I. В данном параграфе мы покажем, что двумерное интегрируемое уравнение $(1.21)$ – (1.22) косвенно связано с уравнением Кадомцева – Петвиашвили [39]
\[
\left(v_{t}-6 v v_{x}+v_{x x x}\right)_{x}=\sigma^{2} v_{y y} .
\]
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Двумерное уравнение
\[
\begin{aligned}
\left(u_{t x}-\beta\left(4 u_{x} u_{x y}+2 u_{x x} u_{y}-u_{x x x y}\right)\right. & \left.-\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right)\right)_{x}= \\
& =-\alpha^{2}\left(\beta u_{y y y}+3 \gamma u_{x y y}\right)
\end{aligned}
\]
допускает представление Лакса ( $\alpha^{2}, \beta, \gamma$-произвольные вещественные постоянные).
Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса $\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$, где операторы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}=\mathrm{L}_{1}+\alpha \partial_{y}, \quad \mathrm{~L}_{1}=-\partial_{x}^{2}+u_{x}(t, x, y), \\
\mathrm{A}=\beta \mathrm{A}_{1}+\gamma \mathrm{A}_{2}-2 \alpha \beta \partial_{y}^{2}+\alpha w(t, x), \\
\mathrm{A}_{1}=-2\left(\partial_{y} \mathrm{~L}_{1}+\mathrm{L}_{1} \partial_{y}\right)-u_{y} \partial_{x}-\partial_{x} u_{y}, \\
\mathrm{~A}_{2}=4 \partial_{x}^{3}-3\left(u_{x} \partial_{x}+\partial_{x} u_{x}\right) .
\end{array}
\]
Операторы $A_{1}, A_{2}$ совпадают с операторами (1.19), (1.20). Из результатов § 1 следует, что коммутатор операторов L и А имеет вид
\[
\begin{array}{c}
{[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\beta\left(4 u_{x} u_{x y}+2 u_{x x} u_{y}-u_{x x x y}\right)+\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right)-} \\
-\alpha\left(b \partial_{x}+\partial_{x} b\right)+\alpha^{2} w_{y}, \quad b=w_{x}+\beta u_{y y}+3 \gamma u_{x y} .
\end{array}
\]
Поэтому уравнение Лакса (1.17) с операторами L и А вида (5.3) эквивалентно двум уравнениям
\[
\begin{array}{c}
u_{t x}=\beta\left(4 u_{x} u_{x y}+2 u_{x x} u_{y}-u_{x x x y}\right)+\gamma\left(6 u_{x} u_{x x}-u_{x x x x}\right)+\alpha^{2} w_{y}, \\
w_{x}=-\beta u_{y v}-3 \gamma u_{x y} .
\end{array}
\]
Исключая из этих двух уравнений функцию $w(t, x, y)$, приходим к уравнению (5.2). Следовательно, уравнение (5.2) эквивалентно уравнению Лакса (1.17), (5.3).
Косвенная связь уравнений (1.21)-(1.22) и уравнения Кадомцева – Петвиашвили (5.1) состоит в том, что оба эти уравнения представляют собой специальные случаи при $\alpha=0$ и при $\beta=0$ двумерного интегрируемого уравнения (5.2) (уравнение (5.1) вкладывается в (5.2). подстановкой $v=u_{x}$ ).
II. Укажем дополнительно явный вид оператора A (5.3):
\[
\begin{aligned}
A=\beta\left(4 \partial_{x}^{2} \partial_{y}-2 u_{y} \partial_{x}\right. & \left.-4 u_{x} \partial_{y}-3 u_{x y}\right)-2 \alpha \beta \partial_{y}^{2}+ \\
& +\gamma\left(4 \partial_{x}^{3}-6 u_{x} \partial_{x}-3 u_{x x}\right)+\alpha w .
\end{aligned}
\]
При вещественных $\alpha, \beta$ и чисто мнимом $\alpha$ оператор $\mathrm{A}$ косоэрмитов, а оператор $L$ (5.3) эрмитов.
В представлении Лакса для уравнения (5.2) при $\alpha
eq$ $
eq 0$ оператор $\mathrm{A}$ можно заменить на оператор $\mathrm{A}_{0}=\mathrm{A}+$ $+2 \alpha^{-1} \beta \mathrm{L}^{2}$, так как $[\mathrm{L}, \mathrm{A}]=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{0}\right]$. Оператор $\mathrm{A}_{0}$ имеет следующий вид
\[
\mathrm{A}_{0}=2 \alpha^{-1} \beta \mathrm{L}_{1}^{2}-\beta\left(u_{y} \partial_{x}+\partial_{x} u_{y}\right)+\gamma \mathrm{A}_{2}+\alpha w .
\]
Этот оператор, в отличие от оператора А (5.6), не содержит дифференциальных операторов $\partial_{y}, \partial_{y}^{2}$. Поэтому уравнение (5.2) может быть отнесено к иерархии уравнения KII [171].
Представление Лакса для уравнения (5.2) с оператором $\mathrm{L}=\mathrm{L}_{1}+\alpha \partial_{y}$ и оператором $\mathrm{A}_{0}$ (5.7) не допускает предельного перехода $\alpha \rightarrow 0$, а с оператором А (5.6) допускает такой предельный переход.
Отметим, что несмотря на указанную связь, свойства двумерного уравнения (1.21) – (1.22) и уравнений (5.1), (5.2) существенно различны. Уравнение Кадомцева Петвиашвили (5.1) и уравнение (5.2) вообще не имеют никаких опрокидывающихся солитонов; все их решения при изменении времени остаются однозначными, в отличие от решений уравнения (1.21) – (1.22).
Замечание. Уравнение (5.2) после применения линейного преобразования координат
\[
\begin{array}{c}
x^{\prime}=x-\beta^{-1} \gamma y-2 \alpha^{2} \beta^{-2} \gamma^{3} t, \\
y^{\prime}=y+3 \alpha^{2} \beta^{-1} \gamma^{2} t, \quad t^{\prime}=\beta t
\end{array}
\]
принимает вид (штрихи у координат $x^{\prime}, y^{\prime}, t^{\prime}$ опущены)
\[
\left(u_{t x}-4 u_{x} u_{x y}-2 u_{y} u_{x x}+u_{x x x y}\right)_{x}=-\alpha^{2} u_{y y y} .
\]
Поэтому уравнения (5.2) при различных ненулевых значениях параметров $\beta$, $\gamma$ эквивалентны одному уравнению (5.9). Уравнение (5.9) с помощью вещественной замены координат $t^{\prime}=\lambda t, y^{\prime}=\lambda y, x^{\prime}=x, \lambda=|\alpha|^{-1}$ приводится к одному из двух различных неэквивалентных уравнений, соответствующих знаку величины $\alpha^{2}$.
