I. В предыдущих главах были найдены весьма общие алгебраические конструкции интегрируемых нелинейных уравнений, которые в простейших случаях переходят в систему Вольтерра
\[
\dot{u}_{k}=u_{k}\left(u_{k+1}-u_{k-1}\right) .
\]

В данном параграфе мы укажем конструкцию интегрируемых гамильтоповых систем, связапных с простыми алгебрами Ли, которая в случае алгебры Ли типа $A_{n}$ приводит к системе (2.1).

Рассмотрим в простой алгебре Ли \& уравнение (1.7), где векторы $\mathrm{L}(t), \mathrm{A}(t)$ определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}(t)=E \sum_{i=0}^{n} b_{i}(t) e_{\omega_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=0}^{n} m_{i j}(t)\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right], \\
\mathrm{A}(t)=E \sum_{i=0}^{n} k_{i} b_{i}^{-1} \cdot e_{\omega_{i}} .
\end{array}
\]

Здесь $\omega_{0}, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ – допустимый набор корней (1.4), положительные целые числа $k_{i}$ определены из условия (1.5), $m_{i j}(t)=-m_{j i}(t), E$ – произвольный параметр. В силу равенств (1.6) уравнение (1.7), (2.2) эквивалентно системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i=0}^{n} k_{i}\left[e_{\omega_{i}}, e_{-\omega_{i}}\right]=\sum_{i=0}^{n} k_{i} \omega_{i}=0 \\
\dot{m}_{i j}(t)\left[e_{\omega_{i}}, e_{\omega_{j}}\right]=0 \\
\dot{b}_{i}(t) e_{\omega_{i}}=\sum_{s=0}^{n} m_{s i}(t) k_{s} b_{s}^{-1}(t)\left[\left[e_{\omega_{s}}, e_{\omega_{i}}\right], e_{-\omega_{s}}\right]= \\
=\sum_{s=0}^{n} m_{s i}(t) k_{s} b_{s}^{-1}(t)\left(\omega_{i}, \omega_{s}\right) e_{\omega_{i}} .
\end{array}
\]

Первое уравнение (2.3) справедливо тождественно в силу равенства (1.5). Из второго уравнепия следует, что $m_{i j}(t)=$ const. Уравнение (2.4) эквивалентно динамической системе
\[
\dot{b}_{i}=\sum_{j=0}^{n} m_{j i}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) k_{j} b_{j}^{-1},
\]

которая имеет гамильтонов вид
\[
\dot{b}_{i}=\sum_{j=0}^{n} \mu_{i j} \frac{\partial H}{\partial b_{j}}, \quad H=\ln \prod_{j=0}^{n} b_{j}^{k j},
\]

где $\mu_{i j}=m_{j i}\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right), \mu_{i j}=-\mu_{j i}$. Постоянная матрица $\mu_{i j}$ является кососимметрической, и ее ненулевые элементы отвечают ребрам пополненного графа Дынкина $\Gamma$ соответствующей простой алгебры Ли (8. Если все $\mu_{i j}
eq 0$ при $\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right)
eq 0$, то матрица $\mu$ имеет максимальный возможный ранг. Поэтому динамическая система (2.5) гамильтонова и гамильтониан $H$ (2.6) является ее простейшим первым интегралом. Согласно проведенному выводу система (2.5) имеет эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром (1.7), (2.2) и, следовательно, обладает большим набором первых интегралов вида (1.15) и интегрируется в тэта-функциях римановых поверхностей.

Уравнения (2.5) после замены переменшых $a_{i}(t)=$ $=b_{i}^{-1}(t)$ принимают эквивалентный вид
\[
\dot{a}_{i}(t)=a_{i}^{2}(t) \sum_{s=0}^{n} m_{i s}\left(\omega_{i}, \omega_{s}\right) k_{s} a_{s}(t) .
\]

Как известно, вершины $\omega_{i}, \omega_{s}$ пополненного графа $\Gamma$ соединены ребрами только в том случае, если $\left(\omega_{i}, \omega_{s}\right)
eq 0$. Введем произвольные постоянные $\mu_{i s}=m_{i s}\left(\omega_{i}, \omega_{s}\right)$, соответствующие ребрам графа $\Gamma$ с фиксированным порядком вершин: $\mu_{i s}=-\mu_{s i}$. Тогда система (2.7) принимает вид
\[
\dot{a}_{i}(t)=a_{i}^{2}(t)\left(\sum \mu_{i s} k_{s} a_{s}(t)\right),
\]

где суммирование осуществляется по всем вершинам $\omega_{s}$ графа $\Gamma$, соединенным с вершиной $\omega_{i}$ одним или несколькими ребрами.
Введем новые переменные
\[
x_{i j}(t)=\mu_{i j} a_{i}(t) a_{j}(t),
\]

которые отвечают ребрам графа $\Gamma$ с указанием порядка вершин $\omega_{i}, \omega_{j}$, причем $x_{i j}(t)=-x_{j i}(t)$; ребрам, соединяющим одинаковые верпины, соответствуют одни и те же переменные $x_{i j}(t)$. Из систем уравнений (2.7)-(2.9) следует динамическая система в координатах $x_{i j}(t)$ :
\[
\dot{x}_{i j}=x_{i j}\left(\sum_{s=0}^{n} k_{s}\left(x_{i s}+x_{j s}\right)\right) .
\]

Здесь $x_{i s}=0$, если нет ребра, соединяющего вершины $\omega_{i}$ и $\omega_{s}$ графа $\Gamma$.

Число ребер графа $\Gamma$ (без кратностей) на 1 меньше числа вершин (для алгебры Ли типа $A_{n}$ эти два числа совпадают). Поэтому число независимых переменных $x_{i j}(t)$ равно $n$ п на 1 меньше числа переменных $a_{i}(t)$. Динамическая система (2.10) является редукцией системы (2.7) – (2.8), допускающей матричное представление (1.7), (2.2). Поэтому система (2.10) также имеет набор первых интегралов; их число на 1 меньше числа независимых интегралов (1.15) $I_{k}=\operatorname{Tr}(T(\mathrm{~L}))^{\boldsymbol{k}} \quad$ системы $(2.7)-(2.8)$.

Укажем явный вид динамических систем (2.8), (2.10), соответствующих девяти типам простых алгебр Ли по классификации Картана. Используем стандартную нумерацию вершин графа $\Gamma$ и введем переменные $u_{k}(t)=x_{i j}(t)$, $\mu_{k}=\mu_{i j}$, соответствующие ребрам графа $\Gamma$ с возрастающим порядком вершин ( $i<j$ ). Для каждого типа простых алгебр Ли укажем также соответствующий граф $\Gamma$ и линейное соотношение (1.5) (см. [66]).

Граф $\Gamma$ и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $A_{n}$ имеют вид

Соответствующие динамические системы определяются формулами
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{k}=a_{k}^{2}\left(\mu_{k} a_{k+1}-\mu_{k-1} a_{k-1}\right), \\
\dot{u}_{k}=u_{k}\left(u_{k+1}-u_{k-1}\right),
\end{array}
\]

где $u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1}, a_{n+1}=a_{0}, u_{n+1}=u_{0}$. Динамическая система (2.12) совпадает с системой Вольтерра (2.1) в периодическом случае.

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $B_{n}$, $n \geqslant 3$, имеют вид

Система (2.8) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{0}=2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{2}, \quad \dot{a}_{1}=2 a_{1}^{2} \mu_{1} a_{2}, \\
\dot{a}_{2}=a_{2}^{2}\left(2 \mu_{2} a_{3}-\mu_{0} a_{0}-\mu_{1} a_{1}\right), \\
\dot{a}_{k}=2 a_{k}^{2}\left(\mu_{k} a_{k+1}-\mu_{k-1} a_{k-1}\right), \quad \dot{a}_{n}=-2 a_{n}^{2} \mu_{n-1} a_{n-1} .
\end{array}
\]

Переменные $u_{k}$ связаны с переменными $a_{j}$ формулами $(1 \leqslant k \leqslant n-1)$ :
\[
u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{2}, \quad u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1} .
\]

Соответствующая система (2.10) имеет вид $(3 \leqslant k \leqslant$ $\leqslant n-2)$.
\[
\begin{array}{r}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(2 u_{2}-u_{1}+u_{0}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(2 u_{2}-u_{0}+u_{1}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(2 u_{3}-u_{1}-u_{0}\right), \\
\dot{u}_{k}=2 u_{k}\left(u_{k+1}-u_{k-1}\right), \quad \dot{u}_{n-1}=-2 u_{n-1} u_{n-2} .
\end{array}
\]

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $C_{n}$, $n \geqslant 2$, имеют вид
\[
\overbrace{\omega_{0} \omega_{1}}^{u_{0}} u_{\omega_{2}+2 \omega_{1}+2 \omega_{2}+\ldots+2 \omega_{n-1}+\omega_{n}=0}^{u_{1}} \cdots \quad \cdots \underbrace{u_{n-2}}_{\omega_{n-1} \omega_{n}}
\]

Соответствующая динамическая система (2.8) принимает вид $(2 \leqslant k \leqslant n-2)$
\[
\begin{aligned}
\dot{a}_{0} & =2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{1}, \quad \dot{a}_{1}=a_{1}^{2}\left(2 \mu_{1} a_{2}-\mu_{0} a_{0}\right), \\
\dot{a}_{k} & =2 a_{k}^{2}\left(\mu_{k} a_{k+1}-\mu_{k-1} a_{k-1}\right), \\
\dot{a}_{n-1} & =a_{n-1}^{2}\left(\mu_{n-1} a_{n}-2 \mu_{n-2} a_{n-2}\right), \quad \dot{a}_{n}=-2 a_{n}^{2} \mu_{n-1} a_{n-1} .
\end{aligned}
\]

В переменных $u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1}$ получаем динамическую систему вида (2.10) $(2 \leqslant k \leqslant n-3)$
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(2 u_{1}+u_{0}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(2 u_{2}-u_{0}\right) \\
\dot{u}_{k}=2 u_{k}\left(u_{k+1}-u_{k-1}\right)
\end{array}
\]
\[
\dot{u}_{n-2}=u_{n-2}\left(u_{n-1}-2 u_{n-3}\right), \quad \dot{u}_{n-1}=-u_{n-1}\left(u_{n-1}+2 u_{n-2}\right) \text {. }
\]

Граф $\Gamma$ и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $D_{n}$, $n \geqslant 3$, имеют вид

Соответствующая динамическая система (2.8) принимает

\[
\begin{array}{c}
\text { вид }(3 \leqslant k \leqslant n-3) \\
\dot{a}_{0}=2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{2}, \quad \dot{a}_{1}=2 a_{1}^{2} \mu_{1} a_{2}, \quad \dot{a}_{2}=a_{2}^{2}\left(2 \mu_{2} a_{3}-\mu_{0} a_{0}-\mu_{1} a_{1}\right), \\
\dot{a}_{k}=2 a_{k}^{2}\left(\mu_{k} a_{k+1}-\mu_{k-1} a_{k-1}\right), \\
\dot{a}_{n-2}=a_{n-2}^{2}\left(\mu_{n-2} a_{n-1}+\mu_{n-1} a_{n}-2 \mu_{n-3} a_{n-3}\right), \\
\dot{a}_{n-1}=-2 a_{n-1}^{2} \mu_{n-2} a_{n-2}, \quad \dot{a}_{n}=-2 a_{n}^{2} \mu_{n-1} a_{n-2} .
\end{array}
\]

Переменные $u_{i}$ определены формулами ( $1 \leqslant k \leqslant n-2$ )
\[
u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{2}, \quad u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1}, \quad u_{n-1}=\mu_{n-1} a_{n-2} a_{n} .
\]

Динамическая система (2.10) в этих переменных имеет вид $(3 \leqslant k \leqslant n-4)$
\[
\begin{aligned}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(2 u_{2}-u_{1}+u_{0}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(2 u_{2}-u_{0}+u_{1}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(2 u_{3}-u_{0}-u_{1}\right),
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}_{k}=2 u_{k}\left(u_{k+1}-u_{k-1}\right), \quad \dot{u}_{n-3}=u_{n-3}\left(u_{n-2}+u_{n-1}-2 u_{n-4}\right), \\
\dot{u}_{n-2}=u_{n-2}\left(-u_{n-2}+u_{n-1}-2 u_{n-3}\right), \\
\dot{u}_{n-1}=u_{n-1}\left(-u_{n-1}+u_{n-2}-2 u_{n-3}\right) .
\end{array}
\]

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $E_{6}$ имеют вид

Соответствующая динамическая система (2.8) определена формулами
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{0}=2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{2}, \quad \dot{a}_{1}=2 a_{1}^{2} \mu_{1} a_{3}, \quad \dot{a}_{2}=a_{2}^{2}\left(3 \mu_{2} a_{4}-\mu_{0} a_{0}\right), \\
\dot{a}_{3}=a_{3}^{2}\left(3 \mu_{3} a_{4}-\mu_{1} a_{1}\right), \quad \dot{a}_{4}=a_{4}^{2}\left(2 \mu_{4} a_{5}-2 \mu_{3} a_{3}-2 \mu_{2} a_{2}\right), \\
\dot{a}_{5}=a_{5}^{2}\left(\mu_{5} a_{6}-3 \mu_{4} a_{4}\right), \quad \dot{a}_{6}=-2 a_{6}^{2} \mu_{5} a_{5} .
\end{array}
\]

Переменные $u_{i}$ заданы выражениями $(k=3,4,5$ )
\[
u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{2}, \quad u_{1}=\mu_{1} a_{1} a_{3}, \quad u_{2}=\mu_{2} a_{2} a_{4}, \quad u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1} .
\]

Динамическая система (2.10) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(3 u_{2}+u_{0}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(3 u_{3}+u_{1}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(2 u_{4}-2 u_{3}+u_{2}-u_{0}\right), \\
\dot{u}_{3}=u_{3}\left(2 u_{4}+u_{3}-2 u_{2}-u_{1}\right), \quad \dot{u}_{4}=u_{4}\left(u_{5}-u_{4}-2 u_{3}-2 u_{2}\right), \\
\dot{u}_{5}=-u_{5}\left(u_{5}+3 u_{4}\right) .
\end{array}
\]

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли тиша $E_{7}$ имеют вид

Соответствующая динамическая система (2.8) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{0}=2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{1}, \quad \dot{a}_{1}=a_{1}^{2}\left(3 \mu_{1} a_{3}-\mu_{0} a_{0}\right), \quad \dot{a}_{2}=4 a_{0}^{2} \mu_{2} a_{4}, \\
\dot{a}_{3}=a_{3}^{2}\left(4 \mu_{3} a_{4}-2 \mu_{1} a_{1}\right), \quad \dot{a}_{4}=a_{4}^{2}\left(3 \mu_{4} a_{5}-3 \mu_{3} a_{3}-2 \mu_{2} a_{2}\right), \\
\dot{a}_{5}=a_{5}^{2}\left(2 \mu_{5} a_{6}-4 \mu_{4} a_{4}\right), \quad \dot{a}_{6}=a_{6}^{2}\left(\mu_{6} a_{7}-3 \mu_{5} a_{5}\right), \\
\dot{a}_{7}=-2 a_{7}^{2} \mu_{6} a_{6} .
\end{array}
\]

Переменные $u_{i}$ связаны с $a_{j}, a_{k}$ формулами $(k=3,4,5,6$ )
\[
u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{1}, u_{1}=\mu_{1} a_{1} a_{3}, u_{2}=\mu_{2} a_{2} a_{4}, u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1} .
\]

В этих переменных динамическая система (2.10) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(3 u_{1}+u_{0}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(4 u_{3}+u_{1}-u_{0}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(3 u_{4}-3 u_{3}+2 u_{2}\right), \\
\dot{u}_{3}=u_{3}\left(3 u_{4}+u_{3}-2 u_{2}-2 u_{1}\right), \quad \dot{u}_{4}=u_{4}\left(2 u_{5}-u_{4}-3 u_{3}-2 u_{2}\right),
\end{array}
\]
\[
\dot{u}_{5}=u_{5}\left(u_{6}-u_{5}-4 u_{4}\right), \quad \dot{u}_{6}=-u_{6}\left(u_{6}+3 u_{5}\right) .
\]

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $E_{8}$ имеют вид

Соответствующая динамическая система (2.8) задана уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{0}=-2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{8}, \quad \dot{a}_{1}=4 a_{1}^{2} \mu_{1} a_{3}, \\
\dot{a}_{2}=6 a_{2}^{2} \mu_{2} a_{4}, \quad a_{3}=a_{3}^{2}\left(6 \mu_{3} a_{4}-2 \mu_{1} a_{1}\right) \\
\dot{a}_{4}=a_{4}^{2}\left(5 \mu_{4} a_{5}-4 \mu_{3} a_{3}-3 \mu_{2} a_{2}\right), \quad \dot{a}_{5}=a_{5}^{2}\left(4 \mu_{5} a_{6}-6 \mu_{4} a_{4}\right) \\
\dot{a}_{6}=a_{6}^{2}\left(3 \mu_{6} a_{7}-5 \mu_{5} a_{5}\right), \quad \dot{a}_{7}=a_{7}^{2}\left(2 \mu_{7} a_{8}-4 \mu_{6} a_{6}\right) \\
\dot{a}_{8}=a_{8}^{2}\left(\mu_{0} a_{0}-3 \mu_{7} a_{7}\right) .
\end{array}
\]

Переменные $u_{i}$ определены формулами ( $3 \leqslant k \leqslant 7$ )
\[
u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{8}, \quad u_{1}=\mu_{1} a_{1} a_{3}, \quad u_{2}=\mu_{2} a_{2} a_{4}, \quad u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1} .
\]

Динамическая система (2.10) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{u}_{0}=-u_{0}\left(u_{0}+3 u_{7}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(2 u_{1}+4 u_{3}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(3 u_{2}+5 u_{4}-4 u_{3}\right), \quad \dot{u}_{3}=u_{3}\left(-2 u_{1}-3 u_{2}+2 u_{3}+5 u_{4}\right),
\end{array}
\]
\[
\dot{u}_{4}=u_{4}\left(-3 u_{2}-4 u_{3}-u_{4}+4 u_{5}\right), \quad \dot{u}_{5}=u_{5}\left(-6 u_{4}-u_{5}+3 u_{6}\right),
\]
\[
\dot{u}_{6}=u_{6}\left(-5 u_{5}-u_{6}+2 u_{7}\right), \quad \dot{u}_{7}=u_{7}\left(-4 u_{6}-u_{7}+u_{0}\right) .
\]

Граф Г и уравнение (1.5) для алгебры Ли типа $F_{4}$ имеют вид

Соответствующая динамическая система (2.8) определена формулами
\[
\begin{array}{c}
\dot{a}_{0}=2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{1}, \quad \dot{a}_{1}=a_{1}^{2}\left(3 \mu_{1} a_{2}-\mu_{0} a_{0}\right), \quad \dot{a}_{2}=a_{2}^{2}\left(4 \mu_{2} a_{3}-2 \mu_{1} a_{1}\right), \\
\dot{a}_{3}=a_{3}^{2}\left(2 \mu_{3} a_{4}-3 \mu_{2} a_{2}\right), \quad \dot{a}_{4}=-4 a_{4}^{2} \mu_{3} a_{3} .
\end{array}
\]

В перемепных $u_{k}=\mu_{k} a_{k} a_{k+1}$ динамическая система принимает вид
\[
\begin{array}{ll}
\dot{u}_{0}=u_{0}\left(3 u_{1}+u_{0}\right), & \dot{u}_{1}=u_{1}\left(4 u_{2}+u_{1}-u_{0}\right), \\
\dot{u}_{2}=u_{2}\left(2 u_{3}+u_{2}-2 u_{1}\right), & \dot{u}_{3}=-u_{3}\left(2 u_{3}+3 u_{2}\right) .
\end{array}
\]

Граф Г и уравпение (1.5) для алгебры Ли типа $G_{2}$ пмеют вид
$\omega_{0}+3 \omega_{1}+2 \omega_{2}=0$

Соответствующая динамическая система (2.8) задана уравнениями
\[
\dot{a}_{0}=-2 a_{0}^{2} \mu_{0} a_{2}, \quad \dot{a}_{1}=2 a_{1}^{2} \mu_{1} a_{2}, \quad \dot{a}_{2}=a_{2}^{2}\left(\mu_{0} a_{0}-3 \mu_{1} a_{1}\right) .
\]

В переменных $u_{0}=\mu_{0} a_{0} a_{2}$ и $u_{1}=\mu_{1} a_{1} a_{2}$ получаем двумерную динамическую систему
\[
\dot{u}_{0}=-u_{0}\left(u_{0}+3 u_{1}\right), \quad \dot{u}_{1}=u_{1}\left(u_{0}-u_{1}\right) .
\]

Построенные динамические системы (2.13)-(2.28) и являются алгебраическими аналогами системы Вольтерра (2.1), связанными с простыми алгебрами Ли.