I. Пусть функции $u(t, x, y)$ и $w(t, x, y, \varepsilon)$ связаны соотношением Гарднера
\[
u_{x}=w+\varepsilon w_{x}+\varepsilon^{2} w^{2} .
\]
Отсюда следует
\[
(u-\varepsilon w)_{x y}=\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right)_{y} .
\]
Определим функцию $b(t, x, y, \varepsilon)$ формулой
\[
b=(u-\varepsilon w)_{y} .
\]
Функция $b(t, x, y, \varepsilon)$ является первообразной правой части $(2.2)$ :
\[
b_{\boldsymbol{x}}=\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right)_{y} .
\]
Прямая проверка доказывает справедливость следующего тождества:
\[
\begin{array}{l}
u_{x t}-k u_{x} u_{x y}-m u_{y} u_{x x}+u_{x x x y}= \\
=\left(1+\varepsilon \partial_{x}+2 \varepsilon^{2} w\right)\left(w_{t}-k\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{y}-m b w_{x}+w_{x x y}\right)+ \\
\quad+(4-k) \varepsilon^{2} w_{x} w_{x y}+(2-m) \varepsilon^{2} w_{y} w_{x x} .
\end{array}
\]
Из тождества (2.5) при $k=4, m=2$ следует, что если функция $w(t, x, y, \varepsilon)$ удовлетворяет уравнению
\[
w_{t}=4\left(w+\varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{y}+2 b w_{x}-w_{x x y}
\]
где $b(t, x, y, \varepsilon)$ определена условием (2.4), то функция $u(t, x, y)$, заданная равсиствами (2.1), (2.3) (которые в сплу (2.4) совместны), удовлетворяет уравнению (1.1).
Уравнение (2.6) в силу (2.4) представляется в следующем дивергентном виде:
\[
w_{t}=2(b w)_{x}+\left(w^{2}-w_{x x}\right)_{y} .
\]
После подстановки формулы (2.3) уравнение (2.6), (2.7) принимает вид
\[
w_{\iota}=2\left(w\left(u_{y}-\varepsilon w_{y}\right)\right)_{x}+\left(w^{2}-w_{x x}\right)_{y} .
\]
Соотношение Гарднера (2.1) разрешается с помощью формального степенного ряда
\[
\begin{array}{l}
w(t, x, y, \varepsilon)= \sum_{n=0}^{\infty} P_{n}(t, x, y) \varepsilon^{n}= \\
=u_{x}-u_{x x} \varepsilon+\left(u_{x x x}-u_{x}^{2}\right) \varepsilon^{2}-\left(u_{x x x}-2 u_{x}^{2}\right)_{x} \varepsilon^{3}+ \\
+\left(\left(u_{x x x}-3 u_{x}^{2}\right)_{x x}+u_{x x}^{2}+2 u_{x}^{3}\right) \varepsilon^{4}+\ldots
\end{array}
\]
Явные формулы для коэффициентов ряда (2.9) указашы в работе [3] (см. также [6]).
Уравнение (2.8) после подстаповки вместо $w(t, x, y, \varepsilon)$ ряда (2.9) преврацается в равенство двух формальных степенных рядов, из которого следует счетное множество законов сохранения
\[
\frac{\partial P_{n}\left(u_{x}\right)}{\partial t}=\frac{\partial Q_{n}\left({ }^{\prime \prime}, u_{y}\right)}{\partial x}+\frac{\partial R_{n}\left(u_{x}\right) .}{\partial y} .
\]
Законы сохранения (2.10) приводят к первым интегралам уравнения (1.1):
\[
I_{n}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty} P_{n}\left(u_{x}\right) d x d y, \quad \frac{d I_{n}(u)}{d t}=0
\]
при условии сходимости выражений (2.11). Тем самым доказана слелующая теорема.
Теорема 2. Двумерное нелинейное уравнение (1.1) имеет счетное множество законов сохранения (2.10) и первых интегралов (2.11), где дифференциальные многочлены $P_{n}\left(u_{x}\right)$ определены теми же формулами, что и для уравнения Кортевега – де Фриза.
Первый из законов сохранения (2.10), ( $n=0$ ) имоет вид
\[
u_{t x}=2\left(u_{x} u_{y}\right)_{x}+\left(u_{x}^{2}-u_{x x x}\right)_{y},
\]
совпадающий с уравнением (1.1). Простейшие первые иитегралы (2.11) в силу разложения (2.9) определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
I_{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{x}^{2} d x d y, \quad I_{4}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{x, c}^{2}+2 u_{x}^{3}\right) d x d y, \\
I_{6}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{x x x}^{2}-5 u_{x}^{2} u_{x x}+5 u_{x}^{4}\right) d x d y .
\end{array}
\]
Проведенный вывод первых интегралов (2.11) основан на применении к уравнению (1.1) преобразования Гарднера (2.1). Другой метод построения локальных и нелокальных первых интегралов для уравнепий, допускаюпих представление нулевой кривизны, развит в работах $[80,81]$.
II. Если в формулах (2.11), (2.13) сделать замену
\[
u_{x}=v^{2}+\sigma v_{x}, \quad \sigma= \pm 1,
\]
то первые интегралы (2.11), (2.13) перейдут в первые интегралы двумерного модифицированного уравнения (1.5). Преобразование Миуры (2.14) после подстановки
\[
v=\sigma \varepsilon w+(2 \sigma \varepsilon)^{-1}, \quad \sigma= \pm 1,
\]
переходит в преобразование
\[
u_{x}=w+\varepsilon w_{x}+\varepsilon^{2} w^{2}+\left(4 \varepsilon^{2}\right)^{-1},
\]
отличающееся от преобразования Гарднера (2.1) на постоянное слагаемое. Уравнение (2.6) при преобразовании (2.15).
\[
w=(\sigma \varepsilon)^{-1} v-\left(2 \varepsilon^{2}\right)^{-1}
\]
переходит в уравнение
\[
v_{t}=4 v^{2} v_{y}+2 v_{x} \partial_{x}^{-1}\left(v^{2}\right)_{y}-v_{x x y}-\varepsilon^{-2} v_{y} .
\]
Это уравнение эквивалентно уравнению (1.5) после замены $t_{1}=t, x_{1}=x, y_{1}=y-\varepsilon^{-2} t$. Поэтому двумерные уравнения (2.6) и (1.5) эквивалентны. В частности, уравнение (2.6) также обладает счетным множеством первых интегралов.
