I. В данном параграфе изучается второе счетное множество интегрируемых дискретизаций уравнения Кортевега — де Фриза, которые, в отличие от динамических систем (1.3), имеют произвольную степень нелинейности.

Теорема 2. При любом целом $p⩾2$ динамические системьг
$$\begin{array}{l}{\dot{a}}_i=a_i(\prod _{k=1}^{p-1}{a}_{i+k}-\prod _{k=1}^{p-1}{a}_{i+k}),\\ {\dot{a}}_i=a_i^2(\prod _{k=1}^{p-1}{a}_{i+k}-\prod _{k=1}^{p-1}{a}_{i-k})\end{array}$$

допускают представление Лакса и в континуальном пределе переходят в уравнение КдФ (1.2).

Докавательство. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
$$(a+mE{)}^{\cdot }=[a+mE,a^p{E}^{-1}],$$

пде матрицы $a$ и $m$ имеют только по одному ненулевому элементу в каждом столбце, которые определяются формулами
$$a_{i,i+1}=a_i,m_{i,i+1-p}=-1.$$

В этом случае матрица $a^p$ имеет следующие ненулевые элементы:
$${\left(a^p\right)}_{i,i+p}=\prod _{k=0}^{p-1}{a}_{i+k}.$$

Уравнение (3.3) сводится к трем матричным уравнениям
$$\dot{a}=[m,a^p],[a,a^p]=0,\dot{m}\equiv 0.$$

Первое уравнение (3.6) в силу (3.4), (3.5) эквивалентно динамической системе (3.1).
Представление Лаюса для системы (3.2) имеет вид
$$(a+mE{)}^{\ast }=[a+mE,a^{1-p}{E}^{-1}],$$

где ненулевые элементы матриц $a,m,a^{1-p}$ определяются формулами
$$a_{i,i+1}=a_i^{-1},m_{i,i+p}=-1,{\left(a^{1-p}\right)}_{i,i-p+1}=\prod _{k=1}^{p-1}{a}_{i-k}.$$

Уравнение (3.7) сводится к трем матричным уравнениям
$$\dot{a}=[m,a^{1-p}],[a,a^{1-p}]=0,\dot{m}\equiv 0.$$

Первое уравнение (3.9) в силу формул (3.8) энвивалентно динамической системе (3.2).

Переходя к выводу континуального предела динамических систем (3.1), (3.2), предположим, что справедливы равенства $a_j=1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j),x_j=j\epsilon$, пде $u(t,x)$ некоторая гладкая функция. Топда системы (3.1), (3.2) принимают вид
$$\begin{array}{l}-{\epsilon }^2\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_j)={(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j))}^m\times \\ \times (\prod _{k=1}^{p-1}(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j+k\epsilon ))-\prod _{h=1}^{p-1}(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j-k\epsilon ))),\end{array}$$

где $m=1$ и $m=2$ в случае систем (3.1) и (3.2) соответственно. Отсюда получаем
$$\begin{array}{r}\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_j)={(1-{\epsilon }^{2}u(t,x_j))}^m[\sum _{k=1}^{p-1}(u(t,x_j+k\epsilon )-u(t,x_j-k\epsilon ))-\\ -{\epsilon }^2\left(\sum _{keql}^{p-1}(u(t,x_j+k\epsilon )u(t,x_j+l\epsilon )-u(t,x_j-k\epsilon )u(t,x_j-l\epsilon ))\right)+\\ +O\left({\epsilon }^4\right)].\end{array}$$

После подстановки разложения фучкции $u(t,x_j\pm k\epsilon )$ в ряд Тейлора находим
$$\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}(t,x_j)=\left(2\epsilon \sum _{k=1}^{p-1}k\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\\ +{\epsilon }^3[-2(m\sum _{k=1}^{p-1}k+\sum _{keql}^{p-1}k+l)u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{3}\sum _{k=1}^{p-1}{k}^3\frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3}]+O\left({\epsilon }^5\right).\end{array}$$

Вычисляя указанные суммы, получаем систему $(\mu =$
$$\begin{array}{l}=\frac{1}{3}\sum _{k=1}^{p-1}{k}^3):\\ \frac{\partial u}{\partial t}(t,x_j)=\epsilon p(p-1)\frac{\partial u}{\partial x}+\\ +{\epsilon }^3(-p(p-1)(p+m-2)u\frac{\partial u}{\partial x}+\mu \frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3})+O\left({\epsilon }^5\right).\end{array}$$

Уравнение (3.11) после перехода к новым переменным $t^{\prime }=t,x^{\prime }=x+p(p-1)\epsilon t$ принимает вид
$$\frac{\partial u}{\partial t^{\prime }}={\epsilon }^3(-p(p-1)(p+m-2)u\frac{\partial u}{\partial x^{\prime }}+\mu \frac{{\partial }^{3}u}{\partial x^3})+O\left({\epsilon }^5\right).$$

После замены переменных
$$\begin{array}{rl}\tau =-{\epsilon }^{3}x{t}^{\prime },x_1=& \sigma x^{\prime },\\ \sigma & =(p(p-1)(p+m-2)/6\mu {)}^{1/2},x=\mu {\sigma }^3\end{array}$$

и перехода к пределу $\epsilon \to 0$ уравнение (3.12) преобразуется в уравнение Кортевега — де Фриза (1.2). Теорема 2 доказана.
II. Динамические системы (3.1), (3.2) после введения обозна чений
$$b_i=\prod _{k=0}^{p-2}{a}_{i+k},c_i=\prod _{k=0}^{p-1}{a}_{i+k}$$

принимают вид
$$\begin{array}{l}{\dot{a}}_i=a_i(b_{i+1}-b_{i-p+1}),\\ {\dot{a}}_i=a_i(c_i-c_{i-p+1}).\end{array}$$

Из этих уравнений в силу (3.13) следуют динамические системы
$${\dot{b}}_i=b_i(\sum _{k=1}^{p-1}{b}_{i+k}-\sum _{k=1}^{p-1}{b}_{i-k}),{\dot{c}}_i=c_i(\sum _{k=1}^{p-1}{c}_{i+k}-\sum _{k=1}^{p-1}{c}_{i-k}),$$

Таким образом, системы (3.1), (3.2) с помощью отображений (3.13) преобразуются в одну динамическую систему (3.16), имеющая вид (1.3).
Отображения (3.13) вида
$$b_i=a_i{a}_{i+1}\dots a_{i+q-1},$$

вообще говоря, необратимы и преобразуют системы (3.1) и (3.2) на некоторые инвариантные подмногообразия системы (1.3). Рассмотрим периодический случай $a_{i_{+n}}\equiv a_i$. Пусть числа $n$ и $q$ не являются взаимно простыми, т. е. $n=sd,q=gd$. Тогда в силу формул (3.17) при любых $i$ и $j$ справедливы соотношения
$$\prod _{k=1}^s{b}_{i+kd}=\prod _{k=1}^s{b}_{j+kd}$$

среди которых имеется $d-1$ функционально независимых соотношений. Формулы (3.18) определяют инвариантное подмногообразие — образ отображения (3.17).

Пусть числа $n$ и $q$ взаимно просты. Тогда существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $kn=lq-1$. В этом случае отображение (3.17) обратимо, причем обратное отображение определяется формулами
$$\mathrm{In}{a}_i=\sum _{m=0}^{l-1}\ln b_{i+mg}-\frac{k}{q}\sum _{m=0}^{n-1}\ln b_{i+m}.$$

Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. B периодическом случае $a_{i+n}\equiv a_i$ динамические системы (3.1) и (1.3) эквивалентны, если $(n,p-1)=1$. Системы (3.2) и (1.3) эквивалентны, если $(n,p)=1$. Системы (3.1) и (3.2) взаимно эквивалентны, если $(n,p)=1$ и $(n,p-1)=1$.
III. Из представления Лакса (3.3) следует наличие у динамической системы (3.1) первых интегралов $I_k=$ $=\mathrm{Tr}{\mathrm{L}}^{kp}$, пде $\mathrm{L}=a+mE$. Прямое вычисление приводит к следующим явным формулам:
$$\begin{array}{c}(-1{)}^{k+1}{I}_{k+1}=\sum _{i=1}^n\sum _{s_1,\dots ,s_q}C(q)\prod _{j=1}^q\prod _{m=0}^{s_j-1}{a}_{i+m+c_j},(3.20)\\ s_j⩾1,s_1+\dots +s_q⩽(k+1)r,1⩽q⩽k+2,\\ C(q)=k+3-q,\\ c_j=s_1+\dots +s_{j-1}-(j-1)r.\end{array}$$

Эти формулы справедливы внериодическом случае $a_i=$ $\equiv a_{i+n}$ и в непериодическом случае при $a_j=0$ для $j<1$, $j⩾n$.
IV. Рассмотрим задачу рассеяния, свяванную с уравнением Лакса (3.3) и динамической системой (3.1), в классе финитных решений с асимптотикой $a_n\to 1$ при $n\to \pm \mathrm{\infty }$. Собственные функции оператора $\mathrm{L}(t,1)=a+m$ (3.3) удовлетворяют уравнению
$$(\mathrm{L}\psi (k,t){)}_n=-\psi (k,t{)}_{n+1-p}+a_n\psi (k,t{)}_{n+1}=k\psi (k,t{)}_n,$$

где $k\in \mathbb{C}$ — спектральный параметр. Пространство решений уравнения (3.22) имеет размерность $p$. Выделим в этом пространстве два базиса собствепных фупкций ${\phi }_i(k,t)$ и ${\psi }_j(k,t)$, которые имеют следующие асимптотики при $n\to \pm \mathrm{\infty }$ :
$${({\phi }_i(k,t))}_n=z_i^n,n\to -\mathrm{\infty };{({\psi }_j(k,t))}_n=z_j^n,n\to +\mathrm{\infty }.$$

Числа $z_i(k),z_j(k)$ являются жорнями уравнения
$$z^p-k{z}^{p-1}-1=0.$$

При $p=2$ уравнение (3.24) имеет два корня $z_1,z_2$, связанных соотношениями $z_2=-z_1^{-1},k=z_1+z_1^{-1}$. Это-случай дискретного уравшения КдФ, подробно рассмотренный в работах $[30,44,45]$.

Покажем, что функции ${\phi }_i(k,i)$ и ${\psi }_i(k,t)$ удовлетворяют уравнению
$${\dot{\phi }}_i+\mathrm{A}{\phi }_i=z_i^p{\phi }_i,\mathrm{A}=a^p.$$

Действительно, из уравнения Јакса, как известно, следует уравнение
$$\mathrm{L}({\dot{\phi }}_i(k,t)+\mathrm{A}{\phi }_i(k,t))=k({\dot{\phi }}_i(k,t)+\mathrm{A}{\phi }_i(k,t)),$$

в силу которого функция $\phi ={\dot{\phi }}_i+A{\phi }_i$ является собственной функцией оператора $\mathrm{L}$ и поэтому имеет представление в виде $\phi =c_1{\phi }_1+\dots +c_p{\phi }_p$. В силу асимптотижи (3.23) имеем
$$\begin{array}{rl}{({\dot{\phi }}_i+\mathrm{A}{\phi }_i)}_n={\left(\dot{{\phi }_i}\right)}_n+\prod _{k=0}^{p-1}{a}_{n+k}{\left({\phi }_i\right)}_{n+p}& =\\ & =z_i^{n+p}=z_i^p{\left({\phi }_i\right)}_n.\end{array}$$

Поэтому $c_j=z_i^p{\delta }_{ij}$ и справедливость уравнения доказана.

Два базиса собственных функций ${\phi }_i(k,t)$ и ${\psi }_j(k,t)$ связаны линейным соотношением
$${\phi }_i(k,t)=\sum _{j=1}^p{\mathrm{B}}_{ij}(k,t){\psi }_j(k,t).$$

Подставив разложения (3.28) в уравнения (3.25), получим равенства
$$\sum _{j=1}^p({\dot{\mathrm{B}}}_{ij}(k,t)+z_j^p{\mathrm{B}}_{ij}(k,t)){\psi }_j(k,t)=z_i^p\sum _{j=1}^p{\mathrm{B}}_{ij}(k,t){\psi }_j.$$

Отсюда находим уравнения, определяющие дипамику компонент матрицы рассеяния
$${\dot{\mathrm{B}}}_{ij}(k,t)=(z_i^p-z_j^p){\mathrm{B}}_{ij}(k,t).$$

Решения этих уравнений имеют вид
$${\mathrm{B}}_{ij}(k,t)={\mathrm{B}}_{ij}(k,0)\exp \left((z_i^p-z_j^p)t\right).$$

В частности, справедливы соотношения
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{B}}_{ii}(k,t)& =B_{ii}(k,0),\\ {\mathrm{B}}_{ij}(k,t){\mathrm{B}}_{ji}(k,t)& ={\mathrm{B}}_{ij}(k,0){\mathrm{B}}_{ji}(k,0).\end{array}$$
V. Рассмотрим задачу рассеяния в случае полубесконечных матриц $\mathrm{L}=a+m$ и $A=a^p$, для индексов которых $j,n$ имеем $j,n⩾1$. В этом случае в первых $p-1$ строках матрицы $L$ имеется только по одпому ненулевому элементу ${\mathrm{L}}_{i,i+1}=a_i$. Поэтому уравнение $\mathrm{L}\psi =k\psi$ при $n<p$ имеет вид
$$a_n\psi (k,t{)}_{n+1}=k\psi (k,t{)}_n,$$

а при $n⩾p$ имеет вид (3.22). Следовательно, все комтоненты $\psi (k,t{)}_n$ определяются из уравнения $\mathrm{L}\psi =k\psi$ по компоненте $\psi (k,t{)}_1$, т. е. пространство собственных функций $\psi (k,t)$ одномерно. Нормируем собственную функцию $\psi (k,t)$ условием
$${\dot{\psi }}_1(k,t)+(\prod _{i=1}^p{a}_i(t)){\psi }_{p+1}(k,t)=0.$$

В силу уравнения (3.26) справедливо равенство
$$\dot{\psi }(k,t)+\mathrm{A}\psi (k,t)=c(t)\psi (k,t).$$

Вычисляя первую компонету уравнения (3.32), убеждаемся, что при условии нормировки (3.31) функция $c(t)\equiv$ $⊑0$, поэтому справедливо уравнение
$$\dot{\psi }(k,t)+\mathrm{A}\psi (k,t)=0.$$

При условии финитности решений системы (3.1) $(a_n\to 1$ при $n\to \mathrm{\infty })$ функция $\psi (k,t)$ имеет следующее асимптотическое разложение при $n\to \mathrm{\infty }$ :
$$\psi (k,t{)}_n=\sum _{j=1}^p{B}_j(k,t)z_j^n,$$

пде $z_j$-корни уравнения (3.24). Подставляя это разложение в уравнение (3.33) и переходя к пределу $n\to \mathrm{\infty }$, получаем уравнение
$$\sum _{j=1}^p(B_j(k,t)z_j^n+B_j(k,t)z_j^{n+p})=0.$$

Отсюда находим уравнения для изменения данных рассеяния
$$\begin{array}{l}{\dot{B}}_j(k,t)=-z_j^p{B}_j(k,t),\\ B_j(k,t)=B_j(k,0)\exp (-z_j^{p}t).\end{array}$$

Таким образом, в двух рассмотренных случаях эволюция данных рассеяния, овязанных с динамической системой (3.1), полностью интегрируется.
VI. Укажем аналог динамической системы (3.1) в случае комплексных величин $a_i$. Рассмотрим уравнение Лакса следующего вида:
$$(\mathrm{A}+\mathrm{M}E{)}^{\cdot }=[\mathrm{A}+\mathrm{M}E,{\mathrm{A}}^p{E}^{-1}].$$

Здесь А и М — блочные матрицы, ненулевые элементы которых имеют вид $A_{i,i+1}=a_i,M_{i,i+1-p}=m_i$, где $a_i$ и $m_i$ являютоя двумерными блоками, которые определяются формулами
$$\begin{array}{c}{a}_i=\left(\begin{array}{cc}0& u_i\\ {\overline{u}}_i& 0\end{array}\right),m_i=-\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),p=2s;\\ m_i=-\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),p=2s+1.\end{array}$$

Уравнение (3.36) сводится к матричному уравнению $A=$ $=[\mathrm{M},{\mathrm{A}}^p]$, эквивалентному динамической системе
$${\dot{u}}_i=u_i(\prod _{k=1}^{p-1}{\tau }^k\left(u_{i+k}\right)-\prod _{k=1}^{p-1}{\tau }^k\left(u_{i-k}\right)),\tau (u)=\overline{u}.$$

Следовательно, динамическая система (3.38) при любом целом $p⩾2$ допускает представление Лакса (3.36) со спектральным параметром $E$ и поэтому имеет набор первых интегралов $I_k=\mathrm{Tr}(\mathrm{A}+\mathrm{M}E{)}^k$. Указанная конструкция (3.36)-(3.37) при отрицательных $p$ приводит к уравнениям вида (3.38) с множителем $u_i^2$ вместо $u_i$, являющимся аналюгами динамических систем (3.2).