I. Система (1.9) после замены $u_{i}=a_{i}^{2}$ принимает вид
\[
\begin{aligned}
u_{i t}=u_{i}\left(u_{i y}+u_{i+1, y}\right. & +u_{i+1} \sum_{k=1}^{k=i} u_{k y} u_{k}^{-1}- \\
& \left.-u_{i} \sum_{k=1}^{k=i-2} u_{k y} u_{k}^{-1}+\beta\left(u_{i+1}-u_{i-1}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Предположим, что выполнены равенства
\[
u_{j}=1-\varepsilon^{2} v\left(t, x_{j}, y\right), \quad x_{j}=j \varepsilon, \quad \beta=3 \beta_{0} \varepsilon^{-1},
\]

где $v(t, x, y)$ – некоторая дифферепцируемая функция от трех переменных, Уравнение (2.1) после подстановки (2.2) принимает вид

\[
\begin{aligned}
v_{i t}= & \left(1-\varepsilon^{2} v_{i}\right)\left(2 v_{i y}+v_{i-1, y}+v_{i+1, y}-\right. \\
& \left.-\varepsilon^{2}\left(v_{i+1}-v_{i-1}\right) \sum_{k=1}^{k=i} v_{k y}+\beta\left(v_{i+1}-v_{i-1}\right)+O\left(\varepsilon^{3}\right)\right),
\end{aligned}
\]

где $v_{i}=v\left(t, x_{i}, y\right)$. Уравнение (2.3) после применения разложения Тейлора для функциї $v$ и $v_{y}$ и использования формулы
\[
\varepsilon \sum_{k=0}^{k=i} v_{k y}=\int_{0}^{x_{i}} v_{y}(t, \xi, y) d \xi+O(\varepsilon)
\]

принимает вид
\[
\begin{array}{r}
v_{i t}=\left(1-\varepsilon^{2} v_{i}\right)\left(4 v_{i y}+\varepsilon^{2}\left(v_{i x x y}-2 v_{i x} \int_{0}^{x} v_{y}(t, \xi, y) d \xi+\right.\right. \\
\left.\left.+6 \beta_{0} v_{i x}+\varepsilon^{2} \beta_{0} v_{i x x x}+O\left(\varepsilon^{3}\right)\right)\right) .
\end{array}
\]

Уравнение (2.5) после замены
\[
t^{\prime}=-\varepsilon^{2} t, \quad y^{\prime}=y+4 t, \quad x^{\prime}=x+6 \beta_{0} t
\]

принимает вид (штрихи опускаем)
\[
v_{i t}=4 v_{i} v_{i y}+2 v_{i x} \int_{0}^{x} v_{y}(t, \xi, y) d \xi-v_{i x x y}+\beta_{0}\left(6 v_{i} v_{i x}-v_{i x x x}\right)+O(\varepsilon) .
\]

Полученное уравнение после перехода к пределу $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразуется в уравнение
\[
v_{t}=4 v v_{y}+2 v_{x} \int_{0}^{x} v_{y}(t, \xi, y) d \xi-v_{x x y}+\beta_{0}\left(6 v v_{x}-v_{x x x}\right) .
\]

В главе II построена подробная теория уравнения (2.8), которое описывает взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси $y$, с длинными волнами, распространяющимися по оси $x$. Уравнение (2.8) имеет операторное представление
\[
\mathrm{L}_{t}=2\left(\mathrm{LL}_{y}+\mathrm{L}_{y} \mathrm{~L}\right)+[\mathrm{L}, \mathrm{A}] \text {, }
\]

где $\mathrm{L}=-\partial_{x}^{2}+v(t, x, y)$ – оператор Штурма – Лиувилля.