I. Рассмотрим уравнение Ланса
\[
\mathrm{L}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}]
\]

в әрмитовым оператором $\mathrm{L}$ вида
\[
\mathrm{L}=\left(\begin{array}{cc}
i p_{1} & 0 \\
0 & i p_{2}
\end{array}\right) \partial_{x}+\left(\begin{array}{ll}
0 & \bar{v} \\
v & 0
\end{array}\right)
\]

где $v(t, x, y, z)$ – неизвестная комплекснозначная функция, $p_{1}, p_{2}$ – вещественные постоянные. Оператор А выберем косоэрмитовым следующего вида:
\[
\mathrm{A}=\frac{p_{1}-p_{2}}{2 p_{1} p_{2}} \alpha_{1} \mathrm{~A}_{1}+\frac{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}}{2 p_{1}^{2} p_{2}^{2}} \alpha_{2} \mathrm{~A}_{2},
\]

где оператор $A_{1}$ содержит дифференциальный оператор $\partial_{y}$ :
\[
\mathbf{A}_{1}=-\left(\partial_{y} \mathbf{L}+\mathrm{L} \partial_{y}\right)+\left(\begin{array}{cc}
i w_{1} & -\bar{w}_{2} \\
w_{2} & -i w_{1}
\end{array}\right),
\]

а оператор $\mathrm{A}_{2}$ содержит дифференциальный оператор $\partial_{z}$ :
\[
\begin{aligned}
\mathbf{A}_{2} & =-\left(\partial_{z} \mathrm{~L}^{2}+\mathrm{L}^{2} \partial_{z}\right)+\frac{1}{2}\left(a \partial_{x}+\partial_{x} a\right)+w, \\
a & =\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & \bar{a}_{3} \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right), \quad w=\left(\begin{array}{cc}
i w_{3} & -\bar{w}_{5} \\
w_{5} & i w_{4}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ – вещественные постоянные (но их можно считать также и произвольными вещественными функциями переменных $t, y, z)$. Функции $w_{i}, a_{i}$ от четырех переменных $t, x, y, z$ выражаются через функцию $v(t, x, y, z)$ в силу уравнения Лакса (1.1) следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
w_{1}=\frac{2}{p_{1}-p_{2}} \partial_{x}^{-1}|v|_{y}^{2}, \quad w_{2}=\frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}-p_{2}} v_{y}, \\
a_{1}=-\frac{2 p_{1}}{p_{1}-p_{2}} \partial_{x}^{-1}|v|_{z}^{2}, \quad a_{2}=-\frac{p_{2}}{p_{1}} a_{1}, \quad a_{3}=i \frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{p_{1}-p_{2}} v_{z}, \\
w_{3}=u_{1}+p_{2} u_{2}, \quad w_{4}=-u_{1}-p_{1} u_{2}, \\
u_{1}=i \frac{2 p_{1} p_{2}}{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}} \partial_{x}^{-1}\left(v_{x} \bar{v}_{z}-\bar{v}_{x} v_{z}\right), \\
u_{2}=i \frac{p_{1}+p_{2}}{\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}}\left(\bar{v} v_{z}-v \bar{v}_{z}\right), \\
w_{5}=-i \frac{p_{1}+p_{2}}{2\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}}\left(\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}-4 p_{1} p_{2}\right) v_{x z}-4 v \partial_{x}^{-1}|v|_{z}^{2}\right) .
\end{array}
\]

В силу соотношений (1.6) уравнение Лакса (1.1)(1.5) эквивалентно следующему трехмерному уравнению:
\[
\begin{aligned}
v_{t}=\alpha_{1}\left(i v_{x y}+\right. & \left.i \beta v \partial_{x}^{-1}|v|_{y}^{2}\right)- \\
-\alpha_{2}\left[v_{x x z}\right. & +\beta\left(v \partial_{x}^{-1}|v|_{z}^{2}\right)_{x}+\beta v \partial_{x}^{-1}\left(v_{x} \bar{v}_{z}-\bar{v}_{x} v_{z}\right)+ \\
& +\frac{1}{8} \beta^{2}\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2} v\left(\bar{v} v_{z}-v \bar{v}_{z}\right)+ \\
& \left.+\frac{1}{8} \beta^{2}\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}\left(v|v|_{z}^{2}-2 v_{z}|v|^{2}\right)\right]
\end{aligned}
\]

где $\beta=2 /\left(p_{1} p_{2}\right)$.

К уравнению (1.7) ввиду структуры операторов $\mathrm{A}_{1}$ (1.4) и $\mathrm{A}_{2}$ (1.5) применима основная лемма (гл. II), согласно которой соб́ственные числа $f(t, y, z)$ оператора $\mathrm{L}$ (1.2) в силу уравнения (1.7) удовлетворяют квазилинейному уравненио
\[
f_{t}=\alpha_{1} p f f_{y}+\alpha_{2} p^{2} f^{2} f_{z}
\]

где $p=\left(p_{1}-p_{2}\right) /\left(p_{1} p_{2}\right)$. В силу уравнения (1.8) при изменении времени происходит опрокидывание графиков собственных чисел $f(t, y, z)$.
II. Уравнение (1.7) для функций $v(t, x, y, z)$ вида
\[
v(t, x, y, z)=u(t, r), \quad r=x+k_{1} y+k_{2} z
\]

переходит в уравнение
\[
\begin{array}{l}
u_{t}=\alpha_{1} k_{1}\left(i u_{r r}+i \beta u|u|^{2}\right)-\alpha_{2} k_{2}\left[u_{r r r}+\beta\left(u|u|^{2}\right)_{r}+\right. \\
+\frac{1}{8} \beta^{2}\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2} u\left(\bar{u} u_{r}-u \bar{u}_{r}\right)+ \\
\left.+\frac{1}{8} \beta^{2}\left(p_{1}-p_{2}\right)^{2}\left(u|u|_{r}^{2}-2 u_{r}|u|^{2}\right)\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

Уравнение (1.10) является линейной комбинацией нелинейного уравнения Шрёдингера $\left(\alpha_{2}=0\right)$ п второго уравнения из его иерархии ( $\left.\alpha_{1}=0\right)$. Уравнение (1.10) при $\alpha_{1}=0$ можно рассматривать так же, как интегрируемую комплексификацию уравнения МКдФ, поскольку для вещественных функций $u(t, r)$ это уравнение ( $\alpha_{1}=$ $=0$ ) переходит в МКдФ.
III. Уравнение (1.7) при $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ const имеет первый интеграл полной вероятности
\[
\iint_{-\infty}^{\infty} \int^{\infty}|v(t, x, y, z)|^{2} d x d y d z=\text { const. }
\]

Действительно, в силу уравнения (1.7) находим
\[
\begin{array}{l}
\left.+\beta\left(|v|^{2} o_{x}^{-1}|v|_{z}^{2}\right)_{x}+\frac{1}{2} \beta|v|_{z}^{4}\right] . \\
\end{array}
\]

Правая часть в полученном выражении является полной дивергенцией. Поэтому если $|v(t, x, y, z)| \rightarrow 0$ достаточно быстро при $|x|,|y|,|z| \rightarrow \infty$, то нз равенства следует сохранение интеграла (111).
IV. Уравнение (1.7) для стационарных решений вида
\[
v(t, x, y, z)=u(x, y, z) \exp (i E(t)),
\]

где $u(x, y, z)$ и $E(t)$ – вещественные функции, сводится к двум уравнениям
\[
u_{x y}+2 \beta u \partial_{x}^{-1}\left(u u_{y}\right)=u \dot{E}(t) \alpha_{1}^{-1}, u_{x z}+2 \beta u \partial_{x}^{-1}\left(u u_{z}\right)=0 .
\]

Разделим равенства (1.14) на $u$ и продифференцируем по $x$, получим уравнения
\[
\left(u^{-1} u_{x y}\right)_{x}+2 \beta u u_{y}=0, \quad\left(u^{-1} u_{x z}\right)_{x}+2 \beta u u_{z}=0 .
\]

Покажем, что уравнения (1.15) имеют решения вида
\[
u(x, y, z)=\varphi_{x}(x, r), \quad r=k_{1} y+k_{2} z,
\]

где $k_{1}, k_{2}$ – произвольные постоянные, а функция $\varphi(x, r)$ удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона
\[
\varphi_{x r}=f(\varphi),
\]

причем функция $f(\varphi)$ является некоторым решөнием линейного уравнения
\[
f^{\prime \prime}(\varphi)+2 \beta f(\varphi)=0 .
\]

Равенства (1.17), (1.18) определяют различные интегрируемые случаи уравнения Клейна – Гордона (см. § 1 гл. III).

Действительно, уравнения (1.15) после замены (1.16) сводятся к одному соотношению
\[
\left(\varphi_{x}^{-1} \varphi_{x x r}\right)_{x}+2 \beta \varphi_{x} \varphi_{x r}=0,
\]

которое в силу равенства (1.17) эквивалентно уравнению (1.18), а оно предполагается выполненным.

Уравнения (1.14) также имеют решения (1.16) (1.18) в силу произвола вида $F(t, y, z)$ в выборе аддитивных постоянных в первообразных $\partial_{x}^{-1}\left(u u_{y}\right), \partial_{x}^{-1}\left(u u_{z}\right)$. Окончательно получаем, что уравнение (1.7) имеет точные решения вида
\[
v(t, x, y, z)=\varphi_{x}\left(x, k_{1} y+k_{2} z\right) \exp (i E(t)),
\]

где функция $\varphi(x, r)$ удовлетворяет любому интегрируемому уравнению Клейна – Гордона (1.17) – (1.18), а вещественная функция $E(t)$ произвольна.

– V. Укажем простейшие точные решения уравнения (1.7), имеющие вид
\[
v(t, x, y, z)=a(\zeta) \exp (i b),
\]
\[
\zeta=k_{1} x+k_{2} y+k_{3} z-k_{0} t, \quad b=m_{1} x+m_{2} y+m_{3} z-m_{0} t,
\]

где $a(\zeta)$ – вещественная фунгция переменной $\zeta$. Уравнение (1.7) после подстановки (1.20) сводится к одному дифференциальному уравнепию
\[
a^{\prime \prime}=-\beta k_{1}^{-2} a^{3}+c_{1} a+c_{2},
\]

где $c_{1}, c_{2}$ – произвольные постоянные, и двум соотношениям для коэффициентов $k_{i}, m_{j}$ :
\[
\begin{array}{c}
k_{0}=\alpha_{1}\left(m_{1} k_{2}+m_{2} k_{1}\right)+\alpha_{2}\left(c_{1} k_{1}^{2} k_{3}-m_{1}\left(m_{1} k_{3}+2 m_{3} k_{1}\right)\right), \\
\alpha_{1} k_{2}=\alpha_{2}\left(2 m_{1} k_{3}+k_{1} m_{3}\right) .
\end{array}
\]

При $\alpha_{2}=0$ остается только первое соотношение при этом $c_{2}=0$.
Уравнение (1.21) имеет лагранжев вид
\[
a^{\prime \prime}=-\frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{\beta}{4 k_{1}^{2}} a^{4}-\frac{c_{1}}{2} a^{2}-c_{2} a\right)
\]

и поэтому обладает интегралом энергии
\[
a^{\prime 2}+\frac{\beta}{2 k_{1}^{2}} a^{4}-c_{1} a^{2}-2 c_{2} a=2 E .
\]

Следовательно, функция $a(\zeta)$ находится путем обращения интеграла
\[
\int_{a_{0}}^{a}\left(2 E+c_{1} a_{1}^{2}+2 c_{2} a_{1}-\frac{\beta}{2 k_{1}^{2}} a_{1}^{4}\right)^{-1 / 2} d a_{1}=\zeta-\zeta_{0} .
\]

Из вида интеграла энергии (1.23) следует, что все решения (1.24) при $\beta>0$ являются периодическими, кроме сепаратрисных решений, которые реализуются при $E=0$. При $\beta>0, c_{1}>0, c_{2}=E=0$ решение уравнения (1.23) имеет вид
\[
a(\zeta)=\frac{k_{1}\left(2 c_{1} / \beta\right)^{1 / 2}}{\operatorname{ch}\left(c_{1}^{1 / 2} \zeta+\zeta_{0}\right)} .
\]

Этому решению соответствует точное, быстро убывающее при $|\zeta| \rightarrow \infty$ решение $(1.20),(1.22)$ трехмерного уравнения (1.7).