I. Теорема 1. Следующие пять дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на $\mathfrak{A}$ (здесь $\mathrm{H}: \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A}-$ произвольный автоморфизм алгебры $\mathfrak{A}, \quad p$ – произвольное челое число, $p \geqslant 2)$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{H}^{k}(a)\right) a-a\left(\sum_{k=1}^{p-1} \mathrm{H}^{-k}(a)\right), \\
\dot{a}=a\left(\mathrm{H}(a) \mathrm{H}^{2}(a) \ldots \mathrm{H}^{p-1}(a)\right)- \\
-\left(\mathrm{H}^{1-p}(a) \mathrm{H}^{2-p}(a) \ldots \mathrm{H}^{-1}(a)\right) a, \\
\dot{a}=a \mathrm{H}(a) \mathrm{H}^{2}(a) \ldots \mathrm{H}^{p-1}(a) a- \\
-a \mathrm{H}^{1-p}(a) \mathrm{H}^{2-p}(a) \ldots \mathrm{H}^{-1}(a) a, \\
\dot{a}=b a-a \mathrm{H}^{-r}(b), \\
b=\sum_{k=0}^{p-1} \mathrm{H}^{k q}\left(a \mathrm{H}^{-r}(a) \ldots \mathrm{H}^{-(m-1) r}(a)\right), \\
\dot{a}=\mathrm{H}^{q}(c)-c,
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
c= & \sum_{k=0}^{p-1} a \mathrm{H}^{-r}(a) \ldots \\
& \ldots \mathrm{H}^{-r(p-2-k)}(a) \mathrm{H}^{-q}\left(\mathrm{H}^{(k-1) r}(a) \mathrm{H}^{(k-2) r}(a) \ldots a\right) .
\end{aligned}
\]
$B$ случаях (2.4) и (2.5) целочисленные параметры $r, p \geqslant 2, q, m$ свлзаны соответственно соотношениями
\[
\begin{array}{c}
(p-1) q=r m, \\
2 q=r(p-2) .
\end{array}
\]

Доказательство теоремы 1 состоит в явном указании соответствующих представлений Лакса
\[
\frac{d \mathrm{~L}(t, \lambda)}{d t}=[\mathrm{L}(t, \lambda), \mathrm{A}(t, \lambda)],
\]

где операторы $\mathrm{L}(t, \lambda)$ и $\mathrm{A}(t, \lambda)$ имеют вид (1.4), $\lambda$ спектральный параметр. В силу представления (2.8) из леммы 1 следует наличие счетного множества первых интегралов (1.11) у уравнений (2.1) – (2.5).
1) Операторы $L$ и $A$ имеют вид
\[
\mathrm{L}=a \mathrm{H}^{1-p}+\lambda \mathrm{H}, \quad \mathrm{A}=-b-\lambda \mathrm{H}^{p} .
\]

Используя основные свойства автоморфизмов (1.1), нетрудно проверить равенство
\[
\begin{aligned}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}] } & =\mathrm{LA}-\mathrm{AL}= \\
& =\left(b a-a \mathrm{H}^{1-p}(b)\right) \mathrm{H}^{1-p}+\lambda\left(b-\mathrm{H}(b)+\mathrm{H}^{p}(a)-a\right) \mathrm{H} .
\end{aligned}
\]

Коэффициент при операторе $\mathrm{H}$ равен нулю, если
\[
b=\sum_{k=0}^{p-1} \mathrm{H}^{k}(a) .
\]

В этом случае уравнение Лакса (2.6) в силу равенства (2.9) эквивалентно уравнению (2.1). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.1) определяются формулами (см. § 1)
\[
I_{k}=T\left(a \mathrm{H}^{1-p}+\lambda \mathrm{H}\right) .
\]
2) Операторы $L$ и $A$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}=a \mathrm{H}+\lambda \mathrm{H}^{1-p}, \\
\mathrm{~A}=-\lambda^{-1}(a \mathrm{H})^{p}=-\lambda^{-1} a \mathrm{H}(a) \ldots \mathrm{H}^{p-1}(a) \mathrm{H}^{p} .
\end{array}
\]

Очевидно, что операторы $a \mathrm{H}$ и А коммутируют, поэтому из уравнений $(2.8),(2.10)$ следует уравнение (2.2). Его
ненулевые первые интегралы определяются по формулам
\[
I_{k}=T\left(a \mathrm{H}+\lambda \mathrm{H}^{1-p}\right)^{k p} .
\]
3) Операторы $L$ и $A$ имеют вид
\[
\mathrm{L}=a \mathrm{H}^{1-p}+\lambda a \mathrm{H}, \quad \mathrm{A}=-b-\lambda(a \mathrm{H})^{p} .
\]

Из уравнения (2.8), (2.11) следуют два дифференциальных уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=b a-a \mathrm{H}(b)+a \mathrm{H}(a) \ldots \mathrm{H}^{p-1}(a) \mathrm{H}^{p}(a)- \\
\quad-a \mathrm{H}^{1-p}(a) \ldots \mathrm{H}^{-1}(a) a, \\
\dot{a}=b a-a \mathrm{H}^{1-p}(b) .
\end{array}
\]

Вектор $b$ определяется из условия совпадения уравнений (2.12) и имеет вид
\[
b=a \mathrm{H}(a) \ldots \mathrm{H}^{p-1}(a) .
\]

При этом уравнения (2.12) принимают вид (2.3). Первые интегралы уравнения (2.3) определяются формулами
\[
I_{k}=T\left(a \mathrm{H}^{1-p}+\lambda a \mathrm{H}\right)^{k p} .
\]

Отметим, что в специальном случае, когда алгебра $\mathfrak{A}$ является коммутативной алгеброй функций на множестве целых чисел, уравнение (2.3) переходит в уравнение (3.2) гл. V. B § 3 гл. V указано другое представление Лакса для этого уравнения.
4) Операторы $L$ и $A$ имеют вид
\[
\mathrm{L}=\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{m}+\lambda \mathrm{H}^{q}, \quad \mathrm{~A}=-b-\lambda \mathrm{H}^{p q}
\]

при условии (2.6). Справедливо равенство
\[
\begin{array}{r}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=-\left[\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{m}, b\right]+\lambda\left(b-\mathrm{H}^{q}(b)+\mathrm{H}^{p q}\left(a \mathrm{H}^{-r}(a) \ldots\right.\right.} \\
\left.\left.\ldots \mathrm{H}^{-(m-1) r}(a)\right)-a \mathrm{H}^{-r}(a) \ldots \mathrm{H}^{-(m-1) r}(a)\right) \mathrm{H}^{q} .
\end{array}
\]

Коэффициент при операторе $\mathrm{H}^{q}$ обрацается в нуль, если элемент $b$ определен равенством (2.4). В этом случае уравнение Лакса (2.8), (2.13) принимает вид
\[
\left(\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{m}\right)^{\cdot}=-\left[\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{m}, b\right]
\]

и является следствием уравнения $\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{*}=-\left[a \mathrm{H}^{-r}, b\right]$, которое эквивалентно первому уравнению (2.4). Ненулевые интегралы уравнения (2.4) определяются формулами
\[
I_{k}=T\left(\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{m}+\lambda \mathrm{H}^{q}\right)^{k p} .
\]

При $q=1, m=1, r=p-1$ уравнение
(2.4) совпадает

с уравнением (2.1). При $q=1, m=p-1, r=1$ уравнение (2.4) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\dot{a}=\left(\mathrm{H}^{p-1}(a)\right. & \ldots \mathrm{H}(a)) a-a\left(\mathrm{H}^{-1}(a) \ldots \mathrm{H}^{1-p}(a)\right)- \\
& -\left[a, \sum_{k=0}^{p-2} \mathrm{H}^{k}\left(a \mathrm{H}^{-1}(a) \ldots \mathrm{H}^{-(p-2)}(a)\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Уравнения (2.14) и (2.2) совпадают, если алгебра $\mathfrak{A}$ коммутативна, и различны в случае некоммутативной алгебры $\mathfrak{}$.
5) Операторы $L$ и $\mathrm{A}$ имеют вид
\[
\mathrm{L}=\lambda a \mathrm{H}^{-r}+\mathrm{H}^{q}, \quad \mathrm{~A}=c \mathrm{H}^{-r-q}+\lambda\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{p}
\]

при условии (2.7). Справедливо равенство
\[
\begin{array}{l}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\left(\mathrm{H}^{q}(c)-c\right) \mathrm{H}^{-r}+\lambda\left[a \mathrm{H}^{-r}, c \mathrm{H}^{-r-q}\right]-} \\
-\lambda\left[\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{p}, \mathrm{H}^{q}\right] .
\end{array}
\]

Последний коммутатор имеет вид
\[
\left[\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{p}, \mathrm{H}^{q}\right]=\left[a \mathrm{H}^{-r}, \sum_{k=0}^{p-1}\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{p-1-k} \mathrm{H}^{q}\left(a \mathrm{H}^{-r}\right)^{k}\right] .
\]

Поэтому разность двух коммутаторов в (2.15) обращается в нуль, если элемент $c$ определен равенством (2.5). В этом случае уравнение Лакса (2.8) эквивалентно первому уравнению (2.5). Ненулевые первые интегралы уравнения (2.5) определяются по формулам
\[
I_{k}=T\left(\lambda a \mathrm{H}^{-r}+\mathrm{H}^{q}\right)^{k p / 2}
\]

при условии, что $k p / 2$ – целое число. Теорема 1 доказана.

Все уравнения (2.1)-(2.5) имеют вид $\dot{a}=B a-a C$, где $a, B, C \in \mathfrak{A}$. В случае алгебры матриц $\operatorname{gl}(n, R)$ эти уравнения являются примерами $\mathrm{L}-\mathrm{A}-\mathrm{B}$ троек [27, 28]. Согласно теореме 1 эти уравнения допускают представления Лакса в матрицах $\mathrm{L}$ размера $n^{2} \times n^{2}$ и пмеют наряду с первыми интегралами $I_{k}$, указанными в Лемме 1 , еще и первые интегралы $\lambda_{j}$ – собственные числа матрицы $\mathrm{L}(t, \lambda)$. Поэтому число первых интегралов уравнений (2.1)-(2.5) имеет порядок $n^{2}$. В силу наличия спектрального параметра $\lambda$ в уравнениях Лакса (2.7). уравнения (2.1) – (2.5) интегрируются в тэта-функциях римановых поверхностей, заданных уравнением
\[
R(\lambda, w)=\operatorname{det}(\mathrm{L}(t, \lambda)-w \cdot 1)=0 .
\]

II. Пусть ассоциативная алгебра $\mathfrak{A}$ обладает некоторыми дифференцированиями $d_{1}, d_{2}: \mathfrak{V} \rightarrow \mathfrak{A}$,
\[
\begin{aligned}
d\left(k_{1} a_{1}+k_{2} a_{2}\right) & =k_{1} d\left(a_{1}\right)+k_{2} d\left(a_{2}\right), \\
d(a b) & =d(a) b+a d(b),
\end{aligned}
\]

причем $\left[d_{1}, d_{2}\right]=0,\left[d_{i}, \mathrm{H}\right]=0$. Простейшими примерами дифференцирований являются отображения
\[
d_{x}=a d_{x}, \quad d_{x}(a)=x a-a x, \quad x \in \mathfrak{A} .
\]

Теорема 2. Следующие четыре группь уравнений в непрерывной ассоциативной алгебре $\mathfrak{A}$ допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на $\mathfrak{N}$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}=b a-a \mathrm{H}^{-1}(b), \quad d_{1}(b)=\mathrm{H}(a)-a, \\
\dot{a}=k d_{1}(a)+p a-a \mathrm{H}(p), \quad \dot{p}=\mathrm{H}^{-1}(a)-a, \\
\dot{a}=a b-b a, \quad d_{1}(b)=d_{2}(a), \\
\dot{a}=a b-b a-d_{2}(c), \quad \dot{c}=c b-b c, \quad d_{1}(b)=d_{2}(a) .
\end{array}
\]

Доказательство. 1) Определим линейные операторы
\[
\mathrm{L}=d_{1}+\lambda^{-1} a \mathrm{H}^{-1}, \quad \mathrm{~A}=-b-\lambda \mathrm{H} .
\]

Справедливо равенство
\[
[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=-d_{1}(b)+\mathrm{H}(a)-a+\lambda^{-1}\left(b a-a \mathrm{H}^{-1}(b)\right) \mathrm{H}^{-1} .
\]

Поэтому уравнения (2.16) эквивалентны уравнению Лакca $(2.7),(2.20)$.
2) Введем линейные операторы
\[
\mathrm{L}=k d_{1}+\lambda a \mathrm{H}+\lambda^{-1} \mathrm{H}^{-1}+p, \quad \mathrm{~A}=\lambda a \mathrm{H} .
\]

Справедливо равенство
\[
[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\mathrm{H}^{-1}(a)-a-\lambda\left(k d_{1}(a)+p a-a \mathrm{H}(p)\right) \mathrm{H} .
\]

Следовательно, уравнения (2.17) эквивалентны уравнению Јакса (2.7), (2.21).
3) Рассмотрим линейные операторы
\[
\mathrm{L}=a+\lambda d_{1}, \quad \mathrm{~A}=b+\lambda d_{2} .
\]

Справедливо равенство
\[
[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=a b-b a+\lambda\left(d_{1}(b)-d_{2}(a)\right)+\lambda^{2}\left[d_{1}, d_{2}\right] .
\]

При условии коммутативности дифференцирований $d_{1}, d_{2}$ уравнения (2.18) в силу (2.23) эювивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.22).
4) Для линейных операторов
\[
\mathrm{L}=c+\lambda a+\lambda^{2} d_{1}, \quad \mathrm{~A}=b+\lambda d_{2}
\]

справедливо равенство
\[
\begin{aligned}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=c b-b c+\lambda(a b-} & \left.b a-d_{2}(c)\right)+ \\
& +\lambda^{2}\left(d_{1}(b)-d_{2}(a)\right)+\lambda^{3}\left[d_{1}, d_{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Поэтому при условии коммутативности операторов $d_{1}, d_{2}$ уравнения (2.19) эквивалентны уравнению Лакса (2.7), (2.24). Теорема 2 доказана.
III. Пусть $\mathfrak{A}=\mathscr{F}\left(\mathbb{R}^{1}\right)$ – алгебра матричнозначных функций $a(t, x)$, операторы $\mathrm{H}$ и $d$ определены формулами
\[
(\mathrm{H} a)(t, x)=a(t, x+c), \quad d a(t, x)=\frac{\partial a(t, x)}{\partial x} .
\]

Из второго уравнения (2.16) в силу (2.25) получаем
\[
b(t, x)=\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi .
\]

Поэтому первое уравнение (2.16) принимает вид
\[
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi\right) a(t, x)-a(t, x)\left(\int_{x-c}^{x} a(t, \xi) d \xi\right) .
\]

Таким образом, матричное интегро-дифференциальное уравнение (2.26) допускает представление Лакса (2.7), (2.20), (2.25). В частном случае $n=1$ уравнение (2.26) переходит в интегро-дифференциальное уравнение, изучавшееся в гл. VI.

Уравнение (2.26) является континуальным пределом при $\varepsilon \rightarrow 0$ матричного уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=\left(\varepsilon \sum_{k=1}^{p-1} a(t, x+k \varepsilon)\right) a(t, x)- \\
-a(t, x)\left(\varepsilon \sum_{k=1}^{p-1} a(t, x-k \varepsilon)\right),
\end{array}
\]

где $\varepsilon(p-1)=c$. Уравнение (2.27) относится к типу (2.1) и допускает представление Лакса с операторами
\[
\mathrm{L}=\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}, \quad \mathrm{A}=-\varepsilon \sum_{k=0}^{p-1} a(t, x+k \varepsilon)-\mathrm{P}_{p \varepsilon},
\]

где $\left(\mathrm{P}_{\alpha} a\right)(t, x)=a(t, x+\alpha)$. Поэтому уравнение обладает счетным множеством первых интегралов
\[
I_{n}=T\left(\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\mathrm{P}_{\varepsilon}\right)^{n p} .
\]

Континуальные пределы интегралов (2.29) при $p-1=$ $=c / \varepsilon \rightarrow \infty$ определяют первые интегралы уравнения (2.26). Явные формулы для этих интегралов имеют вид
\[
\begin{array}{r}
I_{n}=\operatorname{Tr} \int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{x}^{x+n c} a\left(t, x_{1}\right) d x_{1} \int_{x_{1}-c}^{x+(n-1) c} a\left(t, x_{2}\right) d x_{2} \ldots \\
\ldots \int_{x_{n-2}-c}^{x+2 c} a\left(t, x_{n-1}\right) d x_{n-1} \int_{x_{n-1}-c}^{x+c} a\left(t, x_{n}\right) d x_{n} .
\end{array}
\]

Формулы (2.30) являются обобщением на матричнозначные функции $a(t, x)$ формул (2.17) гл. VI.
IV. Рассмотрим конкретный вид уравнения (2.17) в коммутативных алгебрах, например, в алгебре функций $\mathscr{F}(\mathscr{M})$. Первое уравнение (2.17) после подстановки $a=$ $=\exp (q-\mathrm{H}(q))$ разрешается в виде $p=\dot{q}-k d_{1}(q)$. Вследствие этого второе уравнение (2.17) принимает вид
\[
\ddot{q}-k d_{1}(\dot{q})=\exp \left(\mathrm{H}^{-1}(q)-q\right)-\exp (q-\mathrm{H}(q)) .
\]

При $k=0$ уравнение (2.31) является обобщением цепочки Тода в произвольной коммутативной алгебре с автоморфизмом $\mathrm{H}$, которое впервые было указано в работе [49].

Пусть $\quad k
eq 0, \quad \mathfrak{A}=\mathscr{F}\left(\mathbb{R}^{1}\right), \quad d_{1}=d / d x, \quad \mathrm{H}(a(t, x))=$ $=a(t, x-k c)$. Тогда уравнение (2.31) принимает вид $\left(q_{t t}-k q_{t x}\right)(t, x)=\exp (q(t, x+k c)-q(t, x))-$
\[
-\exp (q(t, x)-q(t, x-k c)) .
\]

Это уравнение после замены координат
\[
\bar{x}=x / k, \quad \bar{t}=t+x / k
\]

переходит в уравнение
\[
\begin{aligned}
-q_{\bar{t} \bar{x}}(\bar{t}, \bar{x})= & \exp (q(\bar{t}+c, \bar{x}+c)-q(\bar{t}, \bar{x}))- \\
& -\exp (q(\bar{t}, \bar{x})-q(\bar{t}-c, \bar{x}-c)) .
\end{aligned}
\]

Уравнение (2.33) впервые было указано в работе [50].

Это уравнение существенно отличается от уравнения (1.14) гл. VI; оно не эквивалентно интегро-дифференциальному уравнению (1.3) гл. VI.

Пусть $\mathfrak{A}=\mathscr{F}\left(\mathbb{R}^{2}\right), \quad d_{1}=d / d x, \quad \mathrm{H}(a(t, x, y))=$ $=a(t, x, y-c)$. Тогда уравнение (2.31) после замены координат (2.32) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\left.-q_{\bar{t} \bar{x}} \bar{t}, \bar{x}, y\right)=\exp (q(\bar{t}, \bar{x}, y+c)-q(\bar{t}, \bar{x}, y))- \\
-\exp (q(\bar{t}, \bar{x}, y)-q(\bar{t}, \bar{x}, y-c)) . \\
\end{array}
\]

Уравнение (2.34) после замены
\[
q(\bar{t}, \bar{x}, y)=c^{-1} \varphi(\bar{t}, \bar{x}, y), \quad t=-c^{2} \bar{t}
\]

и перехода к пределу при $c \rightarrow 0$ преобразуется в дифференциальное уравнение
\[
\varphi_{t x}=\left(\exp \varphi_{y}\right)_{y} .
\]

Уравнение (2.34) в случае, когда переменная $y$ пробегает счетное множество точек вида $n c$, где $n$ – целые числа, совпадает с двумеризованной цепочкой Тода [51].
V. Уравнение $(2.18)$ в алгебре матриц $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ при $d_{1}=a d_{\alpha}, d_{2}=d d_{\beta}$ приводит к уравнению, описывающему известные интегрируемые случаи $n$-мерных уравнений Эйлера [52]. Аналогично уравнения (2.19) в алгебре $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ переходят в интегрируемые случаи [26] динамики твердого тела в ньютоновском поле с квадратичным лотенциалом.

Если $\mathfrak{A}$ является алгеброй матричнозначных $(n \times n)$ функций от трех переменных $t, x, y$ с дифференцированиями $d_{1}=d / d x$ и $d_{2}=d / d y$, то из третьего уравнения (2.19) следует существование такой матричной функции $S(t, x, y)$, что $a=S_{x}, b=S_{y}$. При этом первые два уравнения (2.19) принимают вид
\[
S_{x t}=\left[S_{x}, S_{y}\right]-c_{y}, \quad c_{t}=\left[c, S_{y}\right] .
\]

Следовательно, уравнения (2.36) и их частный случай при $c=0$ – уравнение $S_{x t} \equiv\left[S_{x}, S_{y}\right]$ – допускают представление Лакса со спектральным параметром.

Замечание. С каждым из построенных в этом параграфе уравнений связана бесконечная иерархия дифференциальных уравнений, допускающих представление Јакса с тем же оператором $\mathrm{L}$, но с более сложным оператором А, являющимся многочленом Лорана от автоморфизма $\mathrm{H}$.
VI. Пусть алгебра $\mathfrak{A}$ коммутативна п обладает инволютивным автоморфизмом $\tau$, коммутирующим с автоморфизмом $\mathrm{H}, \tau^{2}=\mathrm{id}$. Укажем алгебраические конструкции уравнений, которые в частных случаях переходят в уравнения нелинейной автодуальной сети и дискретное нелинейное уравнение Шрёдингера $[53,54]$.

Теорема 3. Следующие три группь уравнений в непрерывной ассоциативной коммутативной алгебре $\mathfrak{A}$ допускают представление Лакса (со спектральным параметром) в алгебре линейных операторов, действующих на $\mathfrak{A}$ или $\mathfrak{A} \oplus \mathfrak{A}$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}=a \tau(a)\left(\mathrm{H}(a)-\mathrm{H}^{-1}(a)\right), \\
\dot{a}=a \tau(a)\left(\mathrm{H}^{-1}(b)-b\right), \quad \dot{b}=b \tau(b)(a-\mathrm{H}(a)), \\
-i \dot{a}=\mathrm{H}(a)+\mathrm{H}^{-1}(a)-2 a+a \tau(a)\left(\mathrm{H}(a)+\mathrm{H}^{-1}(a)\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (2.37)-(2.39) обладают счетным множеством первых интегралов.

В случае (2.39) алгебра Я является комплексной и $\tau(i a)=-i \tau(a)$.

Доказательство. 1) Из уравнения (2.37) следует уравнение
\[
\left(\tau \mathrm{H}^{-1}(a)\right)^{\cdot}=\tau \mathrm{H}^{-1}(a) \mathrm{H}^{-1}(a)\left(\tau(a)-\tau H^{-2}(a)\right) .
\]

Обозначим $a_{1}=a \tau \mathrm{H}^{-1}(a)$; из уравнений (2.37), (2.40) получаем $\dot{a}_{1}=a_{1}\left(\mathrm{H}\left(a_{1}\right)-\mathrm{H}^{-1}\left(a_{1}\right)\right)$. Это уравнение, очевидно, эквивалентно системе Вольтерра и поэтому допускает представление Лакса, например, с операторами (2.10) при $p=2$.
2) Введем обозначения
\[
a_{1}=a \tau(a) \mathrm{H}^{-1}(b) \tau(b), \quad p_{1}=-a \tau(b)-b \mathrm{H} \tau(a) .
\]

В силу уравнений (2.38) получаем систему уравнений
\[
\dot{a}_{1}=a_{1}\left(p_{1}-\mathrm{H}^{-1}\left(p_{1}\right)\right), \quad \dot{p}_{1}=\mathrm{H}\left(a_{1}\right)-a_{1} .
\]

Эти уравнения допускают представление Лакса (2.7), (2.21) при $k=0$.
3) Пусть $v, p, b, c, J$ – матрицы размера $2 \times 2$ с әлементами из комплексной алгебры $\mathfrak{A}$ следующего вида:
\[
\begin{array}{c}
v=\left(1+\mathrm{H}^{-1}(a) \tau \mathrm{H}^{-1}(a)\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
p=\left(\begin{array}{cc}
0 & i\left(\tau(a)-\tau \mathrm{H}^{-1}(a)\right. \\
i\left(a-\mathrm{H}^{-1}(a)\right) & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{r}
b=i\left(\mathrm{H}^{-1}(a) \tau(a)-\tau \mathrm{H}^{-1}(a) a\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)-J, \quad(2.42) \\
J=i\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad c=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\tau \mathrm{H}(a)-\tau \mathrm{H}^{-1}(a) \\
\mathrm{H}(a)+\mathrm{H}^{-1}(a) & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Уравнеқие Лакса (2.7) с операторами $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ вида
\[
\mathrm{L}=v \lambda^{-1} \mathrm{H}^{-1}+p+\lambda \mathrm{H}, \quad \mathrm{A}=b+c \lambda \mathrm{H}+\lambda^{2} J \mathrm{H}^{2}
\]

эквивалентно системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\dot{v}=v \mathrm{H}^{-1}(b)-b v, \quad \dot{p}=p b-b p+v \mathrm{H}^{-1}(c)-c \mathrm{H}(v) \\
\mathrm{H}(b)-b+p c-c \mathrm{H}(p)+v \mathrm{H}^{-1}(J)-J \mathrm{H}^{2}(v)=0 \\
\mathrm{H}(c)-c+p J-J \mathrm{H}^{2}(p)=0, \quad \mathrm{H}(J)-J=0
\end{array}
\]

Дополнительно предположим, что $\mathrm{H}(1)=1, \mathrm{H}(i)=i$, тогда $\mathrm{H}(J)=J$. Непосредственно проверяется, что при условиях (2.42) три последних алгебраических уравнения (2.44) выполнены тождественно. Два дифференциальных уравнения (2.44) при условиях (2.42) являются следствием уравнения (2.39). Поэтому уравнение (2.39). допускает представление Лакса с операторами (2.43).

Указанные выше операторы $L$ и $A$ относятся к классу операторов (1.4), поэтому существование счетного множества первых интегралов $I_{n}=T\left(\mathrm{~L}^{n}\right)$ для уравнений $(2.37)-(2.39)$ следует из леммы 1 § 1. Теорема 3 доказана.
VII. Укажем некоторые следствия из теоремы 3. Пусть $\mathfrak{A}$ – комплексная алгебра и $\tau$ – комплексное сопряжение. Пусть
\[
a=1+\frac{1}{2}\left(\alpha+i \sqrt{4 \beta-\alpha^{2}}\right) a_{1}, \text { где } \quad \tau\left(a_{1}\right)=a_{1} .
\]

Тогда уравнение (2.37) принимает вид
\[
\dot{a}_{1}=\left(1+\alpha a_{1}+\beta a_{1}^{2}\right)\left(\mathrm{H}\left(a_{1}\right)-\mathrm{H}^{-1}\left(a_{1}\right)\right) .
\]

После аналогичной подстановки уравнения (2.38) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{1}=\left(1+\alpha a_{1}+\beta a_{1}^{2}\right)\left(\mathrm{H}^{-1}\left(b_{1}\right)-b_{1}\right), \\
\dot{b}_{1}=\left(1+\alpha b_{1}+\beta b_{1}^{2}\right)\left(a_{1}-\mathrm{H}\left(a_{1}\right)\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (2.38) инвариантны относительно преобразования дуальности $\sigma$ :
\[
\sigma(a)=a_{1}=\mathrm{H}^{-1}(b), \quad \sigma(b)=b_{1}=a, \quad \sigma^{2}=\mathrm{H}^{-1} .
\]

Если $\mathfrak{A}$ – алгебра функций на дискретном множестве $Z$, то уравнение (2.46) в случае автоморфизма – сдвига

$(\mathrm{H}(a))_{k}=a_{k+1}$ – переходит в уравнение автодуальной сети [53].

Если множество $Z$ разбито на два дискретных набора точек $a_{k}$ и $b_{k}$ и $(\tau(a))_{k}=b_{k},(\mathrm{H}(a))_{k}=a_{k+1}, \quad(\mathrm{H}(b))_{k}=$ $=b_{k+1}$, то уравнение (2.37) переходит в систему двух уравнений
\[
\dot{a}_{k}=a_{k} b_{k}\left(a_{k+1}-a_{k-1}\right), \quad \dot{b}_{k}=a_{k} b_{k}\left(b_{k+1}-b_{k-1}\right) .
\]

Если множество $Z$ состоит из $2 n$ точек и $(\tau(a))_{k}=a_{k+n}$, то уравнение (2.37) принимает вид
\[
\dot{a}_{k}=a_{k} a_{k+n}\left(a_{k+1}-a_{k-1}\right) .
\]

Уравнение (2.39) является аналогом дискретного нелинейного уравнения Шрёдингера [54] в произвольной ра гладких функций на произвольном многообразии $\mathscr{M}$, $\alpha: \mathscr{M} \rightarrow \mathscr{M}$ – сохраняющей меру $\mu$ диффеоморфизм и $(\mathrm{H}(a))(x)=a(\alpha(x)), x \in \mathscr{M}$, то уравнение (2.39) имеет вид
\[
\begin{aligned}
-i \frac{\partial a(t, x)}{\partial t}= & a(t, \alpha(x))+a\left(t, \alpha^{-1}(x)\right)-2 a(t, x)+ \\
& +|a(t, x)|^{2}\left(a(t, \alpha(x))+a\left(t, \alpha^{-1}(x)\right)\right)
\end{aligned}
\]

и обладает счетным множеством первых интегралов.
VII. Утверждение 1. Дифференциальное уравнение
\[
\left(\dot{a} a^{-1}\right)^{\cdot}=c_{1} \mathrm{H}^{-1}(a) a^{-1}-a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}\left(c_{1}\right), \dot{c}_{1}=0,
\]

определенное на множестве обратимых элементов произвольной ассоциативной алгебры भ, допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.

Доказательство. Операторы $\mathrm{L}(t, \lambda)$ и $\mathrm{A}(t, \lambda)$ определим формулами
\[
\mathrm{L}=\lambda a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}+\lambda^{-1} c_{1} \mathrm{H}^{-1}+\dot{a} a^{-1}, \quad \mathrm{~A}=\lambda a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H} .
\]

Оператор $\mathrm{L}$ при $c_{1}=$ const имеет вид
\[
\dot{\mathrm{L}}=\lambda\left(\dot{a} \mathrm{H}\left(a^{-1}\right)-a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}(\dot{a}) \mathrm{H}\left(a^{-1}\right)\right) \mathrm{H}+\left(\dot{a} a^{-1}\right)^{.} .
\]

Коммутатор операторов L и А определяется формулой
\[
\begin{array}{r}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\lambda\left(\dot{a} \mathrm{H}\left(a^{-1}\right)-a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}(\dot{a}) \mathrm{H}\left(a^{-1}\right)\right) \mathrm{H}+} \\
+c_{1} \mathrm{H}^{-1}(a) a^{-1}-a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}\left(c_{1}\right) .
\end{array}
\]

Подстановка формул (2.51), (2.52) в уравнение Лакса (2.8) приводит к уравнению (2.49). В силу леммы 1 § 1 уравнение (2.49) обладает счетным набором первых интегралов
\[
I_{k}=T\left(\lambda a \mathrm{H}\left(a^{-1}\right) \mathrm{H}+\lambda^{-1} c_{1} \mathrm{H}^{-1}+\dot{a} a^{-1}\right)^{k} .
\]

Утверждение 1 доказано.
Если алгебра $\mathfrak{A}$ является алгеброй матричнозначных функций на множестве целых чисел и $\mathrm{H}(a)(k)=$ $=a(k+1)$, то уравнение (2.49) совпадает с «некоммутативной цепочкой Тода» [55]. В случае коммутативной алгебры скалярных функций уравнение (2.49) с помощью нодстановки $a(t, x)=\exp q(t, x)$ преобразуется в уравнение цепочки Тода (2.31).

В случае алгебры матриц $\mathrm{gl}(n, \mathbb{R})$ и внутреннего автоморфизма $\mathrm{H}: \mathrm{H}(a)=\mathrm{Q} a \mathrm{Q}^{-1}$ уравнение (2.49) принимает вид
\[
\left(\dot{a} a^{-1}\right)^{\cdot}=\left[c, a \mathrm{Q} a^{-1}\right], c=c_{1} \mathrm{Q}^{-1} .
\]

Первыми интегралами уравнения (2.54) являются собственные числа соответствующего оператора L (2.50).