В работах $[2,3]$ была установлена важная роль в теории уравнения Кортевега – де Фриза двух преобразований Миуры и преобразования Гарднера. С помощью этих преобразований было выведено модифицированное уравнение КдФ. В данной главе преобразования Миуры и Гарднера применены для вывода двумерного модифицированного интегрируемого уравнения, имеющего две вещественно-неэквивалентные формы. Показано, что двумерное уравнение, выведенное в гл. II, и его модифицированное уравнение, несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, обладают счетным множеством первых интегралов. Указаны три различные представления Лакса для двумерного модифицированного уравнения, в которых оператор L является соответственно симметрическим, кососимметрическим и эрмитовым. Эти три представления Лакса отражают связь двумерного модифицированного уравнения с интегрируемым уравнением (1.21) – (1.22) гл. II, с уравнением Синус Гордона и уравнением МКдФ (соответствующие операторы L совпадают). Выведены уравнения эволюции данных рассеяния. Установлено, что стационарное модифицированное уравнение включает в себя ряд интегрируемых случаев уравнения Клейна Гордона.