I. В 1970 году М. Тода при численном исследовании различных моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой, взаимодействие которых определяется потенциалом
\[
V=\sum_{i} \exp \left(q_{i}-q_{i+1}\right)
\]

где $q_{i}$ – отклонение $i$-й частицы от положения равновесия [63]. В дальнейшем в этой задаче был построен полный набор первых интегралов [64], найдена L-A пара и доказана интегрируемость по Лиувиллю $[44,65]$ цепочки Тода, которая в периодическом случае имеет гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n+1} p_{i}^{2}+\sum_{i=1} \exp \left(q-q_{i+1}\right)+\exp \left(q_{n+1}-q_{1}\right) .
\]

Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [19] с помощью алгебро-геометрических методов.

В данном параграфе приводятся алгебрачческие обобщения цепочки Тода, связанные с простыми алгебрами Ли, которые были впервые построены в работе [59]. Воспользуемся классификацией Картана [66] простых алгебр Ли. Пусть $H$ – картановская подалгебра простой алгебры Ли (E), $\alpha_{i} \in H$ – набор корней, $e_{\alpha_{i}} \in \mathbb{G}$ – корневые векторы. В базисе Картана – Вейля справедливы коммутационные соотношения
\[
\begin{array}{llrl}
{\left[h, e_{\alpha}\right]} & =(h, \alpha) e_{\alpha}, & {\left[e_{\alpha,}, e_{-\alpha}\right]} & =\alpha, \\
{\left[\alpha_{i}, h\right]} & =0, & {\left[e_{\alpha}, e_{\beta}\right]} & =N_{\alpha, \beta} e_{\alpha+\beta},
\end{array}
\]

где $h \in H$ и $(h, \alpha)$ – скалярное произведение Киллинга Картана:
\[
(x, y)=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad} x \circ \operatorname{ad} y), \quad \text { ad } x(z)=[x, z] .
\]

Назовем набор корней $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{N}$ допустимым, если для всех $i, j \leqslant N$ вектор $\alpha_{i}-\alpha_{j}$ не является корнем; тогда
\[
\left[e_{\alpha_{i}}, e_{-\alpha_{j}}\right]=0 .
\]

В каждой простой алгебре Ли имеется один важный допустимый набор корней
\[
\omega_{0}=-\Omega, \omega_{1}, \ldots, \omega_{n},
\]

где $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ – простые корни (все корни $\alpha_{i}$ являются целочисленными линейными комбинациями $\omega_{k}$ ), а $\Omega=$ $=k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{n} \omega_{n}$ – так называемый максимальный корень $\left(\Omega+l_{1} \omega_{1}+\ldots+l_{n} \omega_{n}\right.$ не является корнем при всех $l_{i} \geqslant 0$ ). Допустимыми являются также все подмножества набора корней (1.4). Справедливо равенство
\[
k_{0} \omega_{0}+k_{1} \omega_{1}+\ldots+k_{n} \omega_{n}=0,
\]

где все $k_{i}>0$ и являются целыми числами, $k_{0}=1$. Допустимый набор корней (1.4) образует набор вершин пополненного графа Дынкина $\Gamma$.

Из определения допустимого набора корней и тождества Якоби в силу (1.3) получаем следствия
\[
\begin{array}{c}
i
eq j, k:\left[e_{\omega_{i}}, e_{-\omega_{j}}\right]=0, \quad\left[\left[e_{\omega_{k}}, e_{\omega_{j}}\right] e_{-\omega_{i}}\right]=0, \\
{\left[\left[e_{\omega_{j}}, e_{\omega_{i}}\right], e_{-\omega_{j}}\right]=\left(\omega_{i}, \omega_{j}\right) e_{\omega_{i}} .}
\end{array}
\]
II. В дальнейшем в алгебре Ли (8) будут рассматриваться уравнения вида
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]
\]

с различными векторами $\mathrm{L}(t), \Lambda(t) \in \mathbb{S}$. К алгебраическим обобщениям цепочки Тода приводят следующие две конструкцин.
1) Пусть векторы $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}(t)=\sum_{i=0}^{n} l_{i}(t)\left(e_{\omega_{i}}+e_{-\omega_{i}}\right)+p(t), \\
\mathrm{A}(t)=\sum_{i=0}^{n} l_{i}(t)\left(e_{\omega_{i}}-e_{-\omega_{i}}\right),
\end{array}
\]

где вектор $p(t)$ принадлежит картановской подалгебре $H$. Используя коммутациопные соотношения (1.3) и определение допустимого набора корней, находим, что уравнение (1.7), (1.8) эквивалентно системе уравнений
\[
\dot{p}=-2 \sum_{i=0}^{n} l_{i}^{2} \omega_{i}, \quad i_{i}=l_{i}\left(p, \omega_{i}\right) .
\]

Уравпения (1.9) после подстановки
\[
l_{i}=c_{i} \exp \left(q, \omega_{i}\right),
\]

где вектор $q(t)$ принадлежит картановской подалгебре $H$, принимают гамильтонов вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{F}=-\frac{\partial H}{\partial q}, \quad \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p} \\
H=\frac{1}{2}(p, p)+\sum_{i=0}^{n} c_{i}^{2} \exp 2\left(q, \omega_{i}\right) .
\end{array}
\]

Уравпения (1.11) эквивалентны уравнению Лакса (1.7), (1.8) и называются обобщенной цепочкой Тода, связанной с данной простой алгеброй Ли.
2) Пусть векторы $\mathrm{L}(t)$ и $\mathrm{A}(t)$ определяются формулами
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{L}(t)=\sum_{i=0}^{n} a_{i}(t) e_{-\omega_{i}}+E p(t)+E^{2} \sum_{i=0}^{n} c_{i} e_{\omega_{i}}, \\
\mathrm{~A}(t)=-E^{-1} \sum_{i=0}^{n} a_{i}(t) e_{-\omega_{i}},
\end{array}
\]

где $p(t) \in H, c_{i}$ – постоянные, $E$ – произвольный пара метр. Уравпение (1.7), (1.12) в силу (1.3) эквивалептно системе уравнений
\[
\dot{p}=-\sum_{i=0}^{n} c_{i} a_{i} \omega_{i}, \quad \dot{a}_{i}=a_{i}\left(p, \omega_{i}\right) .
\]

Эти уравнения после подстановки $a_{i}=f_{i} \exp \left(q, \omega_{i}\right)$ принимают гамильтонов вид с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(p, p)+\sum_{i=0}^{n} c_{i} f_{i} \exp \left(q, \omega_{i}\right) .
\]

Гамильтонианы (1.11) и (1.14), очевидно, эквивалентны.
Из представления в виде L-A пары (1.7) следует, что уравнения обобщенных цепочек Тода (1.11) имеют первые интегралы
\[
I_{k}=F_{k}(\mathrm{~L}), \quad J_{k}=\operatorname{Tr}(T(\mathrm{~L}))^{k},
\]

где $F_{k}$ – любые инварианты алгебры Ли (\&), а $T$ – любюе ее линейное представление, например, присоединенное представление алтебры Ли (્).

Уравнения обобщенных цешочек Тода (1.11) могут быть проинтегрированы в тэта-функциях римановых поверхностей в силу того, что представление Лакса (1.7), (1.12) содержит произвольный спектральный параметр $E$.
III. Приведем конкретные примеры систем (1.11). Воспользуемся классификапией простых алгебр Ли и стандартной записью корней алгебры Ли (8 в ортонормированном базисе $e_{1}, \ldots, e_{n}$ (см. [66]). Для алгебр Ли типа $A_{n}, E_{6}, E_{7}, G_{2}$ удобно расширить картановскую подалгебру элементом, коммутирующим со всей алгеброй; в этом расширении имеем базис $e_{1}, \ldots, e_{n}, e_{n+1}$. В качестве допустимого набора корней берем набор (1.4).’ Соответствующий гамильтониап (1.11) имеет эквивалентный вид ${ }^{1}$ )
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} p_{i}^{2}+V_{\mathscr{G}}\left(q_{i}\right) .
\]

Здесь $m=n+1$ для алгебр Ли типа $A_{n}, E_{6}, E_{7}, G_{2}$ п $m=n$ для остальных типов ( $n$ – ранг алгебры Ли (E). Введем обознатение $V_{k}=\sum_{i=1}^{k} \exp \left(q_{i}-q_{i+1}\right)$. Явный вид потенциалов $V_{\mathcal{G}}\left(q_{i}\right)$ в зависимости от типа (8) следующий: $V_{A_{n}}=V_{n}+\exp \left(q_{n+1}-q_{1}\right), \quad n \geqslant 2$,
$V_{B_{n}}=V_{n-1}+\exp \left(q_{n}\right)+\exp \left(-\left(q_{1}+q_{2}\right)\right), \quad n \geqslant 2$,
$V_{c_{n}}=V_{n-1}+\exp \left(2 q_{n}\right)+\exp \left(-2 q_{1}\right), \quad n \geqslant 3$,
1) Другой класс внолне интегрируемых гамильтоновых систем, связанных с простыми алгебрами Ли, указан в работе [68], где исшользуется конструкция L-A цары Мозера – Калоджеро $[30,69]$.

\[
\begin{array}{c}
V_{D_{n}=} V_{n-1}+\exp \left(q_{n-1}+q_{n}\right)+\exp \left(-q_{1}-q_{2}\right), \quad n \geqslant 4, \\
V_{E_{6}}=V_{5}+\exp \left(\frac{1}{2}\left(-q_{1}-q_{2}-q_{3}+q_{4}+q_{5}+q_{6}\right)\right)+ \\
+\frac{1}{\sqrt{2}} q_{7}+\exp \left(-\sqrt{2} q_{7}\right) \\
V_{E_{7}}=V_{5}+\exp \left(\frac{1}{2}\left(-q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{7}-q_{8}\right)\right)+\quad(1 . \\
\quad+\exp \left(-q_{1}-q_{2}\right)+\exp \left(-q_{7}-q_{8}\right) \\
V_{E_{8}}=V_{6}+\exp \left(\frac{1}{2}\left(-q_{1}+q_{2}+\ldots+q_{7}-q_{8}\right)\right)+ \\
\quad+\exp \left(-q_{1}-q_{2}\right)+\exp \left(q_{7}+q_{8}\right) \\
V_{F_{4}}=\exp \left(q_{1}-q_{2}\right)+\exp \left(q_{2}-q_{3}\right)+\exp \left(q_{3}\right)+ \\
+\exp \left(\frac{1}{2}\left(-q_{1}-q_{2}-q_{3}+q_{4}\right)\right)+\exp \left(-q_{1}-q_{4}\right) \\
V_{G_{2}}=\exp \left(q_{1}-q_{2}\right)+\exp \left(-2 q_{1}+q_{2}+q_{3}\right)+ \\
+\exp \left(q_{2}+q_{2}-2 q_{3}\right) .
\end{array}
\]

Используя стандартные линейные представления простых алгебр Ли, можно показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами (1.16) имеют ровно $m$ первых интегралов. В работах $[61,62]$ доказано, что все первые интегралы находятся в инволюции.

Для алгебры Ли типа $A_{n}(\mathrm{SL}(n+1))$ гамильтониан (1.16) определяет периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что система (1.16) для типа $C_{n}$ вкладывается в цепочку Тода из $2 n$ частиц).

Для системы двух частиц из (1.17) получаем кроме цешочки Тода еще две интегрируемые системы с потенциалами
\[
\begin{array}{l}
V_{B_{2}}=\exp \left(q_{1}-q_{2}\right)+\exp \left(q_{2}\right)+\exp \left(-q_{1}-q_{2}\right), \\
V_{G_{2}}=\exp \left(q_{1}\right)+\exp \left(\sqrt{3} q_{2}\right)+\exp \left(-\frac{3}{2} q_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2} q_{2}\right) .
\end{array}
\]