I. Уравнение (1.7) для вещественных функций $v$, не зависящих от переменной $y$, переходит в двумерное модифицированное уравнение, изучавшееся в гл. III:
\[
v_{t}=-\alpha_{2}\left(v_{x z}+2 \beta v \partial_{x}^{-1}\left(v v_{z}\right)\right)_{x} .
\]

Полное комплексное уравнение (1.7) при $\alpha_{1}=0$ является, таким образом, интегрируемой комплекоификацией уравнения (2.1).

Из результатов гл. III следует, что уравнение (2.1) при $\beta>0$ имеет точное быстроубывающее при $|x| \rightarrow \infty$ решение — опрокидывающийся солитон
\[
v=\lambda(2 / \beta)^{1 / 2} \operatorname{ch}(\lambda x-\varphi),
\]

где функции $\lambda(t, z)$ и $\varphi(t, z)$ удовлетворяют уравнениям
\[
\lambda_{t}=-\alpha_{2} \lambda^{2} \lambda_{z}, \quad \varphi_{t}=-\alpha_{2} \lambda^{2} \varphi_{z} .
\]

При $\beta<0$ уравнение (2.1) имеет два типа опрокидывающихся решений, определенных формулами
\[
\begin{array}{l}
v_{1}=\lambda(2 /|\beta|)^{1 / 2} / \cos (\lambda x-\varphi), \quad \lambda_{t}=-\alpha_{2} \lambda^{2} \lambda_{z}, \quad \varphi_{t}=-\alpha_{2} \lambda^{2} \varphi_{z}, \\
v_{2}=\lambda(2 /|\beta|)^{1 / 2} / \operatorname{sh}(\lambda x-\varphi), \quad \lambda_{t}=\alpha_{2} \lambda_{2} \lambda_{z}, \quad \varphi_{t}=\alpha^{2} \lambda^{2} \varphi_{z} .
\end{array}
\]

Решения (2.3), (2.4) являются сингулярными и имеют движущиеся полюса первого порядка.
II. Уравнение (1.7) для комплекснозначных функций $v$, не зависящих от переменной $z$, переходит в уравнение $\left(\alpha_{1}=1\right)$
\[
v_{t}=i v_{x y}+i \beta v \partial_{x}^{-1}|v|_{y}^{2} .
\]

Имеется два неэквивалентных уравнения (2.5), отвечающих вначениям параметра $\beta>0$ и $\beta<0$ (масштаб̈ные преобразования сохраняют знак параметра $\beta$ ). При $\beta=$ $=-2$ для уравнения (2.5) в работе [35] было указано представление Лакса (однако само уравнение не исстедовалось). При этом оператор $\mathrm{L}$ имел вид
\[
\mathrm{L}=i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \partial_{x}+\left(\begin{array}{rr}
0 & v \\
-v & 0
\end{array},\right.
\]
т. е. в отличие от оператора $\mathrm{L}$ (1.2) не являлся эрмитовым. Представление Лакса (1.1)-(1.4) при $\alpha_{1}=1, \alpha_{2}=$

$=0$ приводит к уравнению (2.5) с произвольным значением параметра $\beta=2 /\left(p_{1} p_{2}\right)$.

Уравнение (2.5) после деления на $i v$ и дифференцирования по $x$ принимает вид
\[
\left(i \frac{v_{t}}{v}+\left(\frac{v_{x}}{v}\right)_{y}+\frac{v_{x}}{v} \frac{v_{y}}{v}\right)_{x}=-\beta|v|_{y}^{2} .
\]

После подстановки в уравнение (2.6) $v=a \exp i b$ (где функции $a(t, x, y)$ и $b(t, x, y)$ вещественны) и разделения на вещественную и мнимую части получаем систему двух уравнений
\[
\begin{aligned}
\left(-b_{t}+\left(\frac{a_{x}}{a}\right)_{y}+\frac{a_{x}}{a} \frac{a_{y}}{a}-b_{x} b_{y}\right)_{x} & =-\beta\left(a^{2}\right)_{y}, \\
\left(\frac{a_{t}}{a}+b_{x y}+\frac{a_{x}}{a} b_{y}+\frac{a_{y}}{a} b_{x}\right)_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Пусть функции $a$ и $b$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
a(t, x, y)=\lambda_{1}(t, y) a(\zeta), \quad b=m \xi, \\
\zeta=\lambda_{1}(t, y) x-\varphi_{1}(t, y),
\end{array}
\]

где $\lambda_{1}(t, y)$ п $\varphi_{1}(t, y)$ — не известные пока функции переменных $t, y ; m$ — произвольная постоянная. Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.8) приводит к уравнениям для функций $\lambda_{1}(t, y), \varphi_{1}(t, y)$ :
\[
\lambda_{1 t}+2 m \lambda_{1} \lambda_{1 y}=0, \quad \varphi_{1 t}+2 m \lambda_{1} \varphi_{1 y}=0 .
\]

Подстановка выражений (2.9) в уравнение (2.7) при учете соотношений (2.10) приводит к двум уравнениям
\[
\begin{array}{l}
a^{\prime \prime}=-\beta a^{3}+c a, \\
a^{\prime 2}=-\frac{1}{2} \beta a^{4}+\frac{1}{2}\left(3 c+m^{2}\right) a^{2},
\end{array}
\]

где $c$-произвольная постоянная. Уравнение (2.11) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
\[
{a^{\prime 2}}^{2}+\frac{1}{2} \beta a^{4}-c a^{2}=2 E .
\]

Уравнения (2.12) и (2.13) совместны, если $c=-m^{2}$ и $E=0$ и в этом случае сводятся к одному уравнению
\[
a^{\prime 2}+\frac{1}{2} \beta a^{4}+m^{2} a^{2}=0 .
\]

Ненулевые решения этого уравнения существуют толыко при $\beta<0$ и имегот вид
\[
a(\zeta)=m(2 /|\beta|)^{1 / 2} / \cos \left(m \zeta-\zeta_{0}\right) .
\]

Этому решению соответствует опрокидывающийся солитон уравнения (2.5), который после обозначения $\lambda=$ $=m \lambda_{1}, \varphi=m \varphi_{1}$ определяется формулами
\[
\begin{array}{c}
v(t, x, y)=\lambda \frac{(2 /|\beta|)^{1 / 2} \exp (i(\lambda x-\varphi))}{\cos (\lambda x-\varphi)}, \\
\lambda_{t}+2 \lambda \lambda_{y}=0, \quad \varphi_{t}+2 \lambda \varphi_{y}=0 .
\end{array}
\]

Солитон (2.16) является периодической функцией по $x$ с периодом $T(t, y)=2 \pi / \lambda(t, y)$, имеющей движущиеся полюсы первого порядка с координатами
\[
x_{n}(t, y)=\left(\varphi(t, y)+\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi\right) / \lambda(t, y) .
\]

Во всех параметрах солитона (2.16) происходит явление опрокидывания, поскольку функция $\lambda(t, y)$ удовлетворяет уравнению волны Римана.

Замечание. Если в формулах (2.9) $b=b(\xi)-$ неизвестная функция, то после подстановки (2.9) в уравнения (2.7), (2.8) с необходимостью следует, что функция $b(\zeta)$ является линейной. Поэтому опрокидывающийся солитон вида (2.16) для уравнения (2.5) является единственным в классе (2.9) и существует только при $\beta<0$.