Рассмотрим вращение твердого тела вокруг ненодвижной точки в гравитационном поле с потенциалом вида
\[
\varphi=\frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta=1}^{3} a_{\alpha \beta}(|\mathbf{x}|) x^{\alpha} x^{\beta}, \quad|\mathbf{x}|=\left(\left(x^{1}\right)^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}+\left(x^{3}\right)^{2}\right)^{1 / 2},
\]
где $a_{\alpha \beta}(|\mathbf{x}|)$ – произвольные дифференцируемые функции переменной $|\mathbf{x}|$. Ньютоновские потенциалы вида (6.1), удовлетворяющие уравнению Лапласа $\Delta \varphi=0$, определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
\varphi=|\mathbf{x}|^{-5}\left(\sum_{\alpha, \beta=1}^{3} c_{\alpha \beta} x^{\alpha} x^{\beta}\right)+\sum_{\alpha, \beta=1}^{3} b_{\alpha \beta} x^{\alpha} x^{\beta}+c|\mathbf{x}|^{-1}, \\
c_{11}+c_{22}+c_{33}=0, \quad b_{11}+b_{22}+b_{33}=0 .
\end{array}
\]
Введем следующий четырехкомпонентный тензор, симметричный по двум парам индексов $\alpha, \beta$ и $i, k$ и обобщающий тензор инерции $I_{i k}$ (3.4):
\[
T_{\alpha \beta i k}=\int_{T} \rho(\mathbf{r}) a_{\alpha \beta}(|\mathbf{r}|)\left(\delta_{i k} \sum_{l=1}^{3}\left(r^{l}\right)^{2}-r^{i} r^{k}\right) d r^{1} d r^{2} d r^{3} .
\]
Теорема 3. Если тензор $T_{\text {aвiк }}$ допускает представление
\[
T_{\alpha \beta i k}=A_{\alpha \beta} I_{i k}+B_{\alpha \beta} \delta_{i k}+\delta_{\alpha \beta} C_{i k},
\]
где $A, B, C$-произвольные симметрические матрицы, то вращение твердого тела $T$ в гравитационном поле $c$ потенциалом (6.1) вокруг неподвижной точки $O\left(x^{i}=0\right)$ является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в $\theta$-функциях римановых поверхностей.
Если $a_{\alpha \beta}(|\mathbf{x}|)=$ const, то условия (6.3) очевидно вылолнены, поэтому теорема 3 является обобщением теоремы 2. Если твердое тело $T$ является шаром, плотность которого имеет вид
\[
\rho(\mathbf{r})=\rho_{1}(\mathbf{r} /|\mathbf{r}|) \rho_{2}(|\mathbf{r}|),
\]
то условия (6.3) выполнены при произвольных функциях $a_{\alpha \beta}\left(|\mathbf{x}|\right.$ ) (при этом $B_{\alpha \beta}=C_{i k}=0$ ), поэтому вращение такого твердого тела в поле с произвольным потенциалом вида (6.1) является вполне интегрируемым по Лиувиллю.
Пусть ортогональная матрица $Q(t)$ определяет преобразование из лагранжевых координат $r^{k}$, связанных с системой отсчета $S$, в эйлеровы координаты $x^{i}: x^{i}=$ $=\sum_{k=1}^{3} Q_{k}^{i}(t) r^{k}$. По определению $Q=Q \omega$, где $\omega-$ матрица угловой скорости. В системе $S$ потенциал (6.1) имеет вид
\[
\varphi=2^{-1} \sum_{\alpha, \beta, n, l} a_{\alpha \beta}(|\mathbf{r}|) Q_{n}^{\alpha} Q_{l}^{\beta} r^{n} r^{l} .
\]
Компоненты момента гравитационных сил, действующих на твердое тело в поле с потенциалом $\varphi$ (6.4), определяются формулами (всюду по повторяющимся индексам производится суммирование)
\[
\begin{aligned}
K_{i}=\int_{T}\left(\mathbf{r} \times \rho \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)_{i} d r^{1} d_{i}^{2} d r^{3}= \\
\quad=\int_{T} \varepsilon_{i m n} r^{m} \rho(\mathbf{r}) a_{\alpha \beta}(|\mathbf{r}|) Q_{n}^{\alpha} Q_{l}^{\beta} r^{l} d r^{1} d r^{2} d r^{3} .
\end{aligned}
\]
Кососимметрическая матрица $K$, соответствуюцая в силу изоморфизма (2.3) вектору момента сил (6.5), имеет следующие компоненты:
\[
K_{j k}=-\varepsilon_{i j k} K_{i}=T_{\alpha \beta j l} Q_{k}^{\alpha} Q_{l}^{\beta}-T_{\alpha \beta k l} Q_{j}^{\alpha} Q_{l}^{\beta} .
\]
После подстановки выражения (6.3) в формулу (6.6) и суммирования по $\alpha, \beta$ находим, что слагаемые, включающие матрицы $B_{\alpha \beta}, C_{i k}$, сокращаются в силу симметричности этих матриц. В итоге получаем равенство
\[
K_{j k}=I_{j l} A_{\alpha \beta} Q_{k}^{\alpha} Q_{l}^{\beta}-I_{k l} A_{\alpha \beta} Q_{j}^{\alpha} Q_{l}^{\beta} .
\]
Введем матрицу $u=Q^{t} A Q$. Равенство (6.7) в матричном виде означает $K=I u-u I=-[u, I]$. Поэтому уравнения (3.10), определяющие изменение матрицы кинетического момента и матрицьі $u$ (в силу $\phi=Q \omega$ ), имеют вид, совпадающий с системой уравнений (3.14). Эти уравнения полностью определяют вращепие твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с потенциалом (6.1) при выполнении условий (6.3). Поэтому теорема 3 следует из теорем 1 и 2.
