I. Интегрируемая система Вольтерра определяется уравнениями
$${\dot{a}}_i=a_i(a_{i+1}-a_{i-1}).$$

Одним из важнейших свойств системы Вольтерра является то, что в континуальном пределе уравнения (1.1) переходят в уравнение Кортевега — де Фриза
$$u_t=6u{u}_x-u_{xxx}$$

и тем самым являются его интегрируемой дискретизацией.

Теорема 1. При любом целом $p⩾2$ динамическал систела
$$a_i=a_i(\sum _{k=1}^{p-1}{a}_{i+k}-\sum _{k=1}^{p-1}{a}_{i-k})$$

допускает представление Лакса с произвольным спектральным параметром и в континуальном пределе переходит в уравнение КдФ (1.2).

Доказательство. Рассмотрим уравнение Јакса $\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$ вида
$$(a+mE{)}^{\cdot }=[a+mE,-b-m^{p}E],$$

где $E$ — произвольпый параметр, матрицы $a$ и $k$ имеют только один непулевой элемент в каждой строке и каждом столбце, которые определяются формулами
$$a_{i,i+1-p}=a_i,m_{i,i+1}=1.$$

Уравнение (1.4) эквивалентно системе трех матричных уравнений (коэффициенты при степенях спектрального параметра $E$ ):
$E^0:\dot{a}=-[a,b],E^1:[m,b]=[m^p,a]$,
$$E^2:[m,m^p]\equiv 0.$$

Второе уравнепие (1.6) удовлетворено, если матрица $b$ имеет вид
$$b=\sum _{j=0}^{p-1}{m}^{p-1-j}a{m}^j.$$

При этом в силу (1.5) матрица $b$ является диагональной со следующими ненулевыми элементами:
$$b_{ii}=b_i=a_i+a_{i+1}+\dots +a_{i+p-1}.$$

Первое уравнение (1.6) эквивалентно уравнениям ${\dot{a}}_i=$ $=a_i(b_i-b_{i+1-p})$, которые после подстановки формул (1.8) принматот вид (1.3). Поэтому динамическая система (1.3) эквивалентна уравнепию Лакса (1.4), (1.5), (1.7).

Для получения континуалыпого предела динамической системы (1.3) предположим, что справедтивы равенства
$$a_j(t)=1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j),x_j=j\epsilon ,$$

где $u(t,x)$ — некоторая гладкая функция. Система (1.3)

после подстановки (1.9) переходит в систему
$$\begin{array}{l}-{\epsilon }^2\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_j)=(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j))(\sum _{k=1}^{p-1}(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j+k\epsilon ))-\\ -\sum _{k=1}^{p-1}(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j-k\epsilon ))).\end{array}$$

После подстановти разложения фупкции $u(t,x_j\pm k\epsilon )$ в ряд Тейлора в точке $(t,x_j)$ находим $(\mu =\frac{1}{3}\sum _{h=1}^{p-1}{k}^3)$
$$u_t=\epsilon p(p-1)u_x+{\epsilon }^2(-p(p-1)u{u}_x+\mu u_{xxx})+O\left({\epsilon }^5\right).$$

Уравнение (1.11) после перехода $\kappa$ новым переменшым $t^{\prime }=t,x^{\prime }=x+p(p-1)\epsilon t$ принимает вид
$$\frac{\partial u}{\partial t^{\prime }}={\epsilon }^2(-p(p-1)u\frac{\partial u}{\partial x^{\prime }}+\mu \frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3})+O\left({\epsilon }^5\right).$$

После замены переменных
$$\tau =-{\epsilon }^{3}x{t}^{\prime },x=\sigma x^{\prime },\sigma =(p(p-1)/6\mu {)}^{1/2},x=\mu {\sigma }^3$$

и перехода к пределу $\epsilon \to 0$ уравнение (1.12) преобразуется в уравнение Кортевега — де Фриза $u_{\tau }=6u{u}_x-u_{xxx}$. Теорема 1 доказана.

Динамическую систему (1.3) можпо представить в виде
$${\dot{a}}_k=a_k(\int T_{k{k}^{\prime }}{a}_{k^{\prime }}d{k}^{\prime }),$$

где ядро $T_{h{k}^{\prime }}$ аштисимметрично и определяется формулами
$$T_{k{k}^{\prime }}=\sum _{s=1}^{p-1}(\delta (k-k^{\prime }+s)-\delta (k-k^{\prime }-s)).$$

Поэтому система (1.3) является кинетическим уравнением, описывающим перенос энергии ленгмюровских колебаний в случае, когда спектр (в $k$-пространстве) имеет струйную структуру [43].
II. Важным следствием представления Лакса (1.4) для спстемы (1.3) является существование первых интегралов этой системы
$$I_n=\mathrm{Tr}(a+mE{)}^{np},n=1,2,\dots$$

Простое вычисление приводит к следующим формулам:
$$I_{k+1}=\sum _{i=1}^n\sum _{s_1,\dots ,s_k}C(s)\prod _{m=0}^h{a}_{i-mr+s_1+\dots +s_m},$$

где $s_i⩾0,s_0=0,C(s)=(k+1)r+1-s_1-\dots -s_k,s_1+\dots$ $\dots +s_k⩽(k+1)r$. Интегралы $I_k$ определены при условиях: 1) периодичности, $a_i\equiv a_{i+n}$;2) непериодичности, при $a_k=0$ для $k⩽p-1$ и $k>n$. Интеграл $I_k(a)$ является однородным многочленом степени $k$. Разумеется, между иптегралами $I_k(k=1,2,\dots )$ имеются некоторые функциональные соотношения. Простейший интеграл $I_1$ имеет вид $I_1=\sum _{i=1}^n{a}_i$. В периодическом случае имеется еще один шервый интеграл $J_1=\prod _{i=1}^n{a}_i$.

С динамической системой (1.3) в периодическом случае $(a_{i+n}\equiv a_i$ ) связана риманова поверхность $\mathrm{\Gamma }$, определенная уравнением
$$R(E,w)=\det (a(t)+mE-w\cdot 1)=0.$$

Коэффициенты уравнения (1.15) тажже являются первыми интегралами динамической системы (1.3).
III. Укажем гамильтонову структуру динамических систем (1.3). После замены переменных $a_i=\exp u_i$ система (1.3) принимает вид
$${\dot{u}}_i=\sum _{h=1}^{p-1}\exp u_{i+k}-\sum _{k=1}^{p-1}\exp u_{i-k}=\sum I_{im}\frac{\partial H}{\partial u_m},$$

где $H=\sum _m\exp u_m$. Оператор $I_{im}$ является кососимметрическим и имеет следующие ненулевые компоненты:
$$I_{i,i+k}=1,I_{i,i-k}=-1,k=1,2,\dots ,p-1.$$

В силу представления (1.16) динамическая система (1.3) является гамильтоновой с гамильтонианом $H$. По-видимому, интегралы $I_h$ (1.14) инволютивны относительно скобок Пуассона $\{F,G\}=\sum _{i,m}{I}_{im}\frac{\partial F}{\partial u_i}\frac{\partial G}{\partial u_m}$, и система является вполле интегрируемой по Лиувиллю. Из представления Лакса (1.4) со спектральным параметром $E$ следует пнтегрируемость системы (1.3) в периодическом случае $a_{i+n}\equiv a_i$ в тэта-функциях римановой поверхности $\mathrm{\Gamma }$ (1.15).

IV. Динамические системы (1.3) входят в общий класс систем, выделенных В. Вольтерра в математической теории борьбы за существование биологических видов [23]. При этом величина $a_k(t)$ является численностью популяции $k$-го вида (или ее плотностью); предполагается, что пищей для $i$-го вида являются особи видов $i+1,i+2,\dots ,i+p-1$.

В работе [46] рассматривался, независимо от работ $[12,21,47]$, спедиальный случай конечномерных динамических систем (1.3) в периодическом случае $a_{i+n}\equiv a_i$ и при условии $n=2p-1$. В этом случае любые два вида $a_i,a_j$ «взаимодействуют» друг с другом (как хищник и жертва). В работе [46] при $n=2p-1$ с помощью комбинаторных методов найдены формулы для $p$ первых интегралов рассматриваемой динамической системы. Формулы (1.14) в специальном случае $n=2p-1$ отличаются от формул первых интегралов, полученных в работе [46]. В частности, все первые интегралы, указанные в работе [46], имеют нечетные степени $a_j:1,3,\dots ,2p-1$. Совпадают только первые интегралы $I_1$ и $J_1$.
V. Рассмотрим задачу рассеяния, связанную с уравнением Ланса (1.4) гри $E=1$ и динамической системой (1.3). Предположим, что функции $a_j(t)$ имеют асимптотику $a_j(t)\to 1$ при $j\to \pm \mathrm{\infty }$. Собственные функции $\phi (k,t)$ оператора $\mathrm{L}(t,1)=a+m$ (1.4) удовлетворяют уравнению
$$\begin{array}{rl}(\mathrm{L}\phi (k,t){)}_n=a_n\phi (k,t{)}_{n+1-p}+\phi (k,t{)}_{n+1}& =\\ & =k\phi (k,t{)}_n,\end{array}$$

где $k\in \mathbb{C}-$ спектральный параметр. Линейное пространство решений уравнений (1.18) имеет размерность p. Выделим в этом пространстве два базиса собственных функций ${\phi }_i(k,t)$ и ${\psi }_i(k,t)$, которые имеют следующие асимштотики при $n\to \pm \mathrm{\infty }$ :
$$\begin{array}{ll}{({\phi }_i(k,t))}_n=z_i^n,& n\to -\mathrm{\infty },\\ {({\psi }_j(k,t))}_n=z_j^n,& n\to +\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Числа $z_i(k),z_j(k)$ являются корнями уравнения
$$z^p-k{z}^{p-1}+1=0.$$

Два базиса собственных функций ${\phi }_i(k,t),{\psi }_j(k,t)$ связаны линейным соотношением
$${\phi }_i(k,t)=\sum _{j=1}^p{B}_{ij}(k,t){\psi }_j(k,t).$$

Матрица ${\mathrm{B}}_{ij}(k,t)$ называется матрицей рассеяния.

Покажем, что функции ${\phi }_i(k,t)$ п ${\psi }_i(k,t)$ удовлетворяют уравнению
$${\dot{\phi }}_i+\mathrm{A}{\phi }_i=-(p+z^p){\phi }_i,\mathrm{A}=-b-m^p.$$

Действительно, из уравнения Лакса, как известно, следует уравнение
$$\mathrm{L}({\dot{\phi }}_i(k,t)+\mathrm{A}{\phi }_i(k,t))=k(\dot{{\phi }_i}(k,t)+\mathrm{A}{\phi }_i(k,t)),$$

в силу которого функция $\phi ={\phi }_i+A{\phi }_i$ является собственной функцией оператора $L$ и поэтому имеет представление в виде $\phi =c_1{\phi }_1+\dots +c_p{\phi }_p$. В силу асимптотики (1.19) имеем
$${({\dot{\phi }}_i+A{\phi }_i)}_n={\left({\dot{\phi }}_i\right)}_n-b_{nn}{\left({\phi }_i\right)}_n-{\left({\phi }_i\right)}_{n+p}=-(p+z_i^p){\left({\phi }_i\right)}_n.$$

Поэтому $c_j=-(p+z_i^p){\delta }_{ij}$, и уравнение (1.22) доказано.

Подставим соотношения (1.21) в уравнения (1.22), получим равенства
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^p({\dot{\mathrm{B}}}_{ij}(k,t)-(p+z_j^p){\mathrm{B}}_{ij}){\psi }_j(k,t)=& \\ =& -(p+z_i^p)\sum _{j=1}^n{\mathrm{B}}_{ij}\psi (k,t).\end{array}$$

Отсюда находим уравнения, определяющие динамику комнонент $B_{ij}(k,t)$ :
$${\dot{\mathrm{B}}}_{ij}(k,t)=(z_j^p-z_i^p){\mathrm{B}}_{ij}(k,t).$$

Поэтому динамика компонент матрицы рассеяния полностью интегрируется:
$${\mathbf{B}}_{ij}(k,t)={\mathbf{B}}_{ij}(k,0)\exp \left((z_j^p-z_i^p)t\right).$$

Очевидно, справедливы соотношения
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{B}}_{ii}(k,t)& ={\mathrm{B}}_{ii}(k,0),\\ {\mathrm{B}}_{ij}(k,t){\mathrm{B}}_{ji}(k,t)& ={\mathrm{B}}_{ij}(k,0){\mathrm{B}}_{ji}(k,0).\end{array}$$

Решение оистемы уравнений (1.3) по методу обратной задачи рассеяния состоит из трех этапов:
$$a_n(0)\stackrel{\mathrm{I}}{\to }{\mathrm{B}}_{ij}(k,0)\stackrel{\mathrm{II}}{\to }{\mathrm{B}}_{ij}(k,t)\stackrel{\mathrm{III}}{\to }{a}_n(t).$$

Этап I состопт в пахождении начальных дапных рассеяния по известной начальной матриде $\mathrm{L}(0)$, т. е. сводится к решению задачи на собственные значения для бесконечной матрицы L. Этап II заключается в исследовании динамики компонент матрицы рассеяния. Решение этой задачи получено выше и определяется формулами (1.26). Этап III состоит в восстановлении коэффициентов $a_n(t)$ по найденным данным рассеяния ${\hat{B}}_{ij}(k,t)$. Эта задача, видимо, будет исследована в дальнейшем. Заведомо ясно, что полная матрица расісеяния ${\mathrm{B}}_{ij}(k,t)$, зависящая от произвольного комплексного параметра $k$, содержит избыточную информацию. Если ограничиться вещественными значениями параметра $k$, то множество корней уравнения (1.20) разбивается на пары комплексно сопряженных корпей и между коэффициентами ${\mathrm{B}}_{ij}(k,t)$ появляются тождественные соотношения. Лишь при исключительном значении параметра $k=0$ все решения уравнений (1.18) являются ограниченными при $n\to$ $\to \pm \mathrm{\infty }$, т. е. все корни $z_i$ уравнения (1.20) удовлетворяют условию $\left|z_i\right|=1$; при этом $z_i^p=-1$.
VI. Динамическая система (1.3) допускает еще одно представление Лакса со спектральыым параметром, не эквивалентное представлению (1.4). Пусть матрицы $\mathrm{L}(t,E)$ и $\mathrm{A}(t,E)$ имеют следующие ненулевые компоненты:
$$\begin{array}{ll}{\mathrm{L}}_{i,i+p}=-E^p{a}_i^{-1},& {\mathrm{L}}_{i,i+p-1}=-E^{p-1}{a}_i^{-1},\\ {\mathrm{A}}_{i,i+p}=E^p{a}_i^{-1}\sum _{k=1}^{p-1}{a}_{i-k},& {\mathrm{A}}_{i,i+p-1}=E^{p-1}{a}_i^{-1}\sum _{k=0}^{p-1}{a}_{i-k}.\end{array}$$

Система (1.3) эквивалентна второму матричному уравнению со спектральным параметром $E$, имеющему вид
$$\dot{\mathrm{L}}\mathrm{L}=[\mathrm{L},\mathrm{A}]\text{, }$$

где компоненты матриц $\mathrm{L}(t,E)$ и $\mathrm{A}(t,E)$ определены формулами (1.29). Уравнение (1.30) имеет набор перівх интегралов $I_k=\mathrm{Tr}(\mathrm{L}(t,E){)}^k,k=1,2,\dots$, поэтому собственные числа матрицы $\mathrm{L}(t,E)$ являются первыми интегралами динамической системы (1.3). В случае обратимых матриц $L$ уравнение (1.30) эквивалентно уравнению $\mathrm{L}=[\mathrm{L},{\mathrm{AL}}^{-1}]$. При этом матрица ${\mathrm{AL}}^{-1}$ имеет весьма сложную структуру: все ее элементы, вообще говоря, являются ненулевыми.
VII. Динамическая система (1.3) допускает представление Лакса (1.4), (1.30) как в случае вещественных, так и в случае комплексных переменных $a_i(t)$. Укажем аналог системы (1.3) в случае комплексных переменных $a_i(t)$, также допускающий представление изоспектральной деформации.
Рассмотрим уравнение Лакса
$$(\mathrm{A}+\mathrm{KE}{)}^{\cdot }=[\mathrm{A}+\mathrm{K}E,\mathrm{B}-{\mathrm{K}}^{p}E],$$

где матрицы $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{K}$ имеют размер $n\times n$ и их ненулевые матричные әлементы являются двумерными блоками следующего вида:
$$\begin{array}{c}{\mathrm{K}}_{i,i+1}=k=\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\mathrm{B}}_{ii}={\mathrm{B}}_i=\left(\begin{array}{cc}{b}_i& 0\\ 0& \tau \left(b_i\right)\end{array}\right),\\ p=2s+1:{\mathrm{A}}_{i,i+1-p}=\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}{a}_i& 0\\ 0& \tau \left(a_i\right)\end{array}\right),\\ p=2s:{\mathrm{A}}_{i,i+1-p}={\mathrm{A}}_i=\left(\begin{array}{cc}0& a_i\\ \tau \left(a_i\right)& 0\end{array}\right),\end{array}$$

где коэффициенты $a_i,b_i$ — комплеконые числа и $\tau (a)=$ $=\overline{a}$. Уравнение (1.31) является следствием уравнений
$$\dot{\mathrm{A}}=[\mathrm{A},\mathrm{B}],\mathrm{B}=-\sum _{j=0}^{p-1}{\mathrm{K}}^{p-1-j}{\mathrm{AK}}^j,\dot{\mathrm{K}}=0.$$

Из формул (1.32), (1.33) получаем
$${\mathbf{B}}_i=-\sum _{j=0}^{p-1}{k}^{p-1-j}{A}_{i+p-1-j}{k}^j,b_i=-\sum _{k=0}^{p-1}{\tau }^k\left(a_{i+k}\right).$$

Первое уравнение (1.33) после подстановки формул (1.34) принимает вид динамической системы
$${\dot{a}}_i=a_i(\sum _{k=1}^{p-1}{\tau }^k\left(a_{i+k}\right)-\sum _{k=1}^{p-1}{\tau }^k\left(a_{i-k}\right)).$$

Следствие 1. Динамическая система (1.35) допускает представление Лакса (1.31), (1.32) со спектральным параметром и имеет поэтому набор первых интегралов $I_m=\mathrm{Tr}(\mathrm{A}+\mathrm{K}E{)}^m$.