I. Рассмотрим вращение спутниқа Земли по круговой орбите радиуса $R$, в предположении, что гравитационное поле Земли является сферически симметричным с потенциалом $\varphi=-G m r^{-1}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $m$ – масса Земли. Предположим, что центр масс спутника движется по круговой орбите радиуса $R$, т. е. вращение спутника вокруг центра масс не влияет на орбиту. Угловая скорость $\Omega$ вращения спутника по орбите определяется формулой $\Omega^{2}=G m R^{-3}$. Пусть $\mathbf{M}$ – вектор кинетического момента спутника в неподвижной системе отсчета $F$, вектор $\boldsymbol{\gamma}$ является радиус-вектором центра масс, вектор $\mathbf{n}$ является постоянным вектором нормали к орбите, единичный вектор $\alpha$ является касательным к орбите по ваправлению движения спутника, $\alpha=\mathbf{n} \times \boldsymbol{\gamma}$. В дальнейпем все векторы рассматриваются во вращающейся системе отсчета $S$, жестко связанной со спутником $T$; в системе $S$ тензор инерции является диагональным: $I_{i k}=I_{i} \delta_{i k}$.

Момент $K$ гравитационных сил ньютоновского потенциала $\varphi=-G m r^{-1}$, действующих на спутник $T$, в главном приближении определяется формулой [130]
\[
\mathbf{K}=3 \Omega^{2} \boldsymbol{\gamma} \times I \boldsymbol{\gamma}, \quad \Omega^{2}=G m R^{-3} .
\]

Уравнения вращения спутника вокруг центра масс в системе отсчета $S$ имеют вид [130]
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+3 \Omega^{2} \boldsymbol{\gamma} \times I \boldsymbol{\gamma}, & \boldsymbol{\omega}=I^{-1} \mathbf{M}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega}-\Omega \mathbf{n}), & \mathbf{\mathbf { n }}=\mathbf{n} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим алгебру Ли $L_{9}$, являющуюся полупрямой суммой алгебр Ли $\mathrm{SO}(3)+\mathbb{R}^{3}+\mathbb{R}^{3}$ (см. (2.4)). Векторы сопряженного пространства $L_{9}^{*}$ в соответствии с указанным разложением представим в виде $\mathbf{M}+\boldsymbol{\gamma}+\mathbf{n}$. Уравнения Эйлера с гамильтониапо $H(\mathbf{M}, \boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})$ в пространстве $L_{9}^{*}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\gamma}}+\mathbf{n} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{n}}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}, \quad \dot{\mathbf{n}}=\mathbf{n} \times \frac{\partial I}{\partial \mathbf{M}} .
\end{array}
\]

Возьмем гамильтониан $H(\mathbf{M}, \boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})$ в виде
\[
H(\mathbf{M}, \boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})=\frac{1}{2}\left(\mathbf{M}, I^{-1} \mathbf{M}\right)+\frac{1}{2} 3 \Omega^{2}(\boldsymbol{\gamma}, I \boldsymbol{\gamma})-\Omega(\mathbf{M}, \mathbf{n}) .
\]

Справедливы равенства
\[
\frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}=I^{-1} \mathbf{M}-\Omega \mathbf{n}=\omega-\Omega \mathbf{n}, \quad \frac{\partial H}{\partial \mathbf{n}}=-\Omega \mathbf{M} .
\]

Уравнения (3.3) с гамильтонианом (3.4) в силу равенств (3.5) совпадают с уравнениями (3.2). Следовательно, уравнения (3.2) являются уравнениями Эйлера в коалгебре Ли $L_{9}$.

Уравнения Эйлера (3.2)-(3.4) в силу общей теории [120] являются гамильтоновыми с гамильтонианом (3.4) на шестимерных симплектических подмногообразиях $M^{6}=\mathrm{SO}(3) \times \mathbb{R}^{3}$, определяемых в пространстве $L_{9}^{*}$ тремя геометрическими условиями
\[
(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma})=1, \quad(\mathbf{n}, \mathbf{n})=1, \quad(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})=0 .
\]

Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю общей системы (3.3) в принципе достаточно иметь два инволютивных первых интеграла, не зависящих от гамильтониана $H$ (3.4). В случае симметричного тензора инерции $I_{1}=I_{2}$ имеется один дополиительный первый ивтеграл $J_{1}=M_{3}$.
II. При учете несферичности Земли момент К гравитационных сил, действующих на спутник, определяется формулой
\[
\mathbf{K}=\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\gamma}}+\mathbf{n} \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{n}},
\]

где $U(\gamma, \mathbf{n})$ – некоторая потенциальная функция. Уравнения вращения спутника в системе $S$ принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial J}{\partial \gamma}+\mathbf{n} \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{n}}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega}-\Omega \mathbf{n}), \quad \dot{\mathbf{n}}=\mathbf{n} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}
\]

Уравнения (3.8) также являются уравнениями Эйлера на коалгебре Ли $L_{9}^{*}$ и имеют гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{M}, I^{-1} \mathbf{M}\right)+U(\gamma, \mathbf{n})-\Omega(\mathbf{M}, \mathbf{n}) .
\]
III. Для учета воздействия магнитного поля Земли предположим, что вдоль орбиты спутника магнитное поле имеет напряженность $h \beta$, где $\beta$ – единичный вектор, имеющий постоянные координаты в базисе $\alpha, \gamma, \mathbf{n}$. Пусть $\mathfrak{M}$ – вектор магнитного момента спутника (постоянный в системе отсчета $S$ ). Тогда уравнения вращения спутника в системе $S$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{\gamma}}+\mathbf{n} \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{n}}+h \tilde{\mathfrak{M}} \times \boldsymbol{\beta}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\Omega} \mathbf{n}), \dot{\mathbf{n}}=\mathbf{n} \times \boldsymbol{\omega}, \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\Omega} \mathbf{n}) .
\end{array}
\]

Эти уравнения являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве $L_{12}^{*}$ к алгебре Ли $L_{12}$, являющейся полупрямой суммой алгебр Ли: $L_{12}=\mathrm{SO}(3)+\mathbb{R}^{3}+\mathbb{R}^{3}+$ $+\mathbb{R}^{3}$ (см. (2.4)) и имеют гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{M}, I^{-1} \mathbf{M}\right)+U(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})-\Omega(\mathbf{M}, \mathbf{n})-h(\mathfrak{M}, \boldsymbol{\beta}) .
\]

Уравнения (3.10) являются гамильтоновыми на симплектических подмногообразиях $M^{6}=\mathrm{SO}(3) \times \mathbb{R}^{3}$, определенных условиями (3.6) и условиями
\[
(\beta, \beta)=1 ; \quad(\beta, \gamma)=c_{1}, \quad(\beta, \mathbf{n})=c_{2} .
\]

IV. Предположим, что на спутнике имеется $n$ емкостей эллипсоидальной формы, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. В первом приближении можно считать, что жидкость в каждой емкости совершает однородное вихревое движение. Уравнения вращения спутника вокруг центра масс при учете воздействия несферичности Земли и ее магнитного поля принимают вид (в системе отсчета $S$ )
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial U}{\partial \gamma}+\mathbf{n} \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{n}}+h \mathfrak{M} \times \boldsymbol{\beta}, \\
\dot{\mathbf{K}}_{\alpha}=\mathbf{K}_{\alpha} \times \mathbf{B}_{\alpha}, \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times(\boldsymbol{\omega}-\Omega \mathbf{n}), \dot{\mathbf{n}}=\mathbf{n} \times \boldsymbol{\omega}, \\
\dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times(\boldsymbol{\omega}-\boldsymbol{\Omega n}) .
\end{array}
\]

Здесь $M$ – полный момент количества движения спутника (вместе с жидкостью в $n$ эллипсоидальных емкостях), А-угловая скорость вращения спутника вокруг центра масс, вектор $\mathbf{K}_{\alpha}$ определяет ротор (вихрь) скорости движения жидкости в $\alpha$-емкости. Векторы $\mathbf{A}, \mathbf{B}_{1}, \ldots$ $\ldots, \mathbf{B}_{n}$ связаны с векторами $\mathbf{M}, \mathbf{K}_{1}, \ldots, \mathbf{K}_{n}$ линейным преобразованием, коэффициенты которого зависят от тензора инерции спутника, размеров и расположения эллипсоидальных емкостей и плотности жидкости в них.

Уравнения (3.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L=L_{12} \otimes A_{n, 0}$ (см. § 2 , п. 5 ) и имеют гамильтониан
\[
\begin{array}{r}
H=2^{-1}(\mathbf{M}, \mathbf{A})+2^{-1} \sum_{\alpha=1}^{n}\left(\mathbf{K}_{\alpha}, \mathbf{B}_{\alpha}\right)+U(\boldsymbol{\gamma}, \mathbf{n})-\Omega(\mathbf{M}, \mathbf{n})- \\
-h(\mathfrak{M}, \boldsymbol{\beta}) .
\end{array}
\]

При отсутствии магнитного момента спутника ( $\mathfrak{R}=0$ ). уравнения (3.12) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L=L_{9} \oplus A_{n, 0}$.