I. В данном параграфе мы покажем, что двумерное интегрируемое уравнение $(1.21)$ — (1.22) косвенно связано с уравнением Кадомцева — Петвиашвили [39]
$${(v_t-6v{v}_x+v_{xxx})}_x={\sigma }^2{v}_{yy}.$$

Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Двумерное уравнение
$$\begin{array}{rl}(u_{tx}-\beta (4u_x{u}_{xy}+2u_{xx}{u}_y-u_{xxxy})& {-\gamma (6u_x{u}_{xx}-u_{xxxx}))}_x=\\ & =-{\alpha }^2(\beta u_{yyy}+3\gamma u_{xyy})\end{array}$$

допускает представление Лакса ( ${\alpha }^2,\beta ,\gamma$-произвольные вещественные постоянные).

Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$, где операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ имеют вид
$$\begin{array}{c}\mathrm{L}={\mathrm{L}}_1+\alpha {\partial }_y,{\mathrm{L}}_1=-{\partial }_x^2+u_x(t,x,y),\\ \mathrm{A}=\beta {\mathrm{A}}_1+\gamma {\mathrm{A}}_2-2\alpha \beta {\partial }_y^2+\alpha w(t,x),\\ {\mathrm{A}}_1=-2({\partial }_y{\mathrm{L}}_1+{\mathrm{L}}_1{\partial }_y)-u_y{\partial }_x-{\partial }_x{u}_y,\\ {\mathrm{A}}_2=4{\partial }_x^3-3(u_x{\partial }_x+{\partial }_x{u}_x).\end{array}$$

Операторы $A_1,A_2$ совпадают с операторами (1.19), (1.20). Из результатов § 1 следует, что коммутатор операторов L и А имеет вид
$$\begin{array}{c}[\mathrm{L},\mathrm{A}]=\beta (4u_x{u}_{xy}+2u_{xx}{u}_y-u_{xxxy})+\gamma (6u_x{u}_{xx}-u_{xxxx})-\\ -\alpha (b{\partial }_x+{\partial }_{x}b)+{\alpha }^2{w}_y,b=w_x+\beta u_{yy}+3\gamma u_{xy}.\end{array}$$

Поэтому уравнение Лакса (1.17) с операторами L и А вида (5.3) эквивалентно двум уравнениям
$$\begin{array}{c}{u}_{tx}=\beta (4u_x{u}_{xy}+2u_{xx}{u}_y-u_{xxxy})+\gamma (6u_x{u}_{xx}-u_{xxxx})+{\alpha }^2{w}_y,\\ w_x=-\beta u_{yv}-3\gamma u_{xy}.\end{array}$$

Исключая из этих двух уравнений функцию $w(t,x,y)$, приходим к уравнению (5.2). Следовательно, уравнение (5.2) эквивалентно уравнению Лакса (1.17), (5.3).

Косвенная связь уравнений (1.21)-(1.22) и уравнения Кадомцева — Петвиашвили (5.1) состоит в том, что оба эти уравнения представляют собой специальные случаи при $\alpha =0$ и при $\beta =0$ двумерного интегрируемого уравнения (5.2) (уравнение (5.1) вкладывается в (5.2). подстановкой $v=u_x$ ).
II. Укажем дополнительно явный вид оператора A (5.3):
$$\begin{array}{rl}A=\beta (4{\partial }_x^2{\partial }_y-2u_y{\partial }_x& -4u_x{\partial }_y-3u_{xy})-2\alpha \beta {\partial }_y^2+\\ & +\gamma (4{\partial }_x^3-6u_x{\partial }_x-3u_{xx})+\alpha w.\end{array}$$

При вещественных $\alpha ,\beta$ и чисто мнимом $\alpha$ оператор $\mathrm{A}$ косоэрмитов, а оператор $L$ (5.3) эрмитов.

В представлении Лакса для уравнения (5.2) при $\alpha eq$ $eq0$ оператор $\mathrm{A}$ можно заменить на оператор ${\mathrm{A}}_0=\mathrm{A}+$ $+2{\alpha }^{-1}\beta {\mathrm{L}}^2$, так как $[\mathrm{L},\mathrm{A}]=[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_0]$. Оператор ${\mathrm{A}}_0$ имеет следующий вид
$${\mathrm{A}}_0=2{\alpha }^{-1}\beta {\mathrm{L}}_1^2-\beta (u_y{\partial }_x+{\partial }_x{u}_y)+\gamma {\mathrm{A}}_2+\alpha w.$$

Этот оператор, в отличие от оператора А (5.6), не содержит дифференциальных операторов ${\partial }_y,{\partial }_y^2$. Поэтому уравнение (5.2) может быть отнесено к иерархии уравнения KII [171].

Представление Лакса для уравнения (5.2) с оператором $\mathrm{L}={\mathrm{L}}_1+\alpha {\partial }_y$ и оператором ${\mathrm{A}}_0$ (5.7) не допускает предельного перехода $\alpha \to 0$, а с оператором А (5.6) допускает такой предельный переход.

Отметим, что несмотря на указанную связь, свойства двумерного уравнения (1.21) — (1.22) и уравнений (5.1), (5.2) существенно различны. Уравнение Кадомцева Петвиашвили (5.1) и уравнение (5.2) вообще не имеют никаких опрокидывающихся солитонов; все их решения при изменении времени остаются однозначными, в отличие от решений уравнения (1.21) — (1.22).

Замечание. Уравнение (5.2) после применения линейного преобразования координат
$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-{\beta }^{-1}\gamma y-2{\alpha }^2{\beta }^{-2}{\gamma }^{3}t,\\ y^{\prime }=y+3{\alpha }^2{\beta }^{-1}{\gamma }^{2}t,t^{\prime }=\beta t\end{array}$$

принимает вид (штрихи у координат $x^{\prime },y^{\prime },t^{\prime }$ опущены)
$${(u_{tx}-4u_x{u}_{xy}-2u_y{u}_{xx}+u_{xxxy})}_x=-{\alpha }^2{u}_{yyy}.$$

Поэтому уравнения (5.2) при различных ненулевых значениях параметров $\beta$, $\gamma$ эквивалентны одному уравнению (5.9). Уравнение (5.9) с помощью вещественной замены координат $t^{\prime }=\lambda t,y^{\prime }=\lambda y,x^{\prime }=x,\lambda =|\alpha {|}^{-1}$ приводится к одному из двух различных неэквивалентных уравнений, соответствующих знаку величины ${\alpha }^2$.