Рассмотрим вращение твердого тела вокруг ненодвижной точки в гравитационном поле с потенциалом вида
$$\phi =\frac{1}{2}\sum _{\alpha ,\beta =1}^3{a}_{\alpha \beta }(|\mathbf{x}|)x^{\alpha }{x}^{\beta },|\mathbf{x}|={({\left(x^1\right)}^2+{\left(x^2\right)}^2+{\left(x^3\right)}^2)}^{1/2},$$

где $a_{\alpha \beta }(|\mathbf{x}|)$ — произвольные дифференцируемые функции переменной $|\mathbf{x}|$. Ньютоновские потенциалы вида (6.1), удовлетворяющие уравнению Лапласа $\mathrm{\Delta }\phi =0$, определяются формулами
$$\begin{array}{c}\phi =|\mathbf{x}{|}^{-5}\left(\sum _{\alpha ,\beta =1}^3{c}_{\alpha \beta }{x}^{\alpha }{x}^{\beta }\right)+\sum _{\alpha ,\beta =1}^3{b}_{\alpha \beta }{x}^{\alpha }{x}^{\beta }+c|\mathbf{x}{|}^{-1},\\ c_{11}+c_{22}+c_{33}=0,b_{11}+b_{22}+b_{33}=0.\end{array}$$

Введем следующий четырехкомпонентный тензор, симметричный по двум парам индексов $\alpha ,\beta$ и $i,k$ и обобщающий тензор инерции $I_{ik}$ (3.4):
$$T_{\alpha \beta ik}={\int }_T\rho (\mathbf{r})a_{\alpha \beta }(|\mathbf{r}|)({\delta }_{ik}\sum _{l=1}^3{\left(r^l\right)}^2-r^i{r}^k)d{r}^{1}d{r}^{2}d{r}^3.$$

Теорема 3. Если тензор $T_{\text{aвiк }}$ допускает представление
$$T_{\alpha \beta ik}=A_{\alpha \beta }{I}_{ik}+B_{\alpha \beta }{\delta }_{ik}+{\delta }_{\alpha \beta }{C}_{ik},$$

где $A,B,C$-произвольные симметрические матрицы, то вращение твердого тела $T$ в гравитационном поле $c$ потенциалом (6.1) вокруг неподвижной точки $O(x^i=0)$ является вполне интегрируемым по Лиувиллю и интегрируется в $\theta$-функциях римановых поверхностей.

Если $a_{\alpha \beta }(|\mathbf{x}|)=$ const, то условия (6.3) очевидно вылолнены, поэтому теорема 3 является обобщением теоремы 2. Если твердое тело $T$ является шаром, плотность которого имеет вид
$$\rho (\mathbf{r})={\rho }_1(\mathbf{r}/|\mathbf{r}|){\rho }_2(|\mathbf{r}|),$$

то условия (6.3) выполнены при произвольных функциях $a_{\alpha \beta }(|\mathbf{x}|$ ) (при этом $B_{\alpha \beta }=C_{ik}=0$ ), поэтому вращение такого твердого тела в поле с произвольным потенциалом вида (6.1) является вполне интегрируемым по Лиувиллю.

Пусть ортогональная матрица $Q(t)$ определяет преобразование из лагранжевых координат $r^k$, связанных с системой отсчета $S$, в эйлеровы координаты $x^i:x^i=$ $=\sum _{k=1}^3{Q}_k^i(t)r^k$. По определению $Q=Q\omega$, где $\omega -$ матрица угловой скорости. В системе $S$ потенциал (6.1) имеет вид
$$\phi =2^{-1}\sum _{\alpha ,\beta ,n,l}{a}_{\alpha \beta }(|\mathbf{r}|)Q_n^{\alpha }{Q}_l^{\beta }{r}^n{r}^l.$$

Компоненты момента гравитационных сил, действующих на твердое тело в поле с потенциалом $\phi$ (6.4), определяются формулами (всюду по повторяющимся индексам производится суммирование)
$$\begin{array}{r}{K}_i={\int }_T{(\mathbf{r}\times \rho \frac{\partial \phi }{\partial r})}_{i}d{r}^1{d}_i^{2}d{r}^3=\\ ={\int }_T{\epsilon }_{imn}{r}^m\rho (\mathbf{r})a_{\alpha \beta }(|\mathbf{r}|)Q_n^{\alpha }{Q}_l^{\beta }{r}^{l}d{r}^{1}d{r}^{2}d{r}^3.\end{array}$$

Кососимметрическая матрица $K$, соответствуюцая в силу изоморфизма (2.3) вектору момента сил (6.5), имеет следующие компоненты:
$$K_{jk}=-{\epsilon }_{ijk}{K}_i=T_{\alpha \beta jl}{Q}_k^{\alpha }{Q}_l^{\beta }-T_{\alpha \beta kl}{Q}_j^{\alpha }{Q}_l^{\beta }.$$

После подстановки выражения (6.3) в формулу (6.6) и суммирования по $\alpha ,\beta$ находим, что слагаемые, включающие матрицы $B_{\alpha \beta },C_{ik}$, сокращаются в силу симметричности этих матриц. В итоге получаем равенство
$$K_{jk}=I_{jl}{A}_{\alpha \beta }{Q}_k^{\alpha }{Q}_l^{\beta }-I_{kl}{A}_{\alpha \beta }{Q}_j^{\alpha }{Q}_l^{\beta }.$$

Введем матрицу $u=Q^{t}AQ$. Равенство (6.7) в матричном виде означает $K=Iu-uI=-[u,I]$. Поэтому уравнения (3.10), определяющие изменение матрицы кинетического момента и матрицьі $u$ (в силу $\varphi =Q\omega$ ), имеют вид, совпадающий с системой уравнений (3.14). Эти уравнения полностью определяют вращепие твердого тела в ньютоновском гравитационном поле с потенциалом (6.1) при выполнении условий (6.3). Поэтому теорема 3 следует из теорем 1 и 2.