями уравнения
\[
z^{p}-k z^{p-1}+1=0 .
\]

Два базиса собственных функций $\varphi_{i}(k, t), \psi_{j}(k, t)$ связаны линейным соотношением
\[
\varphi_{i}(k, t)=\sum_{j=1}^{p} B_{i j}(k, t) \psi_{j}(k, t) .
\]

Матрица $\mathrm{B}_{i j}(k, t)$ называется матрицей рассеяния.

Покажем, что функции $\varphi_{i}(k, t)$ п $\psi_{i}(k, t)$ удовлетворяют уравнению
\[
\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=-\left(p+z^{p}\right) \varphi_{i}, \quad \mathrm{~A}=-b-m^{p} .
\]

Действительно, из уравнения Лакса, как известно, следует уравнение
\[
\mathrm{L}\left(\dot{\varphi}_{i}(k, t)+\mathrm{A} \varphi_{i}(k, t)\right)=k\left(\dot{\varphi_{i}}(k, t)+\mathrm{A} \varphi_{i}(k, t)\right),
\]

в силу которого функция $\varphi=\varphi_{i}+A \varphi_{i}$ является собственной функцией оператора $L$ и поэтому имеет представление в виде $\varphi=c_{1} \varphi_{1}+\ldots+c_{p} \varphi_{p}$. В силу асимптотики (1.19) имеем
\[
\left(\dot{\varphi}_{i}+A \varphi_{i}\right)_{n}=\left(\dot{\varphi}_{i}\right)_{n}-b_{n n}\left(\varphi_{i}\right)_{n}-\left(\varphi_{i}\right)_{n+p}=-\left(p+z_{i}^{p}\right)\left(\varphi_{i}\right)_{n} .
\]

Поэтому $c_{j}=-\left(p+z_{i}^{p}\right) \delta_{i j}$, и уравнение (1.22) доказано.

Подставим соотношения (1.21) в уравнения (1.22), получим равенства
\[
\begin{aligned}
\sum_{j=1}^{p}\left(\dot{\mathrm{B}}_{i j}(k, t)-\left(p+z_{j}^{p}\right) \mathrm{B}_{i j}\right) \psi_{j}(k, t)= & \\
= & -\left(p+z_{i}^{p}\right) \sum_{j=1}^{n} \mathrm{~B}_{i j} \psi(k, t) .
\end{aligned}
\]

Отсюда находим уравнения, определяющие динамику комнонент $B_{i j}(k, t)$ :
\[
\dot{\mathrm{B}}_{i j}(k, t)=\left(z_{j}^{p}-z_{i}^{p}\right) \mathrm{B}_{i j}(k, t) .
\]

Поэтому динамика компонент матрицы рассеяния полностью интегрируется:
\[
\mathbf{B}_{i j}(k, t)=\mathbf{B}_{i j}(k, 0) \exp \left(\left(z_{j}^{p}-z_{i}^{p}\right) t\right) .
\]

Очевидно, справедливы соотношения
\[
\begin{aligned}
\mathrm{B}_{i i}(k, t) & =\mathrm{B}_{i i}(k, 0), \\
\mathrm{B}_{i j}(k, t) \mathrm{B}_{j i}(k, t) & =\mathrm{B}_{i j}(k, 0) \mathrm{B}_{j i}(k, 0) .
\end{aligned}
\]

Решение оистемы уравнений (1.3) по методу обратной задачи рассеяния состоит из трех этапов:
\[
a_{n}(0) \xrightarrow{\mathrm{I}} \mathrm{B}_{i j}(k, 0) \xrightarrow{\mathrm{II}} \mathrm{B}_{i j}(k, t) \xrightarrow{\mathrm{III}} a_{n}(t) .
\]

Этап I состопт в пахождении начальных дапных рассеяния по известной начальной матриде $\mathrm{L}(0)$, т. е. сводится к решению задачи на собственные значения для бесконечной матрицы L. Этап II заключается в исследовании динамики компонент матрицы рассеяния. Решение этой задачи получено выше и определяется формулами (1.26). Этап III состоит в восстановлении коэффициентов $a_{n}(t)$ по найденным данным рассеяния $\widehat{B}_{i j}(k, t)$. Эта задача, видимо, будет исследована в дальнейшем. Заведомо ясно, что полная матрица расісеяния $\mathrm{B}_{i j}(k, t)$, зависящая от произвольного комплексного параметра $k$, содержит избыточную информацию. Если ограничиться вещественными значениями параметра $k$, то множество корней уравнения (1.20) разбивается на пары комплексно сопряженных корпей и между коэффициентами $\mathrm{B}_{i j}(k, t)$ появляются тождественные соотношения. Лишь при исключительном значении параметра $k=0$ все решения уравнений (1.18) являются ограниченными при $n \rightarrow$ $\rightarrow \pm \infty$, т. е. все корни $z_{i}$ уравнения (1.20) удовлетворяют условию $\left|z_{i}\right|=1$; при этом $z_{i}^{p}=-1$.
VI. Динамическая система (1.3) допускает еще одно представление Лакса со спектральыым параметром, не эквивалентное представлению (1.4). Пусть матрицы $\mathrm{L}(t, E)$ и $\mathrm{A}(t, E)$ имеют следующие ненулевые компоненты:
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{L}_{i, i+p}=-E^{p} a_{i}^{-1}, & \mathrm{~L}_{i, i+p-1}=-E^{p-1} a_{i}^{-1}, \\
\mathrm{~A}_{i, i+p}=E^{p} a_{i}^{-1} \sum_{k=1}^{p-1} a_{i-k}, & \mathrm{~A}_{i, i+p-1}=E^{p-1} a_{i}^{-1} \sum_{k=0}^{p-1} a_{i-k} .
\end{array}
\]

Система (1.3) эквивалентна второму матричному уравнению со спектральным параметром $E$, имеющему вид
\[
\dot{\mathrm{L}} \mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {, }
\]

где компоненты матриц $\mathrm{L}(t, E)$ и $\mathrm{A}(t, E)$ определены формулами (1.29). Уравнение (1.30) имеет набор перівх интегралов $I_{k}=\operatorname{Tr}(\mathrm{L}(t, E))^{k}, k=1,2, \ldots$, поэтому собственные числа матрицы $\mathrm{L}(t, E)$ являются первыми интегралами динамической системы (1.3). В случае обратимых матриц $L$ уравнение (1.30) эквивалентно уравнению $\mathrm{L}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{AL}^{-1}\right]$. При этом матрица $\mathrm{AL}^{-1}$ имеет весьма сложную структуру: все ее элементы, вообще говоря, являются ненулевыми.
VII. Динамическая система (1.3) допускает представление Лакса (1.4), (1.30) как в случае вещественных, так и в случае комплексных переменных $a_{i}(t)$. Укажем аналог системы (1.3) в случае комплексных переменных $a_{i}(t)$, также допускающий представление изоспектральной деформации.
Рассмотрим уравнение Лакса
\[
(\mathrm{A}+\mathrm{KE})^{\cdot}=\left[\mathrm{A}+\mathrm{K} E, \mathrm{~B}-\mathrm{K}^{p} E\right],
\]

где матрицы $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{K}$ имеют размер $n \times n$ и их ненулевые матричные әлементы являются двумерными блоками следующего вида:
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{K}_{i, i+1}=k=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \mathrm{B}_{i i}=\mathrm{B}_{i}=\left(\begin{array}{cc}
b_{i} & 0 \\
0 & \tau\left(b_{i}\right)
\end{array}\right), \\
p=2 s+1: \mathrm{A}_{i, i+1-p}=\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}
a_{i} & 0 \\
0 & \tau\left(a_{i}\right)
\end{array}\right), \\
p=2 s: \mathrm{A}_{i, i+1-p}=\mathrm{A}_{i}=\left(\begin{array}{cc}
0 & a_{i} \\
\tau\left(a_{i}\right) & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где коэффициенты $a_{i}, b_{i}$ – комплеконые числа и $\tau(a)=$ $=\bar{a}$. Уравнение (1.31) является следствием уравнений
\[
\dot{\mathrm{A}}=[\mathrm{A}, \mathrm{B}], \quad \mathrm{B}=-\sum_{j=0}^{p-1} \mathrm{~K}^{p-1-j} \mathrm{AK}^{j}, \quad \dot{\mathrm{K}}=0 .
\]

Из формул (1.32), (1.33) получаем
\[
\mathbf{B}_{i}=-\sum_{j=0}^{p-1} k^{p-1-j} A_{i+p-1-j} k^{j}, \quad b_{i}=-\sum_{k=0}^{p-1} \tau^{k}\left(a_{i+k}\right) .
\]

Первое уравнение (1.33) после подстановки формул (1.34) принимает вид динамической системы
\[
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} \tau^{k}\left(a_{i+k}\right)-\sum_{k=1}^{p-1} \tau^{k}\left(a_{i-k}\right)\right) .
\]

Следствие 1. Динамическая система (1.35) допускает представление Лакса (1.31), (1.32) со спектральным параметром и имеет поэтому набор первых интегралов $I_{m}=\operatorname{Tr}(\mathrm{A}+\mathrm{K} E)^{m}$.