I. В 1970 году М. Тода при численном исследовании различных моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой, взаимодействие которых определяется потенциалом
$$V=\sum _i\exp (q_i-q_{i+1})$$

где $q_i$ — отклонение $i$-й частицы от положения равновесия [63]. В дальнейшем в этой задаче был построен полный набор первых интегралов [64], найдена L-A пара и доказана интегрируемость по Лиувиллю $[44,65]$ цепочки Тода, которая в периодическом случае имеет гамильтониан
$$H=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n+1}{p}_i^2+\sum _{i=1}\exp (q-q_{i+1})+\exp (q_{n+1}-q_1).$$

Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [19] с помощью алгебро-геометрических методов.

В данном параграфе приводятся алгебрачческие обобщения цепочки Тода, связанные с простыми алгебрами Ли, которые были впервые построены в работе [59]. Воспользуемся классификацией Картана [66] простых алгебр Ли. Пусть $H$ — картановская подалгебра простой алгебры Ли (E), ${\alpha }_i\in H$ — набор корней, $e_{{\alpha }_i}\in \mathbb{G}$ — корневые векторы. В базисе Картана — Вейля справедливы коммутационные соотношения
$$\begin{array}{llrl}[h,e_{\alpha }]& =(h,\alpha )e_{\alpha },& [e_{\alpha ,},e_{-\alpha }]& =\alpha ,\\ [{\alpha }_i,h]& =0,& [e_{\alpha },e_{\beta }]& =N_{\alpha ,\beta }{e}_{\alpha +\beta },\end{array}$$

где $h\in H$ и $(h,\alpha )$ — скалярное произведение Киллинга Картана:
$$(x,y)=\mathrm{Tr}(\mathrm{ad}x\circ \mathrm{ad}y),\text{ ad }x(z)=[x,z].$$

Назовем набор корней ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_N$ допустимым, если для всех $i,j⩽N$ вектор ${\alpha }_i-{\alpha }_j$ не является корнем; тогда
$$[e_{{\alpha }_i},e_{-{\alpha }_j}]=0.$$

В каждой простой алгебре Ли имеется один важный допустимый набор корней
$${\omega }_0=-\mathrm{\Omega },{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n,$$

где ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ — простые корни (все корни ${\alpha }_i$ являются целочисленными линейными комбинациями ${\omega }_k$ ), а $\mathrm{\Omega }=$ $=k_1{\omega }_1+\dots +k_n{\omega }_n$ — так называемый максимальный корень $(\mathrm{\Omega }+l_1{\omega }_1+\dots +l_n{\omega }_n$ не является корнем при всех $l_i⩾0$ ). Допустимыми являются также все подмножества набора корней (1.4). Справедливо равенство
$$k_0{\omega }_0+k_1{\omega }_1+\dots +k_n{\omega }_n=0,$$

где все $k_i>0$ и являются целыми числами, $k_0=1$. Допустимый набор корней (1.4) образует набор вершин пополненного графа Дынкина $\mathrm{\Gamma }$.

Из определения допустимого набора корней и тождества Якоби в силу (1.3) получаем следствия
$$\begin{array}{c}ieqj,k:[e_{{\omega }_i},e_{-{\omega }_j}]=0,\left[[e_{{\omega }_k},e_{{\omega }_j}]e_{-{\omega }_i}\right]=0,\\ [[e_{{\omega }_j},e_{{\omega }_i}],e_{-{\omega }_j}]=({\omega }_i,{\omega }_j)e_{{\omega }_i}.\end{array}$$
II. В дальнейшем в алгебре Ли (8) будут рассматриваться уравнения вида
$$\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L},\mathrm{A}]$$

с различными векторами $\mathrm{L}(t),\mathrm{\Lambda }(t)\in \mathbb{S}$. К алгебраическим обобщениям цепочки Тода приводят следующие две конструкцин.
1) Пусть векторы $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ имеют вид
$$\begin{array}{c}\mathrm{L}(t)=\sum _{i=0}^n{l}_i(t)(e_{{\omega }_i}+e_{-{\omega }_i})+p(t),\\ \mathrm{A}(t)=\sum _{i=0}^n{l}_i(t)(e_{{\omega }_i}-e_{-{\omega }_i}),\end{array}$$

где вектор $p(t)$ принадлежит картановской подалгебре $H$. Используя коммутациопные соотношения (1.3) и определение допустимого набора корней, находим, что уравнение (1.7), (1.8) эквивалентно системе уравнений
$$\dot{p}=-2\sum _{i=0}^n{l}_i^2{\omega }_i,i_i=l_i(p,{\omega }_i).$$

Уравпения (1.9) после подстановки
$$l_i=c_i\exp (q,{\omega }_i),$$

где вектор $q(t)$ принадлежит картановской подалгебре $H$, принимают гамильтонов вид
$$\begin{array}{c}\dot{F}=-\frac{\partial H}{\partial q},\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}\\ H=\frac{1}{2}(p,p)+\sum _{i=0}^n{c}_i^2\exp 2(q,{\omega }_i).\end{array}$$

Уравпения (1.11) эквивалентны уравнению Лакса (1.7), (1.8) и называются обобщенной цепочкой Тода, связанной с данной простой алгеброй Ли.
2) Пусть векторы $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ определяются формулами
$$\begin{array}{l}\mathrm{L}(t)=\sum _{i=0}^n{a}_i(t)e_{-{\omega }_i}+Ep(t)+E^2\sum _{i=0}^n{c}_i{e}_{{\omega }_i},\\ \mathrm{A}(t)=-E^{-1}\sum _{i=0}^n{a}_i(t)e_{-{\omega }_i},\end{array}$$

где $p(t)\in H,c_i$ — постоянные, $E$ — произвольный пара метр. Уравпение (1.7), (1.12) в силу (1.3) эквивалептно системе уравнений
$$\dot{p}=-\sum _{i=0}^n{c}_i{a}_i{\omega }_i,{\dot{a}}_i=a_i(p,{\omega }_i).$$

Эти уравнения после подстановки $a_i=f_i\exp (q,{\omega }_i)$ принимают гамильтонов вид с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}(p,p)+\sum _{i=0}^n{c}_i{f}_i\exp (q,{\omega }_i).$$

Гамильтонианы (1.11) и (1.14), очевидно, эквивалентны.
Из представления в виде L-A пары (1.7) следует, что уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) имеют первые интегралы
$$I_k=F_k(\mathrm{L}),J_k=\mathrm{Tr}(T(\mathrm{L}){)}^k,$$

где $F_k$ — любые инварианты алгебры Ли (\&), а $T$ — любюе ее линейное представление, например, присоединенное представление алтебры Ли (્).

Уравнения обобщенных цешочек Тода (1.11) могут быть проинтегрированы в тэта-функциях римановых поверхностей в силу того, что представление Лакса (1.7), (1.12) содержит произвольный спектральный параметр $E$.
III. Приведем конкретные примеры систем (1.11). Воспользуемся классификапией простых алгебр Ли и стандартной записью корней алгебры Ли (8 в ортонормированном базисе $e_1,\dots ,e_n$ (см. [66]). Для алгебр Ли типа $A_n,E_6,E_7,G_2$ удобно расширить картановскую подалгебру элементом, коммутирующим со всей алгеброй; в этом расширении имеем базис $e_1,\dots ,e_n,e_{n+1}$. В качестве допустимого набора корней берем набор (1.4).’ Соответствующий гамильтониап (1.11) имеет эквивалентный вид ${}^1$ )
$$H=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m{p}_i^2+V_{\mathcal{G}}\left(q_i\right).$$

Здесь $m=n+1$ для алгебр Ли типа $A_n,E_6,E_7,G_2$ п $m=n$ для остальных типов ( $n$ — ранг алгебры Ли (E). Введем обознатение $V_k=\sum _{i=1}^k\exp (q_i-q_{i+1})$. Явный вид потенциалов $V_{\mathcal{G}}\left(q_i\right)$ в зависимости от типа (8) следующий: $V_{A_n}=V_n+\exp (q_{n+1}-q_1),n⩾2$,
$V_{B_n}=V_{n-1}+\exp \left(q_n\right)+\exp (-(q_1+q_2)),n⩾2$,
$V_{c_n}=V_{n-1}+\exp \left(2q_n\right)+\exp (-2q_1),n⩾3$,
1) Другой класс внолне интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, указан в работе [68], где исшользуется конструкция L-A цары Мозера — Калоджеро $[30,69]$.

$$\begin{array}{c}{V}_{D_n=}{V}_{n-1}+\exp (q_{n-1}+q_n)+\exp (-q_1-q_2),n⩾4,\\ V_{E_6}=V_5+\exp \left(\frac{1}{2}(-q_1-q_2-q_3+q_4+q_5+q_6)\right)+\\ +\frac{1}{\sqrt{2}}{q}_7+\exp (-\sqrt{2}{q}_7)\\ V_{E_7}=V_5+\exp \left(\frac{1}{2}(-q_1+q_2+\dots +q_7-q_8)\right)+(1.\\ +\exp (-q_1-q_2)+\exp (-q_7-q_8)\\ V_{E_8}=V_6+\exp \left(\frac{1}{2}(-q_1+q_2+\dots +q_7-q_8)\right)+\\ +\exp (-q_1-q_2)+\exp (q_7+q_8)\\ V_{F_4}=\exp (q_1-q_2)+\exp (q_2-q_3)+\exp \left(q_3\right)+\\ +\exp \left(\frac{1}{2}(-q_1-q_2-q_3+q_4)\right)+\exp (-q_1-q_4)\\ V_{G_2}=\exp (q_1-q_2)+\exp (-2q_1+q_2+q_3)+\\ +\exp (q_2+q_2-2q_3).\end{array}$$

Используя стандартные линейные представления простых алгебр Ли, можно показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами (1.16) имеют ровно $m$ первых интегралов. В работах $[61,62]$ доказано, что все первые интегралы находятся в инволюции.

Для алгебры Ли типа $A_n(\mathrm{SL}(n+1))$ гамильтониан (1.16) определяет периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что система (1.16) для типа $C_n$ вкладывается в цепочку Тода из $2n$ частиц).

Для системы двух частиц из (1.17) получаем кроме цешочки Тода еще две интегрируемые системы с потенциалами
$$\begin{array}{l}{V}_{B_2}=\exp (q_1-q_2)+\exp \left(q_2\right)+\exp (-q_1-q_2),\\ V_{G_2}=\exp \left(q_1\right)+\exp \left(\sqrt{3}{q}_2\right)+\exp (-\frac{3}{2}{q}_1-\frac{\sqrt{3}}{2}{q}_2).\end{array}$$