В дальнейшем $n$-мерным твердым телом мы будем называть некоторый объем $n$-мерного евклидова пространства с распределением плотности $\rho(\mathbf{x})$, который перемещается без изменения расстояний между его точками. Система $S$ координат $r^{1}, \ldots, r^{n}$ жестко связана с твердым телом $T$ и ее центр $O\left(r^{k}=0\right)$ совпадает с центром масс, т. е. в системе $S$ имеем ( $d \mathbf{r}$ – элемент объема)
\[
\int_{T} \rho(\mathbf{r}) r^{k} d \mathbf{r}=0, \quad k=1, \ldots, n .
\]

Координаты $x^{1}, \ldots, x^{n}$ относятся к неподвижной системе отсчета $F$. Силовое поле с потенциалом $\varphi\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ называется ньютоновским, если плотность силы, действующей на частицы среды, пропорциональна плотности массы: $f_{i}(x)=-\rho(x) \partial \varphi / \partial x^{i}$.

Төорема 4. Динамика произвольного п-мерного тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом
\[
\varphi\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n}\left(a_{i j} x^{i} x^{i}+b_{i} x^{i}\right)
\]

определяется гамильтоновой системой, интегрируемой то Лиувиллю. Динамика центра масс $О$ интегрируется в элементарных функциях, вращение твердого тела вокруг центра масс интегрируется в тэта-функциях Римана..

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теорем 1 и 2 в трехмерном случае; поэтому мы укажем только основные моменты доказательства. Координаты $x^{1}, \ldots, x^{n}$ точек движущегося твердого тела $T$ определяются преобразованием
\[
x^{i}=\sum_{j=1}^{n} Q_{j}^{i}(t) r^{j}+q^{i}(t)
\]

где $Q_{j}^{i}(t)$ – компоненты ортогональной матрицы, $q^{i}(t)$ координаты центра масс. Функция Лагранжа твердого тела $T$ определена на конфигурационном пространстве $\mathrm{SO}(n) \times \mathbb{R}^{n}$ и имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \int_{T} \rho(\mathbf{r})(\dot{\mathbf{x}}, \dot{\mathbf{x}}) d \mathbf{r}-\int_{T} \rho(\mathbf{r}) \varphi(\dot{\mathbf{x}}) d \mathbf{r} .
\]

Подставляя в интегралы (7.4) формулы (7.2) п (7.3) и дважды используя равенства (7.1), получаем
\[
\begin{array}{c}
L=L_{1}+L_{2}, \quad L_{1}=\frac{m}{2}\left((\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}})+\sum_{i, j=1}^{n}\left(a_{i j} q^{i} q^{j}+b_{i} q^{i}\right)\right) \\
m=\int_{T} \rho(\mathbf{r}) d \mathbf{r}, \\
L_{2}=\frac{1}{2} \sum_{i, j, \alpha, \beta=1}^{n}\left(\dot{Q}_{\alpha}^{i} \dot{Q}_{\beta}^{i} J^{\alpha \beta}-a_{i j} Q_{\alpha}^{i} Q_{\beta}^{j} J^{\alpha \beta}\right), J^{\alpha \beta}=\int_{T} \rho(\mathbf{r}) \mathbf{r}^{\alpha} \mathbf{r}^{\beta} d \mathbf{r} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что постущательное и вращательное движения $n$-мерного твердого тела в ньютоновском поле с произвольным квадратичным потенциалом разделяются.

Поступательное ‘движение центра масс ошисывается лагранжианом гармонического осциллятора $L_{1}$ и поэтому интегрируется в элементарных функциях.

Вращательное движение $n$-мерного твердого тела определяется лагранжевой системой на групше Ли $\mathrm{SO}(n)$ с лагранжианом $L_{2}$, который можно шредставить также в виде
\[
L_{2}=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(J Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1} \dot{Q}\right)-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(Q^{-1} a Q J\right),
\]

где $a$ и $J$ – симметрические матрицы с компонентами $a_{i j}$, $J^{\alpha \beta}$. Введем кососимметрические матрицы $\omega, M$ и симметрическую матрицу $u$ :
\[
\omega=Q^{-1} \dot{Q}, M=J \omega+\omega J, \quad u=Q^{-1} a Q .
\]

Уравнения Јагранжа с лагранжианом (7.6) преобразуғотся в уравнения
\[
\dot{M}=[M, \omega]-[u, J], \quad \dot{u}=[u, \omega] .
\]

Матрицу $J$ можно сделать диагональной с помощью ортогональной замены координат в системе отсчета $S$ : $J^{\alpha \beta}=J^{\alpha} \delta_{\alpha \beta}$. В дальнейшем вместо связи $M=J_{\omega}+\omega J(7.7)$ мы будем рассматривать более общую связь
\[
M_{i k}=\left(b_{i}-b_{k}\right)\left(J^{k}-J^{i}\right)^{-1} \omega_{i k} .
\]

Прямая проверка показывает, что уравнения (7.8) – (7.9) эквивалентны следующему матричному уравнению Лакса, зависящему от спектрального параметра $E$ :
\[
\dot{\mathrm{L}}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \mathrm{L}=B E^{2}+M E+u, \quad \mathrm{~A}=\omega-J E,
\]

где $B$-диагональная матрица с элементами $B_{i k}=b_{i} \delta_{i k}$. Уравнения (7.8) являются уравнениями Эйлера в сопряженном пространстве к алгебре Ли $L_{n^{2}}$, әлементы которой $l$ представляются в виде $l=M+u$, а коммутаторы имеют вид (2.7). Орбұты $O$ действия соответствующей группы Ли $G_{n^{2}}$ в $L_{n^{2}}^{*}$ являются симплектическими мнотообразиями размерности $n^{2}-n$ и определяются $n$ условиями $\lambda_{1}(u)=c_{1}, \ldots, \lambda_{n}(u)=c_{n}$, где $\lambda_{i}(u)$ – собственные числа матрицы $u$. Система (7.1) на орбитах $O$ является гамильтоновой с тамильтонианом $H=\operatorname{Tr}\left(2^{-1} M \cdot \omega-J u\right)$. При выполнении условий (7.9) система (7.8) на $O$ является вполне интегрируемой по Лиувиллю. Инволютивными интегралами этой системы являются коэффициенты уравнения
\[
R(w, E)=\operatorname{det}\left(B E^{2}+M E+u-w \cdot 1\right)=0 .
\]

Вычислим род $g(\Gamma)$ римановой поверхности $\Gamma$, определенной уравнением (7.10) (особая точка в бесконечности $|E|$ разрешается в координатах $\left.z=E^{-1}, W=w E^{-1}\right)$. Вследствие определения $M^{t}=-M, u^{t}=u$, имеем:
\[
R(w, E)=\operatorname{det}(L-w \cdot 1)=\operatorname{det}\left(L^{t}-w \cdot 1\right)=R(w,-E) .
\]

Поэтому в уравнение (7:10) входят только четные степрни $E$ и на поверхности $\Gamma$ действует инволюция $\sigma$ : $\sigma(w, E)=(w,-E)$. Обозначим $E_{1}=E^{2}$, и пусть $\Gamma_{1}=\Gamma / \sigma-$ риманова поверхность, определенная уравнением $R\left(w, E_{1}^{\mathbf{1} / 2}\right)=0$. Поверхность $\Gamma_{1}$ имеет степень $n$, при $b_{i}
eq$ $
eq b_{j}$ поверхность $\Gamma_{1}$ не имеет особенностей в бесконечности, поэтому ее род $g\left(\Gamma_{1}\right)=(n-1)(n-2) / 2$ [139]. Отображение $f: \Gamma \rightarrow \Gamma_{1}, f(w, E)=\left(w, E_{1}=E^{2}\right)$ является разветвленным двулистным накрытием и в общем случае имеет $2 n$ точек ветвления: $n$ точек при $E=0$ п $n$ точек при $z=E^{-1}=0$. Поэтому для әйлеровой характеристики $\chi(\Gamma)$ и рода $g(\Gamma)$ по формуле Римана – Гурвица получаем:
\[
\chi(\Gamma)=2 \chi\left(\Gamma_{1}\right)-2 n, \quad g(\Gamma)=2 g\left(\Gamma_{1}\right)+n-1=(n-1)^{2} .
\]

Интегрирование системы (7.8) в $\theta$-функциях Римана поверхности $\Gamma$ (7.10) проводится аналогично § 4. Аналитический вид окончательных формул для $\omega_{i}^{\mathbf{j}}(t)$ внешне тождественен (4.30). В $n$-мерном случае также справедливы лемма 1 и лемма 2 из § 4 – после отображения (4.26) динамика системы (7.8) линеаризуется на многомногоюбазия Прима $\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma$ равна вещественной размерности инвариантных торов системы (7.8):
\[
\begin{aligned}
\operatorname{dim}_{\mathbb{C}}\left(\operatorname{Prym}_{\sigma} \Gamma\right)=g(\Gamma)-g\left(\Gamma_{1}\right)=n( & n-1) / 2= \\
& =\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} O / 2=\operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \mathrm{T} .
\end{aligned}
\]

В силу явных формул вида (4.30) решения системы (7.8) являются мероморфными функциями на всей плоскости комплексного переменного $t$.