I. В данном параграфе изучается второе счетное множество интегрируемых дискретизаций уравнения Кортевега – де Фриза, которые, в отличие от динамических систем (1.3), имеют произвольную степень нелинейности.
Теорема 2. При любом целом $p \geqslant 2$ динамические системьг
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(\prod_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\prod_{k=1}^{p-1} a_{i+k}\right), \\
\dot{a}_{i}=a_{i}^{2}\left(\prod_{k=1}^{p-1} a_{i+k}-\prod_{k=1}^{p-1} a_{i-k}\right)
\end{array}
\]
допускают представление Лакса и в континуальном пределе переходят в уравнение КдФ (1.2).
Докавательство. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
\[
(a+m E)^{\cdot}=\left[a+m E, a^{p} E^{-1}\right],
\]
пде матрицы $a$ и $m$ имеют только по одному ненулевому элементу в каждом столбце, которые определяются формулами
\[
a_{i, i+1}=a_{i}, \quad m_{i, i+1-p}=-1 .
\]
В этом случае матрица $a^{p}$ имеет следующие ненулевые элементы:
\[
\left(a^{p}\right)_{i, i+p}=\prod_{k=0}^{p-1} a_{i+k} .
\]
Уравнение (3.3) сводится к трем матричным уравнениям
\[
\dot{a}=\left[m, a^{p}\right], \quad\left[a, a^{p}\right]=0, \quad \dot{m} \equiv 0 .
\]
Первое уравнение (3.6) в силу (3.4), (3.5) эквивалентно динамической системе (3.1).
Представление Лаюса для системы (3.2) имеет вид
\[
(a+m E)^{*}=\left[a+m E, a^{1-p} E^{-1}\right],
\]
где ненулевые элементы матриц $a, m, a^{1-p}$ определяются формулами
\[
a_{i, i+1}=a_{i}^{-1}, \quad m_{i, i+p}=-1, \quad\left(a^{1-p}\right)_{i, i-p+1}=\prod_{k=1}^{p-1} a_{i-k} .
\]
Уравнение (3.7) сводится к трем матричным уравнениям
\[
\dot{a}=\left[m, a^{1-p}\right], \quad\left[a, a^{1-p}\right]=0, \quad \dot{m} \equiv 0 .
\]
Первое уравнение (3.9) в силу формул (3.8) энвивалентно динамической системе (3.2).
Переходя к выводу континуального предела динамических систем (3.1), (3.2), предположим, что справедливы равенства $a_{j}=1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}\right), x_{j}=j \varepsilon$, пде $u(t, x)$ некоторая гладкая функция. Топда системы (3.1), (3.2) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
-\varepsilon^{2} \frac{\partial u}{\partial t}\left(t, x_{j}\right)=\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}\right)\right)^{m} \times \\
\times\left(\prod_{k=1}^{p-1}\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}+k \varepsilon\right)\right)-\prod_{h=1}^{p-1}\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}-k \varepsilon\right)\right)\right),
\end{array}
\]
где $m=1$ и $m=2$ в случае систем (3.1) и (3.2) соответственно. Отсюда получаем
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial u}{\partial t}\left(t, x_{j}\right)=\left(1-\varepsilon^{2} u\left(t, x_{j}\right)\right)^{m}\left[\sum_{k=1}^{p-1}\left(u\left(t, x_{j}+k \varepsilon\right)-u\left(t, x_{j}-k \varepsilon\right)\right)-\right. \\
-\varepsilon^{2}\left(\sum_{k
eq l}^{p-1}\left(u\left(t, x_{j}+k \varepsilon\right) u\left(t, x_{j}+l \varepsilon\right)-u\left(t, x_{j}-k \varepsilon\right) u\left(t, x_{j}-l \varepsilon\right)\right)\right)+ \\
\left.+O\left(\varepsilon^{4}\right)\right] .
\end{array}
\]
После подстановки разложения фучкции $u\left(t, x_{j} \pm k \varepsilon\right)$ в ряд Тейлора находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}\left(t, x_{j}\right)=\left(2 \varepsilon \sum_{k=1}^{p-1} k\right) \frac{\partial u}{\partial x}+ \\
+\varepsilon^{3}\left[-2\left(m \sum_{k=1}^{p-1} k+\sum_{k
eq l}^{p-1} k+l\right) u \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{p-1} k^{3} \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right]+O\left(\varepsilon^{5}\right) .
\end{array}
\]
Вычисляя указанные суммы, получаем систему $(\mu=$
\[
\begin{array}{l}
\left.=\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{p-1} k^{3}\right): \\
\frac{\partial u}{\partial t}\left(t, x_{j}\right)=\varepsilon p(p-1) \frac{\partial u}{\partial x}+ \\
+\varepsilon^{3}\left(-p(p-1)(p+m-2) u \frac{\partial u}{\partial x}+\mu \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right)+O\left(\varepsilon^{5}\right) .
\end{array}
\]
Уравнение (3.11) после перехода к новым переменным $t^{\prime}=t, x^{\prime}=x+p(p-1) \varepsilon t$ принимает вид
\[
\frac{\partial u}{\partial t^{\prime}}=\varepsilon^{3}\left(-p(p-1)(p+m-2) u \frac{\partial u}{\partial x^{\prime}}+\mu \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right)+O\left(\varepsilon^{5}\right) .
\]
После замены переменных
\[
\begin{aligned}
\tau=-\varepsilon^{3} x t^{\prime}, \quad x_{1}= & \sigma x^{\prime}, \\
\sigma & =(p(p-1)(p+m-2) / 6 \mu)^{1 / 2}, \quad x=\mu \sigma^{3}
\end{aligned}
\]
и перехода к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$ уравнение (3.12) преобразуется в уравнение Кортевега – де Фриза (1.2). Теорема 2 доказана.
II. Динамические системы (3.1), (3.2) после введения обозна чений
\[
b_{i}=\prod_{k=0}^{p-2} a_{i+k}, \quad c_{i}=\prod_{k=0}^{p-1} a_{i+k}
\]
принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(b_{i+1}-b_{i-p+1}\right), \\
\dot{a}_{i}=a_{i}\left(c_{i}-c_{i-p+1}\right) .
\end{array}
\]
Из этих уравнений в силу (3.13) следуют динамические системы
\[
\dot{b}_{i}=b_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} b_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} b_{i-k}\right), \quad \dot{c}_{i}=c_{i}\left(\sum_{k=1}^{p-1} c_{i+k}-\sum_{k=1}^{p-1} c_{i-k}\right),
\]
Таким образом, системы (3.1), (3.2) с помощью отображений (3.13) преобразуются в одну динамическую систему (3.16), имеющая вид (1.3).
Отображения (3.13) вида
\[
b_{i}=a_{i} a_{i+1} \ldots a_{i+q-1},
\]
вообще говоря, необратимы и преобразуют системы (3.1) и (3.2) на некоторые инвариантные подмногообразия системы (1.3). Рассмотрим периодический случай $a_{i_{+n}} \equiv a_{i}$. Пусть числа $n$ и $q$ не являются взаимно простыми, т. е. $n=s d, q=g d$. Тогда в силу формул (3.17) при любых $i$ и $j$ справедливы соотношения
\[
\prod_{k=1}^{s} b_{i+k d}=\prod_{k=1}^{s} b_{j+k d}
\]
среди которых имеется $d-1$ функционально независимых соотношений. Формулы (3.18) определяют инвариантное подмногообразие – образ отображения (3.17).
Пусть числа $n$ и $q$ взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $k n=l q-1$. В этом случае отображение (3.17) обратимо, причем обратное отображение определяется формулами
\[
\operatorname{In} a_{i}=\sum_{m=0}^{l-1} \ln b_{i+m g}-\frac{k}{q} \sum_{m=0}^{n-1} \ln b_{i+m} .
\]
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. B периодическом случае $a_{i+n} \equiv a_{i}$ динамические системы (3.1) и (1.3) эквивалентны, если $(n, p-1)=1$. Системы (3.2) и (1.3) эквивалентны, если $(n, p)=1$. Системы (3.1) и (3.2) взаимно эквивалентны, если $(n, p)=1$ и $(n, p-1)=1$.
III. Из представления Лакса (3.3) следует наличие у динамической системы (3.1) первых интегралов $I_{k}=$ $=\operatorname{Tr} \mathrm{L}^{k p}$, пде $\mathrm{L}=a+m E$. Прямое вычисление приводит к следующим явным формулам:
\[
\begin{array}{c}
(-1)^{k+1} I_{k+1}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{s_{1}, \ldots, s_{q}} C(q) \prod_{j=1}^{q} \prod_{m=0}^{s_{j}-1} a_{i+m+c_{j}}, \quad(3.20) \\
s_{j} \geqslant 1, \quad s_{1}+\ldots+s_{q} \leqslant(k+1) r, \quad 1 \leqslant q \leqslant k+2, \\
C(q)=k+3-q, \\
c_{j}=s_{1}+\ldots+s_{j-1}-(j-1) r .
\end{array}
\]
Эти формулы справедливы внериодическом случае $a_{i}=$ $\equiv a_{i+n}$ и в непериодическом случае при $a_{j}=0$ для $j<1$, $j \geqslant n$.
IV. Рассмотрим задачу рассеяния, свяванную с уравнением Лакса (3.3) и динамической системой (3.1), в классе финитных решений с асимптотикой $a_{n} \rightarrow 1$ при $n \rightarrow \pm \infty$. Собственные функции оператора $\mathrm{L}(t, 1)=a+m$ (3.3) удовлетворяют уравнению
\[
(\mathrm{L} \psi(k, t))_{n}=-\psi(k, t)_{n+1-p}+a_{n} \psi(k, t)_{n+1}=k \psi(k, t)_{n},
\]
где $k \in \mathbb{C}$ – спектральный параметр. Пространство решений уравнения (3.22) имеет размерность $p$. Выделим в этом пространстве два базиса собствепных фупкций $\varphi_{i}(k, t)$ и $\psi_{j}(k, t)$, которые имеют следующие асимптотики при $n \rightarrow \pm \infty$ :
\[
\left(\varphi_{i}(k, t)\right)_{n}=z_{i}^{n}, \quad n \rightarrow-\infty ; \quad\left(\psi_{j}(k, t)\right)_{n}=z_{j}^{n}, \quad n \rightarrow+\infty .
\]
Числа $z_{i}(k), z_{j}(k)$ являются жорнями уравнения
\[
z^{p}-k z^{p-1}-1=0 .
\]
При $p=2$ уравнение (3.24) имеет два корня $z_{1}, z_{2}$, связанных соотношениями $z_{2}=-z_{1}^{-1}, k=z_{1}+z_{1}^{-1}$. Это-случай дискретного уравшения КдФ, подробно рассмотренный в работах $[30,44,45]$.
Покажем, что функции $\varphi_{i}(k, i)$ и $\psi_{i}(k, t)$ удовлетворяют уравнению
\[
\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}=z_{i}^{p} \varphi_{i}, \quad \mathrm{~A}=a^{p} .
\]
Действительно, из уравнения Јакса, как известно, следует уравнение
\[
\mathrm{L}\left(\dot{\varphi}_{i}(k, t)+\mathrm{A} \varphi_{i}(k, t)\right)=k\left(\dot{\varphi}_{i}(k, t)+\mathrm{A} \varphi_{i}(k, t)\right),
\]
в силу которого функция $\varphi=\dot{\varphi}_{i}+A \varphi_{i}$ является собственной функцией оператора $\mathrm{L}$ и поэтому имеет представление в виде $\varphi=c_{1} \varphi_{1}+\ldots+c_{p} \varphi_{p}$. В силу асимптотижи (3.23) имеем
\[
\begin{aligned}
\left(\dot{\varphi}_{i}+\mathrm{A} \varphi_{i}\right)_{n}=\left(\dot{\varphi_{i}}\right)_{n}+\prod_{k=0}^{p-1} a_{n+k}\left(\varphi_{i}\right)_{n+p} & = \\
& =z_{i}^{n+p}=z_{i}^{p}\left(\varphi_{i}\right)_{n} .
\end{aligned}
\]
Поэтому $c_{j}=z_{i}^{p} \delta_{i j}$ и справедливость уравнения доказана.
Два базиса собственных функций $\varphi_{i}(k, t)$ и $\psi_{j}(k, t)$ связаны линейным соотношением
\[
\varphi_{i}(k, t)=\sum_{j=1}^{p} \mathrm{~B}_{i j}(k, t) \psi_{j}(k, t) .
\]
Подставив разложения (3.28) в уравнения (3.25), получим равенства
\[
\sum_{j=1}^{p}\left(\dot{\mathrm{B}}_{i j}(k, t)+z_{j}^{p} \mathrm{~B}_{i j}(k, t)\right) \psi_{j}(k, t)=z_{i}^{p} \sum_{j=1}^{p} \mathrm{~B}_{i j}(k, t) \psi_{j} .
\]
Отсюда находим уравнения, определяющие дипамику компонент матрицы рассеяния
\[
\dot{\mathrm{B}}_{i j}(k, t)=\left(z_{i}^{p}-z_{j}^{p}\right) \mathrm{B}_{i j}(k, t) .
\]
Решения этих уравнений имеют вид
\[
\mathrm{B}_{i j}(k, t)=\mathrm{B}_{i j}(k, 0) \exp \left(\left(z_{i}^{p}-z_{j}^{p}\right) t\right) .
\]
В частности, справедливы соотношения
\[
\begin{aligned}
\mathrm{B}_{i i}(k, t) & =B_{i i}(k, 0), \\
\mathrm{B}_{i j}(k, t) \mathrm{B}_{j i}(k, t) & =\mathrm{B}_{i j}(k, 0) \mathrm{B}_{j i}(k, 0) .
\end{aligned}
\]
V. Рассмотрим задачу рассеяния в случае полубесконечных матриц $\mathrm{L}=a+m$ и $A=a^{p}$, для индексов которых $j, n$ имеем $j, n \geqslant 1$. В этом случае в первых $p-1$ строках матрицы $L$ имеется только по одпому ненулевому элементу $\mathrm{L}_{i, i+1}=a_{i}$. Поэтому уравнение $\mathrm{L} \psi=k \psi$ при $n<p$ имеет вид
\[
a_{n} \psi(k, t)_{n+1}=k \psi(k, t)_{n},
\]
а при $n \geqslant p$ имеет вид (3.22). Следовательно, все комтоненты $\psi(k, t)_{n}$ определяются из уравнения $\mathrm{L} \psi=k \psi$ по компоненте $\psi(k, t)_{1}$, т. е. пространство собственных функций $\psi(k, t)$ одномерно. Нормируем собственную функцию $\psi(k, t)$ условием
\[
\dot{\psi}_{1}(k, t)+\left(\prod_{i=1}^{p} a_{i}(t)\right) \psi_{p+1}(k, t)=0 .
\]
В силу уравнения (3.26) справедливо равенство
\[
\dot{\psi}(k, t)+\mathrm{A} \psi(k, t)=c(t) \psi(k, t) .
\]
Вычисляя первую компонету уравнения (3.32), убеждаемся, что при условии нормировки (3.31) функция $c(t) \equiv$ $\sqsubseteq 0$, поэтому справедливо уравнение
\[
\dot{\psi}(k, t)+\mathrm{A} \psi(k, t)=0 .
\]
При условии финитности решений системы (3.1) $\left(a_{n} \rightarrow 1\right.$ при $\left.n \rightarrow \infty\right)$ функция $\psi(k, t)$ имеет следующее асимптотическое разложение при $n \rightarrow \infty$ :
\[
\psi(k, t)_{n}=\sum_{j=1}^{p} B_{j}(k, t) z_{j}^{n},
\]
пде $z_{j}$-корни уравнения (3.24). Подставляя это разложение в уравнение (3.33) и переходя к пределу $n \rightarrow \infty$, получаем уравнение
\[
\sum_{j=1}^{p}\left(B_{j}(k, t) z_{j}^{n}+B_{j}(k, t) z_{j}^{n+p}\right)=0 .
\]
Отсюда находим уравнения для изменения данных рассеяния
\[
\begin{array}{l}
\dot{B}_{j}(k, t)=-z_{j}^{p} B_{j}(k, t), \\
B_{j}(k, t)=B_{j}(k, 0) \exp \left(-z_{j}^{p} t\right) .
\end{array}
\]
Таким образом, в двух рассмотренных случаях эволюция данных рассеяния, овязанных с динамической системой (3.1), полностью интегрируется.
VI. Укажем аналог динамической системы (3.1) в случае комплексных величин $a_{i}$. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
\[
(\mathrm{A}+\mathrm{M} E)^{\cdot}=\left[\mathrm{A}+\mathrm{M} E, \mathrm{~A}^{p} E^{-1}\right] .
\]
Здесь А и М – блочные матрицы, ненулевые элементы которых имеют вид $A_{i, i+1}=a_{i}, M_{i, i+1-p}=m_{i}$, где $a_{i}$ и $m_{i}$ являютоя двумерными блоками, которые определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
a_{i}=\left(\begin{array}{cc}
0 & u_{i} \\
\bar{u}_{i} & 0
\end{array}\right), \quad m_{i}=-\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad p=2 s ; \\
m_{i}=-\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \quad p=2 s+1 .
\end{array}
\]
Уравнение (3.36) сводится к матричному уравнению $A=$ $=\left[\mathrm{M}, \mathrm{A}^{p}\right]$, эквивалентному динамической системе
\[
\dot{u}_{i}=u_{i}\left(\prod_{k=1}^{p-1} \tau^{k}\left(u_{i+k}\right)-\prod_{k=1}^{p-1} \tau^{k}\left(u_{i-k}\right)\right), \quad \tau(u)=\bar{u} .
\]
Следовательно, динамическая система (3.38) при любом целом $p \geqslant 2$ допускает представление Лакса (3.36) со спектральным параметром $E$ и поэтому имеет набор первых интегралов $I_{k}=\operatorname{Tr}(\mathrm{A}+\mathrm{M} E)^{k}$. Указанная конструкция (3.36)-(3.37) при отрицательных $p$ приводит к уравнениям вида (3.38) с множителем $u_{i}^{2}$ вместо $u_{i}$, являющимся аналюгами динамических систем (3.2).
