I. Построим конкретные динамические системы, допускающие операторное представление вида (1.1):
\[
\dot{\mathrm{L}}=\alpha \mathrm{L}^{3}+\beta \mathrm{L}+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] .
\]

Предположим, что матрицы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ (размера $n \times n$ ) имеют только следующие ненулевые элементы:
\[
\mathrm{L}_{i, i+1}=\mathrm{L}_{i+1, i}=b_{i}, \quad \mathrm{~A}_{i, i+2}=-\mathrm{A}_{i+2, i}=x_{i} .
\]

Уравнение (2.1) эквивалентно системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\alpha b_{k} b_{k+1} b_{k+2}+b_{k} x_{k+1}-b_{k+2} x_{k}=0, \\
\dot{b}_{k}=\alpha b_{k}\left(b_{k-1}^{2}+b_{k}^{2}+b_{k+1}^{2}\right)+\beta b_{k}+b_{k-1} x_{k-1}-b_{k+1} x_{k} .
\end{array}
\]

Решение системы алгебраических уравнений (2.3) определяется формулами ( $m$ — произвольная постоянная)
\[
x_{k}=-(m+k \alpha) b_{k} b_{k+1} .
\]

Дифференциальные уравнения (2.4) после подстановки формул (2.5) и замены переменных $a_{k}=b_{k}^{2}, \quad \tau=2 t$ принимают вид
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}\left[(m+k \alpha)\left(a_{k+1}-a_{k-1}\right)+\alpha\left(2 a_{k-1}+a_{k}+a_{k+1}\right)+\beta\right] .
\]

Построенная система уравнений (2.6) в силу вывода эквивалентна уравнениям (2.1), (2.2), (2.5) и поэтому, как показано в § 1, обязана иметь аттрактор. Динамическая система (2.6) вкладывается в общий класс уравнений, предложенных В. Вольтерра для описания динамики численности популяций различных взаимодействующих видов [23]. Для таких задач (в математической экологии) характерны притягивающие устойчивые режимы динамики. Наличие аттрактора в системе (2.6) обусловливает существование притягивающих режимов, что является важным для применений. В специальном случае $\alpha=0, \beta=0$ система (2.6) переходит в пнтегрируемую гамильтонову систему Вольтерра
\[
\dot{a}_{k}=m a_{k}\left(a_{k+1}-a_{k-1}\right) .
\]

Собственные числа $\lambda_{i}$ матрицы $\mathrm{L}$ (2.2) в силу ураввений (2.1), (2.6) удовлетворяют уравнениям (см. (1.5))
\[
\dot{\lambda}_{i}=\lambda_{i}\left(\alpha \lambda_{i}^{2}+\beta\right) \text {. }
\]

Отсюда находим
\[
\lambda_{i}^{2}=-\frac{\beta}{\alpha}\left(1-\exp \left(-2 \beta t+c_{i}\right)\right)^{-1} .
\]

Система уравнений (2.7) имеет первые интегралы
\[
F\left(\lambda_{i}, \lambda_{j}\right)=\left(\left(\alpha \lambda_{i}^{2}+\beta\right) \lambda_{j}^{2}\right) /\left(\left(\alpha \lambda_{j}^{2}+\beta\right) \lambda_{i}^{2}\right) .
\]

Если параметры $\alpha$ и $\beta$ имеют одинаковый знак, то уравнение (2.7) имеет единственную особую точку $\lambda_{i}=0$, которая при $\beta<0$ является притягивающей, а при $\beta>$ $>0$ — отталкивающей. Предположим, что $\beta>0, \beta / \alpha=$ $=-x^{2}$. Тогда уравнение $\dot{\lambda}=\lambda\left(\alpha \lambda^{2}+\beta\right)$ имеет две притятивающие особые точки $\lambda= \pm x$ и одну отталкивающую $\lambda=0$. Собственные числа симметрической матрицы $\mathrm{L}$ вида (2.2) вещественны и симметричны относительно нуля. При $n=2 k$ система (2.1), (2.6) имеет единственный аттрактор — орбиту $V_{k}$, отвечающую собственным числам $\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{k}=x, \lambda_{k+1}=\ldots=\lambda_{2 k}=-x$, единственную отталкивающую особую точку $a_{i}=0$ и ( $k-1$ ) неустойчивых инвариантных подмногообразий — орбит $V_{j}$, определенных условиями
\[
\begin{aligned}
\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{j}=x, \lambda_{j+1}= & \ldots=\lambda_{2 j}=-\chi, \\
& \lambda_{2 j+1}=\ldots=\lambda_{2 n}=0,1 \leqslant j \leqslant k-1 .
\end{aligned}
\]

Аналогично определяются инвариантные подмногообразия $V_{j}$ при $n=2 k+1$, причем одно собственное число матриды $\mathrm{L}$ — тождественный нуль.

Инвариантные подмногообразия $V_{j}$ являются различными комцонентами множества, определенного алгебраи-

2 о. и, Богоявленский

ческим уравнением
\[
P(\mathrm{~L})=\alpha \mathrm{L}^{3}+\beta \mathrm{L}=0 .
\]

Уравнение (2.9) в силу (2.2) эквивалентно системе уравнений
\[
\alpha a_{k} a_{k+1} a_{k+2}=0, \quad a_{k}\left(\alpha\left(a_{k-1}+a_{k}+a_{k+1}\right)+\beta\right)=0 .
\]

Іри $\alpha
eq 0$ в силу шервого уравнения (2.10) из трех последовательных величин $a_{i}$ одна равна нулю. В силу второго уравнения (2.10) при $a_{k}
eq 0$ имеем $a_{k-1}+a_{k}+a_{k+1}=$ $=-\beta / \alpha=x^{2}$. Поэтому на инвариантных подмногообразиях $V_{j}$ система (2.6) распадается в одномерные уравнения вида
\[
\dot{a}_{k}=a_{k}(m-k \alpha)\left(a_{k}-\varkappa^{2}\right), \quad \dot{a}_{k}=a_{k}(m-(k-1) \alpha)\left(x^{2}-a_{k}\right) .
\]

Следовательно, все траектории системы (2.6) на подмногообразиях $V_{j}$ стремятся к особым точкам, в которых выполнены соотношения (2.10) и $a_{i}=0$ или $a_{i}=x^{2}$.
II. Построим динамическую систему, допускающую операторное представление вида
\[
\dot{\mathrm{L}}_{1}=\alpha \mathrm{L}_{1}^{2}+\beta \mathrm{L}_{1}+\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right] .
\]

Предположим, что матрицы $L_{1}$ и $\mathrm{A}_{1}$ имеют только следующие ненулевые элементы:
\[
\mathrm{L}_{1 i i}=p_{i}, \quad \mathrm{~L}_{1 i, i+1}=\mathrm{L}_{1 i+1, i}=c_{i}, \quad \mathrm{~A}_{1 i, i+1}=-\mathrm{A}_{1 i+1, i}=x_{i} .
\]

Уравнения (2.11) — (2.12) эквивалентны следующей системе алгебраических и дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\alpha c_{k} c_{k+1}+c_{k} x_{k+1}-x_{k} c_{k+1}=0 \\
\dot{p}_{k}=\alpha\left(p_{k}^{2}+c_{k}^{2}+c_{k-1}^{2}\right)+\beta p_{k}+2 c_{k-1} x_{k-1}-2 c_{k} x_{k}, \\
\dot{c}_{k}=c_{k}\left(\alpha\left(p_{k}+p_{k+1}\right)+\beta\right)+x_{k}\left(p_{k}-p_{k+1}\right) .
\end{array}
\]

Решение системы алгебраических уравнений (2.13) определяется формулами
\[
x_{k}=-(m+k \alpha) c_{k} .
\]

После подстановки этих формул дифференциальные уравнения (2.14), (2.15) припимают вид
\[
\dot{p}_{k}=\alpha p_{k}^{2}+\beta p_{k}+(2 m-(2 k-3) \alpha) c_{k-1}^{2}-(2 m-(2 k+1) \alpha) c_{k}^{2},
\]
\[
\dot{c}_{k}=c_{k}\left(\left(m+(k+1)\left(\alpha p_{k+1}-(m+(k-1) \alpha) p_{k}+\beta\right) .\right.\right.
\]

Система (2.17) является негамильтоновым возмущением цепочки Тода, в которую она переходит при $\alpha=0, \beta=0$.

Собственные числа $\lambda_{i}$ матрицы $L_{1}$ в силу уравнения (2.11) удовлетворяют уравнению
\[
\dot{\lambda}_{i}=\lambda_{i}\left(\alpha \lambda_{i}+\beta\right) .
\]

Поэтому динамическая система (2.17), эквивалентная уравнению $(2.11),(2.12),(2.16)$, имеет первые интегралы
\[
F\left(\lambda_{i}, \lambda_{j}\right)=\left(\left(\alpha \lambda_{i}+\beta\right) \lambda_{j}\right) /\left(\left(\alpha \lambda_{j}+\beta\right) \lambda_{i}\right) .
\]

Уравнение $\dot{\lambda}=\lambda(\alpha \lambda+\beta)$ имеет две особые точки $\lambda=0$ и $\lambda=-\beta / \alpha=\sigma$. Пусть $\beta>0$; тогда особая точка $\lambda_{i}=\sigma$ является притягивающей. Динамическая система (2.17) имеет единственный аттрактор, которым является притягивающая особая точка $p_{k}=\sigma, c_{k}=0$.

Уравнение $\alpha \mathrm{L}_{1}^{2}+\beta \mathrm{L}_{1}=0$ определяет инвариантные подмногообразия системы (2.17) и сводится к системе уравнений
\[
\begin{array}{c}
\alpha c_{k} c_{k+1}=0, \alpha\left(p_{k}^{2}+c_{k}^{2}+c_{h-1}^{2}\right)=-\beta p_{k}, \\
c_{k}\left(\alpha\left(p_{k}+p_{k+1}\right)+\beta\right)=0 .
\end{array}
\]

В силу первого уравнения (2.20), если $c_{k}
eq 0$, то $c_{k+1}=$ $=0, c_{k-1}=0$. Поэтому в силу остальных уравнений получаем $p_{k} p_{k+1}=c_{k}^{2}, p_{k}+p_{k+1}=\sigma$. Уравнения (2.17) на инвариантных подмногообразиях (2.20) элементарно интегрируются.

Отметим, что уравнение (2.1) преобразуется в уравнение (2.11) с помощью отображения $\mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}^{2}$ и замены времени $\tau=2 t$. Поэтому динамическая система (2.6) отображается в динамическую систему (2.17) — точно так же, как модель Вольтерра отображается в цепочку Тода $[30]$.