I. В известной работе [170] указаны решения уравнения Кортевега – де Фриза и уравнения Буссинеска, имеющие вид
\[
u(t, x)=2 \sum_{j=1}^{n} \wp\left(x-a_{j}(t)\right)
\]

где $\wp(x)$ – двоякопериодическая мероморфная функция Вейерштрасса. Применение методов работы [170] к другим нелинейным уравнениям отражено в работах $[6,7,20]$.
Обозначим $\wp_{1}(x)$ любую из функций
\[
x^{-2}, \sin ^{-2} x, \operatorname{sh}^{-2} x,
\]
$4^{*}$

которые отличаются на постоянную $0,1 / 3,-1 / 3$ от предельных случаев ชе-функции Вейерштрасса.

Функции $\zeta_{1}(x)$ удовлетворяют соотношению $\zeta_{1}^{\prime}(x)=$ $=-\gamma_{1}(x)$ и соответственно имеют вид
\[
x^{-1}, \operatorname{ctg} x, \operatorname{cth} x .
\]

Функции $\wp_{1}(x)$ (6.2) удовлетворяют дифференциальному уравнению
\[
\wp_{1}^{\prime \prime \prime}=12 \wp_{1} \wp_{1}^{\prime}+4 q \wp_{1}^{\prime},
\]

где коэффициент $q$ в трех случаях (6.2) принимает соответственно значения $0,-1,1$.

Лемма 1. Функции (6.2), (6.3) удовлетворяют следующей формуле сложения:
\[
\begin{aligned}
\wp_{1}(a) \wp_{1}^{\prime}(b) & =\gamma_{1}(a-b) \wp_{1}^{\prime}(b)-2 \wp_{1}^{\prime}(a-b) \wp_{1}(b)- \\
& -\wp_{1}^{\prime}(a-b) \wp_{1}(a)+\wp_{1}^{\prime \prime}(a-b)\left(\zeta_{1}(a)-\zeta_{1}(b)\right) .
\end{aligned}
\]

Доказательство леммы 1 состопт в прямой проверке, использующей стандартные свойства элементарных функций (6.2).

Нетрудпо проверить, используя четность функции $\wp_{1}(x)$, что из формулы (6.5) следует формула сложения
\[
\begin{array}{l}
\wp_{1}(a) \wp_{1}^{\prime}(b)+\wp_{1}^{\prime}(a) \wp_{1}(b)= \\
\quad=\wp_{1}(a-b)\left[\wp_{1}^{\prime}(a)+\wp_{1}^{\prime}(b)\right]+\wp_{1}^{\prime}(a-b)\left[\wp_{1}(a)-\wp_{1}(b)\right] .
\end{array}
\]

Формула (6.6) справедлива для $\wp$-фущкции Вейерштрасса [172], однако формула (6.5) для нее не справедлива, так как $\zeta$-функция Вейерштрасса (1.13) $\quad\left(\zeta^{\prime}(x)=-\wp_{0}(x)\right)$ не является двоякопериодической. Поэтому при построении мероморфных решений уравнения (5.2) мы используем элементарные функции (6.2), (6.3).
II. Рассмотрим решения уравнения (5.2), имеющие вид
\[
u(t, x, y)=-2 \lambda \sum_{j=1}^{n} \zeta_{1}\left(\lambda x-a_{j}(t, y)\right) .
\]

Уравнение (5.2) после подстановки формулы (6.7) и использования уравнения (6.4) и формулы сложения (6.5) преобразуется к виду
\[
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n}\left(\zeta_{1}\left(\lambda x-a_{j}\right) \beta A_{j y}+3 \rho_{1}\left(\lambda x-a_{j}\right)\left(\beta a_{j y}-\lambda \gamma\right) A_{j}\right.+ \\
\left.+\gamma_{\mathbf{1}}^{\prime}\left(\lambda x-a_{j}\right) B_{j}\right)=0,
\end{array}
\]

где использованы .обозначения
\[
\begin{array}{c}
A_{j}=-\alpha^{2} a_{j y y}+4 \lambda^{4} \sum_{k
eq j}^{n} \wp_{1}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right), \\
B_{j}=\lambda^{2} a_{j t}-\gamma\left(4 \lambda^{5} q+3 \alpha^{2} \lambda a_{j y}^{2}-12 \lambda^{5} \sum_{k
eq j}^{n} \wp_{1}\left(a_{j}-a_{k}\right)+\right. \\
+\beta\left(4 \lambda^{4} q a_{j y}+\alpha^{2} a_{j y}^{3}-4 \lambda^{4} \sum_{k
eq j}^{n}\left(2 a_{j y}+a_{k y}\right) \wp_{1}\left(a_{j}-a_{k}\right)\right) .
\end{array}
\]

Из уравнения (6.8) следуют $2 n$ уравнений $A_{j}=0, B_{j}=0$, $j=1, \ldots, n$. Эти уравнения после подстановки
\[
a_{j}(t, y)=\bar{a}_{j}(t, y)+4 \lambda^{3} \gamma q t
\]

и замены координат
\[
\bar{y}=-2 \lambda^{2} y+8 \lambda^{4} \beta q t, \bar{t}=\lambda^{4} t
\]

принимают вид (черту над буквами опускаем)
\[
\begin{array}{c}
\alpha^{2} a_{j y y}=\sum_{k
eq j}^{n} \wp_{1}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right), \\
a_{j t}=12 \gamma \lambda^{-1}\left(\alpha^{2} a_{j y}^{2}-\sum_{k
eq j}^{n} \wp_{1}\left(a_{j}-a_{k}\right)\right)+ \\
+4 \beta\left(\alpha^{2} a_{j y}^{3}-\sum_{k
eq j}^{n}\left(2 a_{j y}+a_{k y}\right) \wp_{1}\left(a_{j}-a_{k}\right)\right) .
\end{array}
\]

Докажем, что уравнения (6.13), (6.14) являются совместными. Для этого, следуя работам $[30,170,173]$, рассмотрим матрицы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ со следующими компонентами:
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}=\mathrm{L}_{1}+\mathrm{P}_{1}, \quad \mathrm{~L}_{1 i j}=\alpha^{-1} f\left(a_{i}-a_{j}\right), \quad \mathrm{P}_{1 i j}=p_{i} \delta_{i j}, \\
\mathrm{~A}=\mathrm{A}_{1}+\mathrm{A}_{2}, \quad \mathrm{~A}_{1 i j}=\alpha^{-1} f^{\prime}\left(a_{i}-a_{j}\right), \\
\mathrm{A}_{2 i j}=-\frac{\alpha^{-1}}{2} \sum_{k
eq \ell}^{n} 8_{1}\left(a_{i}-a_{k}\right) \delta_{i j} .
\end{array}
\]

Здесь $f(x)$ – любая из нечетных функций $x^{-1}, \sin ^{-1} x$, $\operatorname{sh}^{-1} x$; очевидно, что $f^{2}(x)=\gamma_{1}(x)$. Используя кососимметричность матрицы $L_{1}$ и симметричность матрицы $P_{1}$, получаем
\[
H_{2}=\operatorname{Tr} \mathrm{L}^{2}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{P}_{1}^{2}+\mathrm{L}_{1}^{2}\right)=\sum_{i
eq j}^{n}\left(p_{i}^{2}-\alpha^{-2} \wp_{1}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right),
\]

\[
\begin{array}{l}
H_{3}= \operatorname{Tr} \mathrm{L}^{3}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{P}_{1}^{3}+3 \mathrm{P}_{1} \mathrm{~L}_{1}^{2}\right)=\sum_{i
eq j}^{n}\left(p_{i}^{3}-3 \alpha^{-2} p_{i} \wp_{1}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right), \\
H_{4}= \operatorname{Tr} \mathrm{L}^{4}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{P}_{1}^{4}+4 \mathrm{P}_{1}^{2} \mathrm{~L}_{1}^{2}+2 \mathrm{~L}_{1} \mathrm{P}_{1} \mathrm{~L}_{1} \mathrm{P}_{1}\right)= \\
=\sum_{i
eq j}^{n}\left(p_{i}^{4}-4 \alpha^{-2} p_{i}^{2} \ominus_{1}\left(a_{i}-a_{j}\right)-2 \alpha^{-2} p_{i} p_{j} \ominus_{1}\left(a_{i}-a_{j}\right)\right) .
\end{array}
\]

Из результатов работ $[30,173]$ следует, что уравнение Лакса $\mathrm{L}_{t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ эквивалентно гамильтоновой системе с гамильтонианом $\frac{1}{2} H_{2}$ и что гамильтоновы потоки с гамильтонианами $\mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}, \mathrm{H}_{4}$ коммутируют. Поток с гамильтонианом $\frac{1}{2} \mathrm{H}_{2}$ совпадает с уравнением (6.13), где время обозначено через $y$ и $p_{i}=a_{i y}$. Уравнения (6.14) являются второй частью гамильтоновой системы уравнений (для $a_{j t}$ ),
\[
p_{j t}=-\partial H / \partial a_{j,}, a_{j t}=\partial H / \partial p_{j}, \quad H=4 \gamma \lambda^{-1} \alpha^{2} H_{3}+\beta \alpha^{2} H_{4},
\]

которая совместна с уравнениями (6.13) в силу инволютивности гамильтонианов $H_{2}, H_{3}, H_{4}$. Это и доказывает совместность системы (6.13)-(6.14).

Система уравнений (6.13)-(6.14) включает в себя при $\beta=0$ некоторые системы, указанные в работах $[6,7,20]$ для уравнения Кадомцева – Петвиашвили, которое является специальным случаем уравнения (5.2) при $\beta=0$.

При $\alpha=0$ и $\gamma=0$ уравнение (5.2) переходит в уравнение (1.16). Это уравнение тажже имеет решения вида (6.7). Совместная система уравнений (6.13) – (6.14) при $\alpha=0, \gamma=0$ принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k
eq j}^{n} \wp_{1}^{\prime}\left(a_{j}-a_{k}\right)=0, \quad j=1, \ldots, n, \\
a_{j t}=-4 \beta \sum_{k
eq j}^{n}\left(2 a_{j y}+a_{k y}\right) \wp_{1}\left(a_{j}-a_{k}\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (6.16) выделяют непустое подмногообразие при $n=d(d+1) / 2$ [170]. Система уравнений (6.17) относится к классу систем гидродинамического типа, изучавшихся в работах $[31,32,92,174,175]$, и является интегрируемой по крайней мере на инвариантном подмногообразии, определенном условиями (6.16).
54