Построения данного параграфа во многом, аналогичны построениям § 2 и в случае $p=2$ (модель Вольтерра) переходят в построение работы [30]. Рассмотрим динамическую систему (3.1) в конечномерном непериодическом случае, т. е. при $a_{0}=a_{n}=0$. В представлении Лакса $\overline{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]$ (3.3) матрицы $\mathrm{L}$ и $\mathrm{A}$ размера $n \times n$ имеют следующие ненулевые элементы:
\[
\begin{aligned}
\mathrm{L}_{k, k+1} & =a_{k}, \quad \mathrm{~L}_{k, k+1-p}=-1, \\
\mathrm{~A}_{k, k+p} & =x_{k}=a_{k+1} \ldots a_{k+p-1} .
\end{aligned}
\]

Из представления Лакса (3.3) следует, что собственные числа $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матрицы $\mathrm{L}$ являются первыми интегралами динамической системы (3.1). Пусть $\psi^{1}, \ldots, \psi^{n}-$ соответствующие им собственные функции, $\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}$ векторы с координатами $\left(\mathbf{e}_{i}\right)_{j}=\delta_{i j}$. Пусть $\mathbf{e}_{1}=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \psi^{k}$. В дальнейшем, как и в § 2 , существенпо используется резольвента $\mathrm{R}(\lambda)=(\lambda-\mathrm{L})^{-1}$ оператора $\overline{\mathrm{L}}$; очевидно, справедливы равенства
\[
\mathrm{R}(\lambda) \psi^{k}=\frac{1}{\lambda-\lambda_{k}} \psi^{k}, \quad \mathrm{R}(\lambda) \mathbf{e}_{1}=\sum \frac{\alpha_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} \psi^{k}
\]

и дифференциальное уравнение
\[
\dot{\mathbf{R}}(\lambda)=[\mathrm{R}(\lambda), \mathrm{A}] .
\]

Определим функцию
\[
f(\lambda)=\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\rho_{k}}{\lambda-\lambda_{k}}, \quad \rho_{k}=\alpha_{k}\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{1}\right) .
\]

Матрица L (4.1) пмеет ненулевые элементы в тех же клетках, что и матрица $\mathrm{L}$ из § 2 . Поэтому в рассматриваемом случае также справедливы лемма 1 § 2 и все равенства (2.4). Следователыно, матрица L (4.1) вместе с любым собственным числом $\lambda$ имеет $p$ собственных чисел $z^{k} \lambda, k=1,2, \ldots, p$, где $z=\exp (2 \pi i / p) ; z^{p}=1$. Так же как и в $\S 2$, из равенства $f(\lambda)=z f(z \lambda)$ следует, что величины $\rho_{k}$ и $\rho_{j}$ совпадают, если соответствующие собственные числа $\lambda_{k}, \lambda_{j}$ связаны соотношением $\lambda_{k}=z^{m} \lambda_{j}$. Переменные $\rho_{k}$ удовлетворяют связи $\rho_{1}+\ldots+\rho_{n}=1$, которая следует из асимптотиюи резольвенты $\mathrm{R}(\lambda)=\lambda^{-1}$ id при $\lambda \rightarrow \infty$. Поэтому число пезависимых коэффициентов $\rho_{h}$, как и число собственных тисел $\lambda_{j}$, не превосхюдит $[n / p]$.

Продифферепцируем функцию $f(\lambda)$ (4.4) по времени; в силу уравнения (4.3) имеем
\[
\begin{aligned}
\dot{f}(\lambda)=\left(\dot{\mathrm{R}}(\lambda) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=( & \left.(\mathrm{RA}-\mathrm{AR}) \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)= \\
& =\left(\mathrm{RA} \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)-\left(\mathrm{Re}_{1}, \mathrm{~A}^{t} \mathbf{e}_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Из формул (4.1) следует $\mathrm{Ae}_{1}=0, \mathrm{~A}^{t} \mathbf{e}_{1}=x_{1} \mathbf{e}_{p+1}$, поэтому
\[
\dot{f}(\lambda)=-\left(\mathbf{R e}_{1}, \mathrm{~A}^{t} \mathbf{e}_{1}\right)=-\sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_{k} x_{1}}{\lambda-\lambda_{k}}\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{p+1}\right) .
\]

Обозначим $\psi_{i}^{k}=\left(\psi^{k}, \mathbf{e}_{i}\right)$. В силу определения $\mathrm{L} \psi^{k}=\lambda_{k} \psi^{k}$ имеем систему уравнений
\[
\begin{aligned}
a_{1} \psi_{2}^{k}=\lambda_{k} \psi_{1}^{k}, \ldots, a_{p-1} \psi_{p}^{k} & =\lambda_{k} \psi_{p-1}^{k}, \\
-\psi_{1}^{k}+a_{p} \psi_{p+1}^{k} & =\lambda_{k} \psi_{p}^{k},
\end{aligned}
\]

из которой следует соотношение
\[
\psi_{p+1}^{k}=-\frac{\lambda_{k}^{p}-a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}}{a_{1} a_{2} \ldots a_{p}} \psi_{1}^{k} .
\]

После подстановки этого выражения в формулу (4.6) и сокращения на $x_{1}=a_{1} a_{2} \ldots a_{p}$, получаем
\[
\begin{aligned}
\dot{f}(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(\lambda_{h}^{p}-a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}\right)}{\lambda-\lambda_{k}}\left(\alpha_{k} \psi^{k}, e_{1}\right)= \\
=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(\lambda_{k}^{p}-a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}\right) \rho_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\end{aligned}
\]

Дифференцируя разложение (4.4) функции $f(\lambda)$, находим
\[
\dot{f}(\lambda)=\sum_{k=1}^{n} \frac{\dot{\rho}_{k}}{\lambda-\lambda_{k}} .
\]

Из равенств (4.7), (4.8) следует система дифференциальных уравнений
\[
\dot{\rho}_{k}=\left(\lambda_{k}^{p}-a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}\right) \rho_{k} .
\]

Покажем, что справедливо равенство
\[
a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j}^{p} \rho_{j} .
\]

Действителыно, в силу определений имеем
\[
\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathrm{L}^{p} \mathbf{e}_{\mathbf{1}}, \mathbf{e}_{1}\right)=\left(\mathrm{R}(\lambda) \mathrm{L}^{p} \sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} \psi^{j}, \mathbf{e}_{1}\right)=\sum_{j=1}^{n} \frac{\lambda_{j}^{p} \rho_{j}}{\lambda-\lambda_{j}} .
\]

Асимптотика резольвепты при $\lambda \rightarrow \infty$ имеет вид $\mathrm{R}(\lambda)=$ $=\lambda^{-1} \mathrm{id}$. Для оператора L (4.1) справедлива формула

( $\left.\mathrm{L}^{p} \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)=a_{1} a_{2} \ldots a_{p-1}$. Поэтому приравнивая асимптотики обеих частей равенства (4.11) при $\lambda \rightarrow \infty$, получаем выражение (4.10).

Как отмечалось выше, справедливо равенство $\rho_{1}+$ $+\rho_{2}+\ldots+\rho_{n}=1$. Вследствие этого можно ввести проективные координаты $r_{h}$, для которых
\[
\rho_{k}=r_{k}\left(\sum_{j=1}^{n} r_{j}\right)^{-1} \text {. }
\]

Переменные $r_{k}$ определены с точностью до общего множителя. Система уравнений (4.9) в силу равенства (4.10) әквивалентна системе уравнений
\[
\dot{r}_{k}=\lambda_{k}^{p} r_{k}, \quad \dot{\lambda}_{k}=0 .
\]

Уравнения (4.13) являются интегрируемой редукцией динамической системы (3.1). Их решения имеют вид
\[
r_{k}(t)=r_{k}^{0} \exp \left(\lambda_{k}^{n} t\right), \quad \lambda_{k}=\text { const. }
\]

Эти формулы, очевидно, сохраняют равенство переменных $r_{k}, r_{j}$, для которых $\lambda_{k}=z^{m} \lambda_{j}$, так как $z^{p}=1$.

Переменные $r_{k}$ как фушкции от $a_{1}, \ldots, a_{n-1}$ строятся с помощью операций линейной алгебры (вычисление резольвенты), которые вполне эффективны. Полное число независимых переменных в системе (4.13) не превосходит $2[n / p]$. При $p=2$ переменные $r_{k}, \lambda_{j}$ образуют систему координат в пространстве $a_{1}, \ldots, a_{n-1}$. В силу этого обстоятелыства в работе [30] было проинтегрировано дискретное уравнение КдФ (уравнения (3.1) при $p=2$ совпадают с дискретным КдФ). В общем случае $p>2$ из проведенных рассуждений следует, что система (3.1) в некоторых координатах $r_{k}, \lambda_{j}, b_{i}$ имеет эквивалентный вид
\[
\dot{r}_{k}=\lambda_{k}^{p} r_{k}, \quad \dot{\lambda}_{k}=0, \quad \dot{b}_{i}=f_{i}\left(r_{k}, \lambda_{j}, b_{1}, \ldots, b_{d}\right) .
\]

Здесь число координат $b_{i}$ равно $d=n-1-2[n / p]$.