I. В данном парағрафе уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.3), (2.9), рассматриваемые на инвариантных двумерных торах, определенных постоянными значениями интегралов $J_{1}, J_{2}, J_{3}=0, J_{4}$, интегрируются явно в эллиптических функциях времени. Конструкция координат $s_{1}$, $s_{2}$ навеяна классической работой С. А. Чаплыгина [108], посвященной уравнениям Кирхпофа.

При условиях (2.3) интеграл $J_{4}(2.5)$ принимает только неотридательные значения $J_{4}=h^{2}$ и при $n_{i}=x=1$ (SO(V) имеет вид
\[
\begin{array}{r}
J_{4}=\left(\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{1}^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right) M_{2}^{2}+\left(b_{1}-b_{3}\right) K_{3}^{2}\right)^{2}+ \\
+4\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right) M_{1}^{2} M_{2}^{2} .
\end{array}
\]

Координаты $s_{1}$ п $s_{2}$ при $h>0$ определим формулами
\[
u=\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{1}^{2}+\left(a_{3}-a_{2}\right) M_{2}^{2}, v=\left(b_{1}-b_{3}\right) K_{3}^{2}, s=a_{3} M_{3}^{2} .
\]

Отспода получаем:
\[
v=2 h /\left(s_{1}-s_{2}\right), \quad u=\left(s_{1}+s_{2}\right) h /\left(s_{1}-s_{2}\right) .
\]

Укажем явное выражение координат $M_{i}, K_{j}$ через координаты $s_{1}, s_{2}$ и константы $J_{k}$. В силу (3.1) пмеем:
\[
u^{2}+2\left(\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{1}^{2}-\left(a_{3}-a_{2}\right) M_{2}^{2}\right) v+v^{2}=h^{2} .
\]

Отсюда и из (3.2) находим:
\[
\begin{array}{l}
2\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{1}^{2}=\left(h^{2}-(u-v)^{2}\right) / 2 v, \\
2\left(a_{3}-a_{2}\right) M_{2}^{2}=\left((u+v)^{2}-h^{2}\right) / 2 v .
\end{array}
\]

Подставляя в (3.4) и (3.2) формулы (3.3), получаем выражения для координат $M_{1}, M_{2}, K_{3}$ через $s_{1}, s_{2}, h$ :
\[
\begin{aligned}
\left(2\left(a_{3}-a_{1}\right)\right)^{1 / 2} M_{1} & =\left(\frac{h\left(1-s_{2}\right)\left(s_{1}-1\right)}{s_{1}-s_{2}}\right)^{1 / 2}, \\
\left(2\left(a_{3}-a_{2}\right)\right)^{1 / 2} M_{2} & =\left(\frac{h\left(s_{1}+1\right)\left(s_{2}+1\right)}{s_{1}-s_{2}}\right)^{1 / 2}, \\
\left(b_{1}-b_{2}\right)^{1 / 2} K_{3} & =-2\left(h /\left(s_{1}-s_{2}\right)\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Перейдем к нахождению выражений координат $K_{1}, K_{2}$, $M_{3}$ через значения интегралов $J_{i}$ и $s_{1}, s_{2}$. Подставляя выражения (3.2) для $M_{3}, K_{3}$ через $v$ и $s$ и выражения (3.4) в интегралы $J_{1}, J_{2}$ (1.5), получаем:
\[
\begin{aligned}
\left(b_{1}-b_{2}\right) K_{1}^{2} & =-u-v+J_{1}-b_{2} J_{2}+ \\
& +\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{3}-a_{2}}\right) \frac{(u+v)^{2}-h^{2}}{2 v}-\frac{2\left(a_{3}-a_{1}\right)}{a_{3}} s, \\
\left(b_{1}-b_{2}\right) K_{2}^{2}= & u-v-J_{1}+b_{1} J_{2}+ \\
& +\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{a_{3}-a_{1}}\right) \frac{h^{2}-(u-v)^{2}}{2 v}+\frac{2\left(a_{3}-a_{2}\right)}{a_{3}} s .
\end{aligned}
\]

Таким образом, остается ғайти выражение для $s$ через $s_{1}$, $s_{2}, J_{k}$. Отметим, что из интеграла $J_{3}=0$ (1.5) следует:
\[
M_{3}^{4} K_{3}^{4}-2\left(M_{1}^{2} K_{1}^{2}+M_{2}^{2} K_{2}^{2}\right) M_{3}^{2} K_{3}^{2}+\left(M_{1}^{2} K_{1}^{2}-M_{2}^{2} K_{2}^{2}\right)^{2}=0 .
\]

Подставляя в (3.7) полученные выше выражения, находим, что переменная $s$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{4 h^{2} v^{2}}{a_{3}^{2}} s^{2}-\frac{2 v}{a_{3}} P s+\frac{Q^{2}}{4}=0
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\gamma P=\left(h^{2}-u^{2}-v^{2}\right)\left(X_{1}-X_{2}-h^{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)\right)+ \\
+2 u v\left(X_{1}+X_{2}-h^{2}\left(2 a_{3}-a_{1}-a_{2}\right)\right), \\
\gamma Q=\left(h^{2}-u^{2}-v^{2}\right)\left(Y_{1}+Y_{2}\right)+2 u v\left(Y_{1}-Y_{2}\right), \\
X_{1}=\left(a_{3}-a_{2}\right)(u+v)\left(J_{1}-b_{2} J_{2}\right) \\
X_{2}=\left(a_{3}-a_{1}\right)(u-v)\left(J_{1}-b_{1} J_{2}\right) \\
Y_{1}=\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(-u-v+J_{1}-b_{2} J_{2}\right) \\
Y_{2}=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(u-v-J_{1}+b_{1} J_{2}\right) \\
\gamma=2\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right) .
\end{array}
\]

Из уравнения (3.8) находим:
\[
4 h^{2} v s / a_{3}=P \pm\left(P^{2}-h^{2} Q^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Отсюда получаем $\left(s / a_{3}=M_{3}^{2}\right)$ :
\[
2 h(2 v)^{1 / 2} M_{3}=(P+h Q)^{1 / 2} \pm(P-h Q)^{1 / 2} .
\]

Используя формулы (3.9), находим:

где
\[
\begin{array}{l}
\gamma(P-h Q)=\left((h-u)^{2}-v^{2}\right)\left(\alpha_{1} v-\beta_{1}(u+h)\right), \\
\gamma(P+h Q)=\left((h+u)^{2}-v^{2}\right)\left(\alpha_{2} v-\beta_{2}(u-h)\right),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}=m_{1}\left(J_{1}+h\right)-m_{2} J_{2}, \quad \alpha_{2}=m_{1}\left(J_{1}-h\right)-m_{2} J_{2} \\
\beta_{1}=\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(J_{1}+h\right)-m_{3} J_{2}, \quad \beta_{2}=\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(J_{1}-h\right) m_{3} J_{2}, \\
m_{1}=2 a_{3}-a_{1}-a_{2}, \quad m_{2}=\left(a_{3}-a_{2}\right) b_{2}+\left(a_{3}-a_{1}\right) b_{1} \\
m_{3}=\left(a_{3}-a_{2}\right) b_{2}-\left(a_{3}-a_{1}\right) b_{1} .
\end{array}
\]

После подстановки (3.12) в формулу (3.11) и пспользования соотношений (3.2) получаем:
\[
\begin{array}{l}
M_{3}=\left(\left(s_{1}^{2}-1\right)\left(\alpha_{2}-\beta_{2} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}+ \\
\left.\quad+\left(\left(s_{2}^{2}-1\right)\left(\alpha_{1}-\beta_{1} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}\right) /\left(s_{1}-s_{2}\right)(2 \gamma)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Отсюда получаем выражение для велитины $s$.
После подстановки в формулы (3.6) обозначений (3.13) для $\alpha_{i}, \beta_{i}$ находим:
\[
\left(b_{1}-b_{2}\right) K_{1}^{2}=\frac{\left(\beta_{1} s_{1}-\alpha_{1}\right)\left(s_{2}+1\right)-\left(\beta_{2} s_{2}-\alpha_{2}\right)\left(s_{1}+1\right)}{2\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(s_{1}-s_{2}\right)}-\frac{2\left(a_{3}-a_{1}\right)}{a_{3}} s,
\]
\[
\left(b_{1}-b_{2}\right) K_{2}^{2}=\frac{\left(\beta_{1} s_{1}-\alpha_{1}\right)\left(1-s_{2}\right)+\left(\beta_{2} s_{2}-\alpha_{2}\right)\left(s_{1}-1\right)}{2\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(s_{1}-s_{2}\right)}+\frac{2\left(a_{3}-a_{2}\right)}{a_{3}} s .
\]

Подставляя в (3.15) величину $s / a_{3}=M_{3}^{2}$, в силу (3.14) находим:
\[
\begin{array}{l}
\left(b_{1}-b_{2}\right)^{1 / 2} K_{1}=\left(2\left(a_{3}-a_{2}\right)\right)^{-1 / 2}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\left(\left(\left(1+s_{1}\right) \times\right.\right. \\
\left.\left.\times\left(1-s_{2}\right)\left(\alpha_{2}-\beta_{2} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}-\left(\left(1-s_{1}\right)\left(1+s_{2}\right)\left(\alpha_{1}-\beta_{1} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}\right), \\
\left(b_{1}-b_{2}\right)^{1 / 2} K_{2}=\left(2\left(a_{3}-\bar{a}_{1}\right)\right)^{-1 / 2}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\left(\left(\left(1+s_{1}\right) \times\right.\right. \\
\left.\left.\times\left(s_{2}-1\right)\left(\alpha_{1}-\beta_{1} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}+\left(\left(s_{1}-1\right)\left(1+s_{2}\right)\left(\alpha_{2}-\beta_{2} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, формулы (3.5), (3.14) п (3.16) дают выражение всех координат $M_{i}, K_{j}$ через координаты $s_{1}, s_{2}$ и постоянные $J_{1}, J_{2}, J_{4}=h^{2}$ (на уровне $J_{3}=0$ ). Отметим, что в этих формулах допускается одновременное изменение знака у каждой пары координат $M_{i}, K_{i}$.

Перейдем к преобразованию уравнений Эйлера (1.3) в координаты $s_{1}, s_{2}$. Продифференцировав выражения $s_{1}$, $s_{2}$ (3.2) в силу системы (1.3), получим:
\[
\dot{s}_{1} / 2=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(s_{1}+1\right) M_{1} K_{2} / K_{3}+\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(1-s_{1}\right) M_{2} K_{1} / K_{3},
\]
\[
\dot{s}_{2} / 2=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(s_{2}+1\right) M_{1} K_{2} / K_{3}+\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(1-s_{2}\right) M_{2} K_{1} / K_{3} .
\]

После подстановки в уравнения (3.17) выражений (3.5), (3.16) для координат $M_{i}, K_{j}$ получаем два замкнутых уравнения
\[
\dot{s}_{1}=-\left(\left(1-s_{1}^{2}\right)\left(\alpha_{1}-\beta_{1} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}, \dot{s}_{2}=-\left(\left(1-s_{2}^{2}\right)\left(\alpha_{2}-\beta_{2} s_{2}\right)\right)^{1 / 2} .
\]

В силу уравнений (3.18) $s_{i}(t)$ являются эллиптическими функциями времени $t$. Подставляя $s_{i}(t)$ в формулы (3.5), (3.14), (3.16), получаем явное выражение динамики уравнений Эйлера (1.3) через эллиптические функции. Вырожденный случай $J_{4}=0$ интегрируется в элементарных функциях.
II. Проведем интегрирование уравнений Эйлера (1.3) при условиях (2.9): $b_{i}=\left(a_{j}+a_{k}\right) / 2$. Интеграл $J_{4}$ имеет вид:
\[
\begin{aligned}
J_{4}=h^{2}=\left(\left(a_{3}-a_{2}\right) K_{1}^{2}\right. & \left.+\left(a_{1}-a_{3}\right) K_{2}^{2}+\left(a_{1}-a_{2}\right) K_{3}^{2}\right)^{2}+ \\
& +4\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right) K_{1}^{2} K_{2}^{2} .
\end{aligned}
\]

Введем кординаты $s_{1}, s_{2}$ :
\[
\begin{array}{ll}
s_{1}=(u+h) / v, & s_{2}=(u-h) / v, \\
u=\left(a_{3}-a_{2}\right) K_{1}^{2}+\left(a_{3}-a_{1}\right) K_{2}^{2}, & v=\left(a_{1}-a_{2}\right) K_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Так же как и в п. I, найдем выражение координат $M_{i}$, $K_{j}$ через координаты $s_{1}, s_{2}$ и константы $J_{k}$. Используя (3.19), получаем:
\[
\begin{array}{l}
2\left(a_{3}-a_{2}\right) K_{1}^{2}=\left(h^{2}-(u-v)^{2}\right) / 2 v, \\
2\left(a_{3}-a_{1}\right) K_{2}^{2}=\left((u+v)^{2}-h^{2}\right) / 2 v .
\end{array}
\]

Подставляя сюда выражения $u, v$ через $s_{1}, s_{2}$ (3.3), находим:
\[
\begin{aligned}
\left(2\left(a_{3}-a_{2}\right)\right)^{1 / 2} K_{1} & =\left(h\left(1-s_{2}\right)\left(s_{1}-1\right)\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\right)^{1 / 2} \\
\left(2\left(a_{3}-a_{1}\right)\right)^{1 / 2} K_{2} & =\left(h\left(s_{1}+1\right)\left(s_{2}+1\right)\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\right)^{1 / 2} \\
\left(a_{1}-a_{2}\right)^{1 / 2} K_{3} & =-\left(2 h\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Обозначим $s=a_{3} M_{3}^{2}$; из формул (1.5) после подстановки (3.20) – (3.21) получаем:
\[
\begin{aligned}
\left(a_{1}-a_{2}\right) M_{1}^{2}= & J_{1}-a_{2} J_{2}-\frac{u+v}{2}- \\
& -\frac{\left(a_{1}-a_{2}\right)}{2\left(a_{3}-a_{1}\right)}\left(\frac{(u+v)^{2}-h^{2}}{2 v}\right)-\frac{a_{3}-a_{2}}{a_{3}} s, \\
\left(a_{1}-a_{2}\right) M_{2}^{2}= & -J_{1}+a_{1} J_{2}+\frac{u-v}{2}- \\
& -\frac{a_{1}-a_{2}}{2\left(a_{3}-a_{2}\right)}\left(\frac{h^{2}-(u-v)^{2}}{2 v}\right)-\frac{a_{1}-a_{3}}{a_{3}} s .
\end{aligned}
\]

Подставив полученные выражения координат $M_{i}, K_{j}$ в уравнение (3.7) ( $\left.J_{3}=0\right)$, получаем уравнение для определения $s$ :
\[
\frac{4 v^{2} h^{2}}{a_{3}^{2}} s^{2}-\frac{2 v s}{a_{3}} P_{1}+\frac{Q_{1}^{2}}{4}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1} P_{1}=\left(h^{2}-u^{2}-v^{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}+h^{2}\left(a_{1}-a_{2}\right) / 2\right)+ \\
+2 u v\left(x_{1}-x_{2}-h^{2}\left(2 a_{3}-a_{1}-a_{2}\right) / 2\right), \\
\gamma_{1} Q_{1}=\left(h^{2}-u^{2}-v^{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)+2 u u\left(y_{1}-y_{2}\right), \\
x_{1}=\left(a_{3}-a_{1}\right)(u+v)\left(J_{1}-a_{2} J_{2}\right) \\
x_{3}=\left(a_{3}-a_{2}\right)(u-v)\left(a_{1} J_{2}-J_{1}\right), \\
y_{1}=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(J_{1}-a_{2} J_{2}-(u+v) / 2\right), \\
y_{2}=\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(a_{1} J_{2}-J_{1}+(u-v) / 2\right) \\
\gamma_{1}=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right) .
\end{array}
\]

Из уравнения (3.24) получаем:
\[
4 v h^{2} s / a_{3}=P_{1} \pm\left(P_{1}^{2}-h^{2} Q_{1}^{2}\right)^{1 / 2},
\]

и, после подстановки $M_{3}^{2}=s / a_{3}$, находим:
\[
2(2 v)^{1 / 2} h M_{3}=\left(P_{1}+h Q_{1}\right)^{1 / 2} \pm\left(P_{1}-h Q_{1}\right)^{1 / 2} .
\]

Из формул (3.25) следует
\[
\begin{array}{l}
P_{1}-h Q_{1}=\left((u-h)^{2}-v^{2}\right)\left(v \alpha_{1}^{0}-(u+h) \beta_{1}^{0}\right) / \gamma_{1}, \\
P_{1}+h Q_{1}=\left((u+h)^{2}+v^{2}\right)\left(v \alpha_{2}^{0}-(u-h) \beta_{2}^{0}\right) / \gamma_{1},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{1}^{0}=\left(J_{1}+h / 2\right) n_{1}+J_{2} n_{2}, & \alpha_{2}^{0}=\left(J_{1}-h / 2\right) n_{1}+J_{2} n_{2}, \\
\beta_{1}^{0}=\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(J_{2} a_{3}-J_{1}-h / 2\right), & \beta_{2}^{0}=\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(J_{2} a_{3}-J_{1}+h / 2\right), \\
n_{1}=2 a_{3}-a_{1}-a_{2}, & n_{2}=2 a_{1} a_{2}-a_{3}\left(a_{1}+a_{2}\right) .
\end{array}
\]

Используя формулы (3.3), преобразуем (3.26) к виду
\[
\begin{aligned}
M_{3}= & \left(\left(s_{1}^{2}-1\right)\left(\alpha_{2}^{0}-\beta_{2}^{0} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}+ \\
& \left.\quad+\left(\left(s_{2}^{0}-1\right)\left(\alpha_{1}^{0}-\beta_{1}^{0} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}\right) /\left(s_{1}-s_{2}\right)\left(2 \gamma_{1}\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Іосле подстановки соответствующего выражения для $s=$ $=a_{3} M_{3}^{2}$ в (3.23) получаем:
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{1}-a_{2}\right)^{1 / 2} M_{1}=\left(2\left(a_{3}-a_{1}\right)\right)^{-1 / 2}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\left(\left(\left(1+s_{1}\right) \times\right.\right. \\
\left.\left.\times\left(1-s_{2}\right)\left(\alpha_{2}^{0}-\beta_{2}^{0} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}-\left(\left(1-s_{1}\right)\left(1+s_{2}\right)\left(\alpha_{1}^{0}-\beta_{1}^{0} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}\right) .
\end{array}
\]
\[
\left(a_{1}-a_{2}\right)^{1 / 2} M_{2}=\left(2\left(a_{3}-a_{2}\right)\right)^{-1 / 2}\left(s_{1}-s_{2}\right)^{-1}\left(\left(\left(1+s_{1}\right) \times\right.\right.
\]
\[
\left.\left.\times\left(s_{2}-1\right)\left(\alpha_{1}^{0}-\beta_{1}^{0} s_{1}\right)\right)^{1 / 2}+\left(\left(s_{1}-1\right)\left(s_{2}+1\right)\left(\alpha_{2}^{0}-\beta_{2}^{0} s_{2}\right)\right)^{1 / 2}\right) \text {. }
\]

Формулы (3.22), (3.29) и (3.30) дают выражение всех координат $M_{i}, K_{j}$ через координаты $s_{1}, s_{2}$ и константы $J_{k}$; знаки каждой пары координат $M_{i}, K_{i}$ можно одновременно изменить на цротивоположные.

Дифференцируя координаты $s_{1}, s_{2}(3.20)$, в силу уравнений Эйлера (1.3) получаем:
\[
\begin{array}{c}
\dot{s}_{1}=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(1-s_{1}\right) M_{1} K_{2} / K_{3}+\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(s_{1}+1\right) M_{2} K_{1} / K_{3}, \\
\dot{s}_{2}=\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(1-s_{2}\right) M_{1} K_{2} / K_{3}+\left(a_{3}-a_{2}\right)\left(s_{2}+1\right) M_{2} K_{1} / K_{3} .
\end{array}
\]

Подставляя в эти уравнения выражения $M_{i}, K_{j}$ через $s_{1}$, $s_{2}$, получаем динамическую систему с разделенными переменными
\[
\begin{array}{l}
\dot{s}_{1}=-\left(\left(1-s_{1}^{2}\right)\left(\alpha_{1}^{0}-\beta_{1}^{0} s_{1}\right) / 2\right)^{1 / 2}, \\
\dot{s}_{2}=-\left(\left(1-s_{2}^{2}\right)\left(\alpha_{2}^{0}-\beta_{2}^{0} s_{2}\right) / 2\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнения Эйлера (1.3) при условиях (2.9) также интегрируются явно в эллиттических функциях времени (см. [155]).