I. Покажем, что уравнения (3.14) допускают эквивалентное представление в виде уравнения Лакса, зависящего от произвольного параметра $E$ :
\[
\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L}=B E^{2}+M E+u, \quad \mathrm{~A}=\omega-E I .
\]

Действительно, уравнение (4.1) является многочленом третьей степени по $E$; условие равенства нулю коэффициентов при $E^{k}$ приводит к следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
E^{3}:[B, I]=0, E^{2}:[B, \omega]-[M, I]=0, \\
E^{1}: \dot{M}=[M, \omega]-[u, I], \quad E^{0}: \dot{u}=[u, \omega] .
\end{array}
\]

Первые два уравнения (4.2) выполнены в силу определения матрицы $B$ и $M_{i j}=I_{k} \omega_{i j}(i, j, k=1,2,3)$; последние два уравнения (4.2) совпадают с системой (2.6), (3.14).

Интегралы (2.10) являются коэффициентами при $E^{2}$ в разложении функций $\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}^{2}(E)\right)$ и $\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}^{3}(E)\right.$ ) (которые в силу (4.1) не зависят от $t$ ) по степеням $E$.

Собственные числа $w_{1}, w_{2}, w_{3}$ матрицы $\mathrm{L}$ являются интегралами системы (4.1) и удовлетворяют уравнению
\[
R(w, E)=\operatorname{det}\left(B E^{2}+M E+u-w \cdot 1\right)=0 .
\]

Таким образом, с уравнением (4.1) естественно связана риманова поверхность $\Gamma$, заданная уравнением (4.3). Все коэффициенты уравнения (4.3) являются первыми интегралами системы (3.14) и выражаются через шесть независимых интегралов:
\[
\begin{array}{c}
J_{1}=\operatorname{Tr}\left(2^{-1} M \cdot \omega-u \cdot I\right), \quad J_{2}=\operatorname{Tr}\left(2^{-1} M^{2}+B u\right), \\
J_{3}=\operatorname{Tr}\left(M^{2} u+B u^{2}\right), \quad J_{4}=\operatorname{Tr}(u), \quad J_{5}=\operatorname{Tr}\left(u^{2}\right), \quad J_{6}=\operatorname{det}(u) .
\end{array}
\]

Явный вид уравнения (4.3) следующий:
\[
\begin{array}{r}
R(w, E)=k_{6} E^{6}+k_{4} E^{4}+k_{2} E^{2}+l_{4} w E^{4}+l_{2} w^{2} E^{2}+ \\
+m_{2} w E^{2}+n_{3} w^{3}+n_{2} w^{2}+n_{1} w+n_{0}=0, \\
k_{6}=k^{2}, k=I_{1} I_{2} I_{3}, k_{4}=-k J_{1}, \quad l_{4}=-k \operatorname{Tr}(I), \quad(4.5), \\
k_{2}=J_{3}-J_{4} J_{2}+2^{-1} k \operatorname{Tr}\left(I^{-1}\right)\left(J_{4}^{2}-J_{5}\right), \quad l_{2}=k \operatorname{Tr}\left(I^{-1}\right), \\
m_{2}=J_{2}-k \operatorname{Tr}\left(I^{-1}\right) J_{4}, \quad n_{3}=-1, \quad n_{2}=J_{4}, \\
n_{1}=\left(J_{5}-J_{4}^{2}\right) / 2, \quad n_{0}=J_{\mathbf{6}} .
\end{array}
\]

Уравнения (4.3)-(4.5) имеют при $E \rightarrow \infty$ три корня:

$w_{i}=B_{i} E^{2}\left(1+0|E|^{-1}\right)$. Поэтому поверхность $\Gamma$ трехлист но (и разветвленно) накрывает комплексную прямую $E$. Проективное замыкание кривой $\Gamma$ имеет особую точку с координатами $x_{0}=w^{-1}=0, \quad x_{1}=E w^{-1}=0, \quad$ в которої пересекаются три листа поверхности $\Gamma$ при $E \rightarrow \infty$. Для разрешения этой особенности введем новые координаты $z=E^{-1}, W=w E^{-2}$, в которых уравнение (4.5) принимает вид
\[
\begin{aligned}
k_{6}+k_{4} z^{2}+k_{2} z^{4}+l_{4} W+ & l_{2} W^{2}+m_{2} W z^{2}+n_{3} W^{3}+ \\
+ & n_{2} W^{2} z^{2}+n_{1} W z^{4}+n_{0} z^{6}=0 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (4.6) при $z=0$ имеет три корня: $W_{i}=$ $=I_{1} I_{2} I_{3} I_{i}^{-1}=B_{i}$, которые определяют три точки $P_{1}^{0}, P_{2}^{0}$, $P_{3}^{0}$, осуществляющие неособое замыкание поверхности $\Gamma$ на бесконечности.

Поверхность $\Gamma$, определенная уравнением (4.5), очевидно, допускает инволюцию $\sigma:(w, E) \rightarrow(w,-E)$. Рассмотрим отображение $f:(w, E) \rightarrow\left(w, E_{1}=E^{2}\right)$ поверхности $\Gamma_{\text {в пово }}$ порность $\Gamma_{1}=\Gamma / \sigma$, заданную уравнением
\[
\begin{aligned}
R_{1}\left(w, E_{1}\right)= & k_{6} E_{1}^{3}+k_{4} E_{1}^{2}+k_{2} E_{1}+l_{4} w E_{1}^{2}+l_{2} w^{2} E_{1}+ \\
& +m_{2} w E_{1}+n_{3} w^{3}+n_{2} w^{2}+n_{1} w+n_{0}=0 .
\end{aligned}
\]

Уравнение (4.7) имеет степень 3 , поэтому род поверхности $\Gamma_{1} \quad g\left(\Gamma_{1}\right)=1$ и ее эйлерова характеристика $\chi\left(\Gamma_{1}\right)=$ $=0\left(\Gamma_{1}=\mathrm{T}^{2}\right)$. С помощью отображения $f$ несложно вычислить род римановой поверхности $\Gamma$. Отображение $f$ является разветвленным двулистным накрытием и имеет 6 точек ветвления $f\left(P_{i}^{0}\right), f\left(w_{i}\right) ; i=1,2,3$, тде $w_{i}-$ три корня (в общем случае) уравнения (4.5) при $E=0$. Поэтому по формуле Римана – Гурвица получаем:
\[
\chi(\Gamma)=2 \chi\left(\Gamma_{1}\right)-6=-6, \quad g(\Gamma)=1-\chi(\Gamma) / 2=4 .
\]

Отметим, что таким образом для рассматриваемой интегрируемой динамической системы (2.6), (3.14) род соответствующей римановой поверхности $g(\Gamma)=4$ больше размерности $d=3$ инвариантных торов $\mathrm{T}^{3}$, на которых, как показано в § 2 , происходит квазипериодическая динамика.
II. Для полного описания вращения твердого тела необходимо знать зависимость компонент угловой скорости от времени, поэтому нашей целью является получение явных формул для компонент $\omega_{i}^{j}(t)$. Применяемый метод $[131,19,58]$ заключается в построении некоторых аналитических (кроме конечного числа точек) функций на римановой поверхности $\Gamma$ (функций типа Бейкера Ахиезера $[137,138])$, которые, с одной стороны, зависят от параметров системы (3.14), (4.1), а с другой стороны, в силу теоремы единственности однозначно выражаются через $\theta$-функцию Римана поверхности Г. Такая связь и позволяет найти выражение компонент $\omega_{i}^{j}(t)$ через $\theta$-функцию Римана.

Выполнение уравнения (4.1) эквивалентно коммутативности матричных операторов $\mathrm{F}=\partial / \partial t+\mathrm{A}$ и $\mathrm{L}$. Рассмотрим совместные собственные вектор-функции этих операторов, удовлетворяющие условиям
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathrm{A}\right) \psi_{k}=0, \quad \mathrm{~L} \psi_{k}=w_{k} \psi, \quad R\left(w_{k}, E\right)=0, \quad k=1,2,3 .
\]

Три вектор-функции $\psi_{k}(t, E)$ образуют трехмерную матрицу $\psi(t, E)$ с компонентами $\psi_{k}^{i}(t, E)$. Пусть $\varphi_{i}^{k}(t, E)$ компоненты обратной матрицы $\varphi(t, E)$. Определим матричнозначную функцию $g_{i}^{j}\left(t, P_{k}\right)$ от точки $P_{k}=\left(w_{k}, E\right)$ на римановой поверхности $\Gamma$ формулами
\[
g_{i}^{j}\left(t, P_{k}\right)=\psi_{k}^{j}(t, E) \varphi_{i}^{k}(t, E) .
\]

Матрицы $\psi, \varphi$ и $g$ в силу (4.8) удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=-\mathrm{A} \psi, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\varphi \mathrm{A}, \quad \frac{\partial g}{\partial t}=[g, \mathrm{~A}] .
\]

Три вектор-функции $\psi_{k}(t, E)$ с компонентами $\psi_{k}^{j}(t, E)$ естественно также рассматривать как одну вектор-функцию $\psi\left(t, P_{k}\right)$ с комшонентами $\psi^{j}\left(t, P_{k}\right)$, зависящую от точки $P_{k}=\left(w_{k}, E\right)$ на римановой поверхности $\Gamma: \psi^{j}\left(t, P_{k}\right)=$ $=\psi_{k}^{j}(t, E)$. Аналогично определяются вектор-функция $\varphi\left(t, P_{k}\right)$ с компонентами $\varphi_{i}\left(t, P_{k}\right)=\varphi_{i}^{k}(t, E)$. Функции $\psi^{j}\left(t, P_{k}\right)$ являются целыми на аффинной части римановой поверхности $\Gamma$, функции $\varphi_{i}\left(t, P_{k}\right)$ являются мероморфными, дивизоры их нулей и полюсов в аффинной части $\Gamma$ имеют вид:
\[
\left(\psi^{j}(t, P)\right)_{a}=d^{j}(t), \quad\left(\varphi_{i}(t, P)\right)_{a}=d_{i}(t)-D_{r},
\]

где $D_{r}$ – дивизор точек ветвления римановой поверхности над комплексной $E$-плоскостью. По формуле Римана – Гурвица имеем $\chi(\Gamma)=3 \chi\left(S^{2}\right)-\operatorname{deg}\left(D_{r}\right)$. В силу $\chi(\Gamma)=-6, \chi\left(S^{2}\right)=2$ получаем $\operatorname{deg}\left(D_{r}\right)=12$.

Из последнего уравнения (4.10) в силу определения $\mathrm{A}=w-z^{-1} I$ получаем, что при $P \rightarrow P_{k}^{0}\left(z=E^{-1} \rightarrow 0\right.$, $W \rightarrow B_{k}$ ) матрица $g(t, P)$ имеет асимптотическое разложение
\[
\begin{array}{c}
g=g_{0}+g_{1} z+g_{2} z^{2}+\ldots, \quad\left(g_{0}\right)_{i}^{j}=\delta_{k}^{j} \delta_{i}^{k} \\
\left(g_{i}\right)_{i}^{j}=\left(I_{i}-I_{j}\right)^{-1}\left(\delta_{k}^{j} \omega_{i}^{k}-\delta_{i}^{k} \omega_{k}^{j}\right), \quad\left(I_{i}-I_{j}\right)\left(g_{2}\right)_{i}^{j}= \\
=-\left(g_{1}\right)_{i}^{j}+\left(I_{s}-I_{i}\right)^{-1}\left(\delta_{k}^{j} \omega_{s}^{k} \omega_{i}^{s}-\omega_{k}^{j} \omega_{i}^{k}\right)+ \\
+\left(I_{i}-I_{s}\right)^{-1}\left(\delta_{i}^{h} \omega_{s}^{j} \omega_{k}^{s}-\omega_{k}^{j} \omega_{i}^{k}\right) .
\end{array}
\]

Функция $g_{i}^{j}(t, P)$ в силу определения (4.9) и асимптотики (4.12) является мероморфной на всей поверхности $\Gamma$, ее дивизор представляется в виде [58]
\[
\left(g_{i}^{j}(t, P)\right)=d_{i}(t)+d^{j}(t)-D_{r}+2\left(P_{\mathbf{1}}^{0}+P_{2}^{0}+P_{3}^{0}\right)-P_{i}^{0}-P_{j}^{0} .
\]

Для мероморфной функции $g_{i}^{j}(t, P)$ имеем $\operatorname{deg}\left(g_{i}^{j}(t, P)\right)=$ $=0$. Отсюда в силу $\operatorname{deg}\left(D_{r}\right)=12$ следует $\operatorname{deg} d_{i}(t)=$ $=\operatorname{deg} d^{j}(t)=4=g(\Gamma)$.
Определим функции
\[
\psi^{j}(t, \tau, P)=\frac{\psi^{j}(t, P)}{\psi^{j}(\tau, P)}, \quad \psi_{i}(t, \tau, P)=\frac{\varphi_{i}(t, P)}{\varphi_{i}(\tau, P)} .
\]

Функции $\psi^{j}(t, \tau, P), \psi_{i}(t, \tau, P)$ не зависят от нормировки собственных функций (4.8) и являются мероморфными в аффинной части $\Gamma$, их дивизоры имеют вид
\[
\begin{aligned}
\left(\psi^{j}(t, \tau, P)\right)_{a} & =d^{j}(t)-d^{j}(\tau), \\
& \left(\psi_{i}(t, \tau, P)\right)_{a}=d_{i}(t)-d_{i}(\tau) .
\end{aligned}
\]

Используя определения (4.9)-(4.14), получаем:
\[
\frac{\partial \ln g_{i}^{j}(t, P)}{\partial t}=\frac{\partial \ln \psi^{j}(t, 0, P)}{\partial t}+\frac{\partial \ln \psi_{i}(t, 0, P)}{\partial t},
\]

Отсюда, исцользуя асимптотику (4.12) при $P \rightarrow P_{j}^{0}$, на ходим:
\[
\omega_{i}^{j}(t)=C_{i}^{j} \lim _{P \rightarrow P_{j}^{0}} \psi^{j}(t, 0, P) \psi_{i}(t, 0, P),
\]

где $C_{i}^{j}$ – некоторые константы.

Формулы (4.16) позволяют выразить угловые скорости $\omega_{i}^{j}(t)$ через $\theta$-функции римановой поверхности $\Gamma$. Для этого необходимо установить аналитические свойства функций $\psi^{j}, \psi_{i}$, в силу которых эти функции однозначно выражаются через $\theta$-функции Римана. Покажем, что в трех точках $P_{k}^{0}$, имеющих координаты $z=E^{-1}=0$, $W=w E^{-2}=B_{k}$, функции $\psi^{j}(t, \tau, P)$ и $\psi_{i}(t, \tau, P)$ имеют существенные особенности с асимптотиками
\[
\begin{array}{l}
\psi^{j}(t, \tau, P)=\alpha^{j}(t, \tau, P) \exp \left((t-\tau) I_{k} z^{-1}\right), \\
\psi_{i}(t, \tau, P)=\alpha_{i}(t, \tau, P) \exp \left(-(t-\tau) I_{k} z^{-1}\right),
\end{array}
\]

где функции $\alpha^{j}$ и $\alpha_{i}$ мероморфны в окрестности точек $P_{k}^{0}$. Функции $\psi^{j}(t, \tau, P), \psi_{i}(t, \tau, P)$ в силу (4.8)-(4.14) удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{r}
\partial \ln \psi^{j}(t, \tau, P) / \partial t=\dot{\psi}^{j}(t, P) / \psi^{j}(t, P)= \\
=-Q_{s}^{j} \psi^{s}(t, P) / \psi^{j}(t, P)=z^{-1} I_{j}-\omega_{s}^{j}(t) \psi^{s}(t, P) / \psi^{j}(t, P)= \\
=z^{-1} I_{j}-\omega_{s}^{j}(t) g_{x}^{s}(t, P) / g_{x}^{j}(t, P),
\end{array}
\]
$\partial \ln \psi_{i}(t, \tau, P) / \partial t=\dot{\varphi}_{i}(t, P) / \varphi_{i}(t, P)=$
\[
\begin{array}{c}
=Q_{i}^{s} \varphi_{s}(t, P) / \varphi_{i}(t, P)=-z^{-1} I_{i}+\omega_{i}^{s}(t) \varphi_{s}(t, P) / \varphi_{i}(t, P)= \\
=-z^{-1} I_{i}+\omega_{i}^{s}(t) g_{s}^{x}(t, P) / g_{i}^{x}(t, P) . \quad \text { (4.18) }
\end{array}
\]

В формулах (4.18) (значения которых не зависят от $x$ ) положим $x=k$ и используем асимптотику (4.12); получим, что при $P \rightarrow P_{k}^{0}$
\[
\begin{array}{l}
\partial \ln \psi^{j}(t, \tau, P) / \partial t=z^{-1} I_{k}+f_{j k}^{1}(t, z), \\
\partial \ln \psi_{i}(t, \tau, P) / \partial t=-z^{-1} I_{k}+f_{i k}^{2}(t, z),
\end{array}
\]

где функции $f_{j k}^{1}(t, z), f_{i k}^{2}(t, z)$ голоморфны в окрестности точки $P_{k}^{0}$. Из формул (4.19) и тождества $\psi^{j}(t, t, P)=$ $=\psi_{i}(t, t, P)=1$ следуют асимптотики (4.17). Из формул (4.18) при $j=k=x$ в силу антисимметричности $\omega_{i}^{j}$ следует $f_{j j}^{1}\left(t, P_{j}^{0}\right)=0$ и $f_{i i}^{2}\left(t, P_{i}^{0}\right)=0$, поэтому
\[
\alpha^{j}\left(t, \tau, P_{j}^{0}\right)=1, \quad \alpha_{i}\left(t, \tau, P_{i}^{0}\right)=1 .
\]

Функции $\psi^{j}(t, \tau, P)$ п $\psi_{i}(t, \tau, P)$ являются трехточечными функциями типа Бейкера – Ахиезера с существенными особенностями в точках $P_{k}^{0}$ и дивизорами полюсов $d^{j}(\tau)$ и $d_{i}(\tau)$ соответственно. Функции $\psi^{j}(t, \tau, P)$ и $\psi_{i}(t, \tau, P)$ при нормировке (4.20) определены однозначно на основе следующих конструкций. Пусть $a_{1}, \ldots$ $\ldots, a_{4}, b_{1}, \ldots, b_{4}$ – базис циклов на римановой поверхности $\Gamma$ с индексами пересечений $a_{i} \circ a_{j}=b_{i} \circ b_{j}=0, a_{i} \circ b_{j}=$ $=\delta_{i j} ; \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}$ – голоморфные дифференциалы на $\Gamma$ с условием нормировки $\oint_{a_{k}} \omega_{j}=2 \pi i \delta_{j}^{k}$. Матрица Римана $B(\Gamma)$ с компонентами $B_{i j}$ определяется формулами $B_{i j}=$ $=\oint_{b_{j}} \omega_{i}$. Классическая $\theta$-фунгция Римана, отвечающая поверхности $\Gamma$, определяется своим рядом Фурье вида
\[
\theta\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right)=\sum_{N \in \mathbb{Z}^{4}} \exp \left(2^{-1}(B N, N)+(N, z)\right) .
\]

Отображение Абеля $\mathbf{A}: \Gamma \rightarrow \mathrm{Jac} \Gamma$, где Јас $\Gamma$ – многообразие Якоби кривой $\Gamma\left(\operatorname{Jac} \Gamma=\mathrm{T}^{8}=\mathrm{C}^{4} /\{2 \pi i N+B M\}\right)$, определяется формулами $\mathbf{A}(P)=\left(A_{1}(P), \ldots, A_{4}(P)\right)$, гдө $A_{j}(P)=\int_{P_{0}}^{P} \omega_{j}$. Для дивизора $D=c_{1} P_{1}+\ldots+c_{s} P_{s}$ отображение Абеля $\mathbf{A}(D)=c_{1} \mathbf{A}\left(P_{1}\right)+\ldots+c_{s} \mathbf{A}\left(P_{s}\right)$. Пусть $\Omega_{k}$ $(k=1,2,3)$ – абелев дифференциал второго рода на $\Gamma \mathbf{c}$ главной частью в точке $P_{k}^{0}$ вида $-d z / z^{2}$, нормированный условиями $\oint_{a_{j}} \Omega_{k}=0, j=1, \ldots, 4$. Векторы $\mathbf{U}_{k}$ имеют компоненты
\[
U_{k}^{j}=\int_{b_{j}} \Omega_{k}, \quad j=1,2,3,4, \quad k=1,2,3 .
\]

Обозначим $\Omega=I_{1} \Omega+I_{2} \Omega_{2}+I_{3} \Omega_{3}$ и $\mathrm{U}=I_{1} \mathbf{U}+I_{2} \mathbf{U}_{2}+I_{3} \mathbf{U}_{3}$. Трехточечные функции Бейкера – Ахиезера $\psi^{j}$ и $\psi_{i}$ определяются формулами
$\psi^{j}(t, \tau, P)=$
\[
=c^{j} \exp \left((t-\tau) \int_{P_{0}}^{P} \Omega\right) \frac{\theta\left(\mathbf{A}(P)-\mathbf{A}\left(d^{j}(\tau)\right)+(t-\tau) \mathbf{U}-\mathbf{K}\right)}{\theta\left(\mathbf{A}(P)-\mathbf{A}\left(d^{j}(\tau)\right)-\mathbf{K}\right)},
\]
$\psi_{i}(t, \tau, P)=$
\[
=c_{i} \exp \left(-(t-\tau) \int_{P_{0}}^{P} \Omega\right) \frac{\theta\left(\mathbf{A}(P)-\mathbf{A}\left(d_{i}(\tau)\right)-(t-\tau) \mathbf{U}-\mathbf{K}\right)}{\theta\left(\mathbf{A}(P)-\mathbf{A}\left(d_{i}(\tau)\right)-\mathbf{K}\right)} .
\]

Здесь вектор римановых констант К имеет компоненты
\[
K_{j}=\pi i+\frac{1}{2} B_{j j}-\frac{1}{2 \pi i} \sum_{k
eq j} \oint_{a_{k}}\left(\omega_{k}(P) \int_{P_{0}}^{P} \omega_{j}\right), j=1,2,3,4 .
\]

Множители $c^{j}$ и $c_{i}$ определяются нормировками (4.20) и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
c^{j}=\exp \left((\tau-t) \xi^{j}\right) \frac{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d^{j}(\tau)\right)-\mathbf{K}\right)}{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d^{j}(\tau)\right)+(t-\tau) \mathbf{U}-\mathbf{K}\right)}, \\
c_{i}=\exp \left(-(\tau-t) \xi^{i}\right) \frac{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{i}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(\tau)\right)-\mathbf{K}\right)}{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{i}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(\tau)\right)-(t-\tau) \mathbf{U}-\mathbf{K}\right)},
\end{array}
\]

где константы $\xi^{l}(l=1,2,3)$ определяются формулами $\xi^{l}=I_{1} \xi_{1}^{l}+I_{2} \xi_{2}^{1}+I_{3} \xi_{3}^{l}$, причем
\[
\xi_{k}^{l}=\left(1-\delta_{k}^{l}\right) \int_{P_{0}}^{P_{l}^{0}} \Omega_{k}+\delta_{k}^{l} \lim _{P \rightarrow P_{k}^{0}}\left(\int_{P_{0}}^{P} \Omega_{k}-z^{-1}\right) .
\]

Обозначим через $\sigma f$ образ функции $f$ при инволюции кривой $\Gamma: \sigma(w, E)=(w,-E) ; \sigma D$ – образ дивизора $D$.

Лемма 1. На многообразии Якоби Јас Г справедливы равенства
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}\left(d^{j}(t)+\sigma d^{j}(t)\right)=\mathbf{A}\left(d^{j}(\tau)+\sigma d^{j}(\tau)\right), \\
\mathbf{A}\left(d_{i}(t)+\sigma d_{i}(t)\right)=\mathbf{A}\left(d_{i}(\tau)+\sigma d_{i}(\tau)\right) .
\end{array}
\]

Действительно, рассмотрим функции $\sigma \psi^{j}(t, \tau, P)$ и $\sigma \psi_{i}(t, \tau, P)$. По определению $\sigma f(W, z)=f(W,-z)$, $\sigma\left(P_{k}^{0}\right)=P_{k}^{0}$, поэтому асимптотика функций $\sigma \psi^{j}$ и $\sigma \psi_{i}$ при $z \rightarrow 0, P \rightarrow P_{k}^{0}$ отличается от (4.17) только знаком в аргументе экспоненты. Следовательно, произведения $\psi^{j} \cdot \sigma \psi^{j}(t, \tau, P)$ и $\psi_{i} \cdot \sigma \psi_{i}(t, \tau, P)$ являются мероморфными функциями на $\Gamma$, их дивизоры в силу (4.15) имеют вид.
\[
\begin{array}{l}
\left(\psi^{j} \cdot \sigma \psi^{j}(t, \tau, P)\right)=d^{j}(t)+\sigma d^{j}(t)-d^{j}(\tau)-\sigma d^{j}(\tau), \\
\left(\psi_{i} \cdot \sigma \psi_{i}(t, \tau, P)\right)=d_{i}(t)+\sigma d_{i}(t)-d_{i}(\tau)-\sigma d_{i}(\tau) .
\end{array}
\]

Отсюда по теореме Абеля и получаем равенства (4.24).

Выберем точку $P_{0}$ в определении отображения Абеля так, чтобы $\mathbf{A}\left(d^{1}(0)+\sigma d^{1}(0)\right)=0$, тогда из (4.24). следует:
\[
\mathbf{A}\left(d^{1}(t)+\sigma d^{1}(t)\right)=0 .
\]

В силу (4.25) вектор $\mathbf{A}\left(d_{1}(t)\right)$ принадлежит многообразию Прима $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma \subset \mathrm{J}^{\circ} \Gamma$ (некоторые свойства и приложения многообразий Прима обсуждаются в [134, 136]). Комплексное многообразие $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$ является абелевым тором в Јас $\Gamma$, размерность $\operatorname{dim}_{\mathrm{c}}\left(\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma\right)=$ $=g(\Gamma)-g\left(\Gamma_{1}\right)=3$ равна размерности инвариантных торов $\mathrm{T}^{3}$ интегрируемой системы (3.14) (торы $\mathrm{T}^{3}$ определены фиксированными значениями интегралов (4.4), что определяет также и риманову поверхность $\Gamma$ ). Согласно вышеизложенным конструкциям определено отображение $\mathbf{f : ~} \mathbf{T}^{\mathbf{3}} \rightarrow \operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma \subset \operatorname{Jac} \Gamma:$
\[
\mathbf{f}\left(\omega_{i}^{j}(t), u_{i}^{j}(t)\right)=\mathbf{A}\left(d^{1}(t)\right) .
\]

При этом отображении динамика системы (3.14) линеаризуется на многообразии $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$. Действительно, в силу (4.15) дивизор нулей функции $\psi^{1}(t, 0, P)$ есть $d^{1}(t)$; согласно явной формуле (4.22) и свойствам $\theta$-функции Римана, образ дивизора $d^{1}(t)$ іри отображении Абеля имеет вид
\[
\mathbf{A}\left(d^{1}(t)\right)=\mathbf{A}\left(d^{1}(0)\right)-t \mathbf{U} .
\]

Отсюда, в частности, следует, что вектор $U \in \operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$ и траектория $t \mathbf{U}$ в общем случае заполняет всюду плотно трехмерный (вещественный) тор $\mathrm{T}_{1}^{3}$ в многообразии Прима $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$. Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 2. Динамика системы (3.14) с помошью отображения (4.26) линеаризуется на многообразии Прима $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma \subset \mathrm{Jac}^{2} \Gamma$.

Векторы $\mathbf{A}\left(d_{i}(t)\right), \mathbf{A}\left(d^{j}(t)\right)$ однозначно определяются векторами $\mathbf{A}\left(d^{1}(t)\right)$ [58]. Действительно, ввиду мероморфности функций $g_{i}^{j}(t, P)$ из теоремы Абеля следует $\mathbf{A}\left(\left(g_{i}^{j}(t, P)\right)\right)=0$. Поэтому из (4.13) получаем:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}\left(d_{i}(t)\right)=\mathbf{A}\left(D_{r}-P_{1}^{0}-2 P_{2}^{0}-2 P_{3}^{0}+P_{i}^{0}-d^{1}(t)\right), \\
\mathbf{A}\left(d^{j}(t)\right)=\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}-P_{1}^{0}+d^{1}(t)\right) . \\
\end{array}
\]

Из (4.28) и (4.27) следует $\mathbf{A}\left(d_{i}(t)\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(0)\right)=t \mathbf{U} \quad$ и $\mathbf{A}\left(d^{j}(t)\right)-\mathbf{A}\left(d^{j}(0)\right)=-t \mathbf{U}$, т. е. при разных $i, j$ онределяются тождественные обмотки многообразия Прима $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$.

Для получения явных формул для $\omega_{i}^{j}(t)$ перемножим формулы (4.22) и (4.23), нолучим:
\[
\begin{array}{l}
\lim _{P \rightarrow P_{j}^{0}} \psi^{j}(t, 0, P) \psi_{i}(t, 0, P)=\exp \left(t\left(\xi^{i}-\xi^{j}\right)\right) \times \\
\times \frac{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(0)\right)-t \mathbf{U}-\mathbf{K}\right) \cdot \theta\left(\mathbf{A}\left(P_{i}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(0)\right)-\mathbf{K}\right)}{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{i}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(0)\right)-t \mathbf{U}-\mathbf{K}\right) \cdot \theta\left(\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(d_{i}(0)\right)-\mathbf{K}\right)} .
\end{array}
\]

Используя четность $\theta$-функции Римана, формулы при $i
eq j$ и подставляя (4.29) в (4.16), получаем:
\[
\begin{array}{c}
\omega_{i}^{j}(t)=A_{i}^{j} \exp \left(t\left(\xi^{i}-\xi^{j}\right)\right) \frac{\theta\left(\mathbf{A}\left(P_{i}^{0}\right)-\mathbf{A}\left(P_{j}^{0}\right)+t \mathbf{U}+\mathbf{z}_{0}\right)}{\theta\left(t \mathbf{U}+\mathbf{z}_{0}\right)}, \\
\mathbf{z}_{0}=\mathbf{A}\left(D_{r}-d^{1}(0)-P_{1}^{0}-2 P_{2}^{0}-2 P_{3}^{0}\right)+\mathbf{K} .
\end{array}
\]

Формулы (4.30) и дают представление решений системы (3.14) через $\theta$ функцию Римана поверхности $\Gamma$, определенной уравнением (4.3)-(4.5). По начальным значениям искомого решения $\omega_{i}^{j}(0), u_{i}^{j}(0)$ однозначно определяется риманова поверхность $\Gamma$ и все указанные выше аналитические конструкции, в частности, дивизор $d^{1}(0)$ и вектор $\mathbf{z}_{0}$, после этого из формул (4.30) при $t=0$ однозначно определяются коэффициенты $A_{i}^{j}$. Тем самым по начальным данным $\omega_{i}^{j}(0), u_{i}^{j}(0)$ в силу (4.30) определяется зависимость от времени всех угловых скоростей $\omega_{i}^{j}(t)$.

В силу формул (4.30) функции $\omega_{i}^{j}(t)$ являются мероморфными функциями на всей комплексной плоскости переменного $t$. Также мероморфными являются функции $M_{i}^{j}(t)=I_{k} \omega_{i}^{j}(t)(i, j, k=1,2,3)$. Из формул (4.30) следует, что все эти функции имеют общие полюсы первого порядка в комплексных точках $t$, удовлетворяющих уравнению
\[
\theta\left(t \mathbf{U}+\mathbf{z}_{0}\right)=0 .
\]
III. Покажем, что компоненты симметрической матрпцы $u_{i}^{j}(t)$ являются мероморфными функциями $t$ с полюсами второго порядка в точках (4.31). Недиагональные компоненты $u_{i}^{j}(t)$ определяются из первого уравнения (3.14):
\[
u_{i}^{j}(t)=\left(I_{i}-I_{j}\right)^{-1}\left(\dot{M}_{i}^{j}-\sum_{k=2}^{3}\left(M_{i}^{k} \omega_{k}^{j}-\omega_{i}^{k} M_{k}^{j}\right)\right)
\] и в силу (4.30) являются мероморфными фупкциями $t$ с полюсами второго порядка. Диагональные компоненты $u_{i}^{i}(t)$ определяются из второго уравнения (3.14):
\[
\dot{u}_{i}^{i}=\sum_{k=1}^{3}\left(u_{i}^{k} \omega_{k}^{i}-\omega_{i}^{k} u_{k}^{i}\right) .
\]

Вследствие кососимметричности матрицы $\omega_{k}^{i}(t)\left(\omega_{i}^{i}(t)=0\right)$ в правую часть уравнения (4.33) входят только недиагональные компоненты $u_{i}^{k}(t)$, которые определены выражениями (4.32). Поэтому диагональные компоненты $u_{i}^{i}(t)$ определяются квадратурами – интегрированием по $t$ уже известных правых частей уравнений (4.33), которые в точках (4.31) пмеют полюсы третьего порядка. Следовательно, диагональные компоненты матрицы $u_{i}^{i}(i)$ также являются мероморфными функциями $t$ и имеют в точках (4.31) полюсы второго порядка.

Для вычисления ортогональной матрицы $Q(t)$, определяющей ориентацию твердого тела, воспользуемся формулой (3.13): $u=Q^{t} a Q$. Пусть $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ – собственные векторы постоянной матрицы $a$, ошределяющей квадратичный потенциал (3.9): $a\left(\mathbf{e}_{k}\right)=a_{k} \mathbf{e}_{k}$. Векторы $\mathbf{g}_{k}=$ $=Q^{t}\left(\mathbf{e}_{k}\right)$ являются собственными векторами матрицы $u$ :
\[
u\left(\mathbf{g}_{k}\right)=a_{k} \mathbf{g}_{k}, \quad \mathbf{g}_{k}=Q^{t}\left(\mathbf{e}_{k}\right) .
\]

Координаты ортонормированных собственных векторов $\mathbf{g}_{1}(t), \mathbf{g}_{2}(t), \mathbf{g}_{3}(t)$ выражаются через компоненты $u_{i}^{j}(t)$ (4.32), (4.33) матрицы $u(t)$ с помощью арифметических операций. Координаты векторов $\mathbf{g}_{k}(t)$ в силу формул $\mathbf{g}_{k}=Q^{t}\left(\mathbf{e}_{k}\right)$ являются столбцами матрицы $Q(t)$. Следовательно, все компоненты матрицы $Q(t)$ определяются через компоненты матрицы $u(t)$ с помощью арифметических операций и поэтому выражаются через $\theta$-функции Римана в силу формул (4.30)-(4.34). Теорема 2 полностью доказана.