I. Рассмотрим уравнение Лакса (1.1), где матричные операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{L}=i p \partial_{x}+u(t, x, y) \\
\mathrm{A}=-\left(\partial_{y} \mathrm{~L}+\mathrm{L} \partial_{y}\right)+w(t, x, y) .
\end{array}
\]

Здесь $p$ – постоянная диатональная матрица с компонентами $p_{k j}=p_{k} \delta_{k j}, p_{k}
eq p_{j} ; u(t, x, y)$ и $w(t, x, y)$ – неизвестные матрицы размера $n \times n, \partial_{y}$ – некоторый дифференциальный оператор. Справедливы равенства
\[
\begin{array}{c}
{\left[\mathrm{L},-\partial_{y} \mathrm{~L}-\mathrm{L} \partial_{y}\right]=\left(\mathrm{L}^{2}\right)_{y}=i\left(p u_{y}+u_{y} p\right) \partial_{x}+i p u_{x y}+\left(u^{2}\right)_{y}} \\
{[\mathrm{~L}, w]=i(p w-w p) \partial_{x}+i p w_{x}+[u, w] .}
\end{array}
\]

Уравнение (1.1) после подстановки выражений (3.1)(3.3) принимает вид
\[
\begin{aligned}
u_{\imath}=i\left(p u_{y}+u_{y} p+p w-w p\right) \partial_{x} & +i p u_{x y}+ \\
& +i p w_{x}+\left(u^{2}\right)_{y}+[u, w] .
\end{aligned}
\]

Из уравнения (3.4) следует, что коэффициент при операторе $\partial_{x}$ равен нулю. Отсюда получаем соотношепия
\[
w_{k j}=-\frac{p_{k}+p_{j}}{p_{k}-p_{j}}\left(u_{k j}\right)_{y}, \quad k
eq j, \quad p_{k}\left(u_{k k}\right)_{y}=0 .
\]

Далее полатаем, в соответствии со второй группой уравнений (3.5), что величины $u_{k k}=q_{k}$ постоянны и вещественны. Уравнение (3.4) после подстановки формул (3.5) переходит в систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(u_{k k}\right)_{t}=0=i p_{k}\left(w_{k k}\right)_{x}+\sum_{s=1}^{n}\left(\left(u_{k s} u_{s k}\right)_{y}+u_{k s} w_{s k}-w_{k s} u_{s k}\right) \\
\left(u_{k j}\right)_{t}=i p_{k}\left(\left(u_{k j}\right)_{y}+w_{k j}\right)_{x}+\sum_{s=1}^{n}\left(\left(u_{k s} u_{s j}\right)_{y}+u_{k s} w_{s j}-w_{k s} u_{s j}\right) .
\end{array}
\]

Из уравнения (3.6) после подстановки формул (3.5) находим
\[
w_{k k}=2 i \partial_{x}^{-1} \sum_{m
eq k}^{n} \frac{1}{p_{k}-p_{m}}\left(u_{k m} u_{m k}\right)_{y} .
\]

Формулы (3.5) и (3.8) полностью определяют матрицу $w(t, x, y)$ через матрицу $u(t, x, y)$.

Уравнение (3.7) после подстановки выражений (3.5) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left(u_{k j}\right)_{t}= \\
=-i \frac{2 p_{k} p_{j}}{p_{k}-p_{j}}\left(u_{k j}\right)_{x y}+u_{k j}\left(w_{j j}-w_{k k}\right)+\frac{2\left(q_{j} p_{k}-q_{k} p_{j}\right)}{p_{k}-p_{j}}\left(u_{k j}\right)_{y}- \\
\quad-2 \sum_{m
eq k, j}^{n}\left(\frac{p_{j}}{p_{m}-p_{j}} u_{k m}\left(u_{m j}\right)_{y}+\frac{p_{k}}{p_{m}-p_{k}}\left(u_{k m}\right)_{y} u_{m j}\right) \cdot
\end{array}
\]

Таким образом, двумерное матричное уравнение (3.9), (3.8) эквивалентно уравнению Лакса (1.1), (3.1), (3.2).
II. Уравнение (3.9), (3.8) при вещественіы $p_{k}, q_{j}$ имеет инвариантное подмпогообразие эрмитовых матриц $u: u_{k j}=\bar{u}_{j k} ;$ в этом случае матрица $w$, определенная соотношениями (3.5), (3.8) является косоэрмитовой. Для матриц $u, w$ размера $2 \times 2$ указанная конструкция приводит после обозначения $v=u_{21}$ к уравнению, эквивалентному (2.5). При $y \equiv x$ уравнение (3.9), (3.8) является интегрируемым обобщением нелинейного уравнепия Шрёдингера в эрмитовых матрицах $u$ размера $n \times n$.

Уравнение (3.9), (3.8) при чисто мнимых $p_{k}=i b_{k}$ и вещественных $q_{k}$ имеет вещественные решения $u_{k j}(t, x, y)$. В простейшем случае $n=2, q_{1}=q_{2}=0$ уравпение (3.9), (3.8) сводится после замены времени
\[
d \tau / d t=2 b_{1} b_{2} /\left(b_{1}-b_{2}\right)
\]

к системе двух уравнений для вещественных функций $u=u_{12}$ и $v=u_{21}$ :
\[
u_{\tau}=u_{x y}-\beta u \partial_{x}^{-1}(u v)_{y}, \quad v_{\tau}=-v_{x y}+\beta v \partial_{x}^{-1}(u v)_{y},
\]

где $\beta=2 /\left(b_{1} b_{2}\right)$.
Полученную систему двух уравнений (3.10) можно записать так же, как одно уравнение на комплекснозначную функцию $f(t, x, y)=u(t, x, y)+i v(t, x, y)$ :
\[
f_{t}=\bar{f}_{x y}+\frac{1}{4} i \beta \bar{f} \partial_{x}^{-1}\left(f^{2}-\bar{f}^{2}\right)_{y} .
\]

Уравнения (3.10) для функций $u, v$ вида
\[
\begin{array}{l}
u(t, x, y)=w(x, y) \exp (E t), \\
v(t, x, y)=C w(x, y) \exp (-E t)
\end{array}
\]

сводятся к одпому уравнению
\[
w_{x y}-2 C \beta w \partial_{x}^{-1}\left(w w_{y}\right)=E w .
\]

Это уравнение после замены
\[
w=\varphi_{x}, \quad \varphi_{x y}=f^{\prime}(\varphi)
\]

эквивалентно следующим интегрируемым случаям уравнения Клейна – Гордона:
\[
\varphi_{x y}=f^{\prime}(\varphi), \quad f^{\prime \prime}(\varphi)-2 C \beta f(\varphi)=E .
\]

Поэтому любому точному решению уравнения Клейна Гордона (3.15) соответствует по формулам (3.12), (3.14) точное решение системы уравнений (3.10).