I. Интегро-дифференциальные уравнения, «высшие» по отношению к уравнению (1.3), допускают представление Лакса
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathrm{~L}}{d t}=\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{n}\right], \\
\mathrm{L}=\frac{d}{d x}+a(t, x) \mathrm{P}_{-c}, \quad \mathrm{~A}_{n}=-\sum_{k=0}^{n} b_{k}(t, x) \mathrm{P}_{k c} .
\end{array}
\]

Уравнение (3.1) в силу формул (2.3) эквивалентно системе уравнений, которые возникают из разложения оператора $\left[\mathrm{L}, \mathrm{A}_{n}\right]$ в сумму по операторам $\mathrm{P}_{\mathrm{oc}}, s=n, n-$

$-1, \ldots, 0,-1:$
\[
\begin{array}{c}
\left(b_{n}\right)_{x}(t, x)=0 \\
\left(b_{k}\right)_{x}(t, x)=a(t, x+(k+1) c) b_{k+1}(t, x)- \\
\quad-a(t, x) b_{k+1}(t, x-c) \\
a_{2}(t, x)=a(t, x)\left(b_{0}(t, x)-b_{0}(t, x-c)\right)
\end{array}
\]

Из уравнепий (1.20) последовательно при $k=n-1, \ldots$ …, 0 находим коэффициенты $b_{k}(t, x)$ как функции от $\dddot{a}(t, x)$ и окончательно из последнего уравнения (3.2) находим искомое «высшее уравнение», отвечающее произвольному натуральному числу $n$. При $n=2$ имеем
\[
\begin{array}{l}
b_{2}(t, x)=\beta_{2}=\text { const, } b_{1}(t, x)=\beta_{2} \int_{x}^{x+2 c} a(t, \xi) d \xi+\beta_{1}, \\
b_{0}(t, x)=\beta_{2} \int_{x}^{x+c} a(t, \zeta) d \zeta \int_{\zeta-c}^{\zeta+c} a(t, \xi) d \xi+\beta_{1} \int_{x}^{x+c} a(t, \zeta) d \zeta .
\end{array}
\]

Поэтому второе интегро-дифференциальное уравнение определяется формулами
\[
\begin{array}{l}
a_{t}(t, x)=a(t, x)\left[\beta_{1}\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \zeta) d \zeta-\int_{x-c}^{x} a(t, \zeta) d \zeta\right)+\right. \\
\left.+\beta_{2}\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \zeta) d \zeta \int_{\zeta-c}^{\xi+c} a(t, \xi) d \xi-\int_{x-c}^{x} a(t, \zeta) d \zeta \int_{\zeta-c}^{\zeta+c} a(t, \xi) d \xi\right)\right] .
\end{array}
\]

При $\beta_{1}=1, \beta_{2}=0$ из (3.3) получаем уравнение (1.3).
Уравнение (3.3) может быть представлено также в виде, аналогичном (2.1):
\[
\begin{array}{l}
v_{t}(t, x)=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(\zeta-x)\left(\beta_{1} \exp v(t, \zeta)+\right. \\
\left.\quad+\beta_{2} \exp v(t, \zeta) \int_{\zeta-c}^{\zeta+e} \exp v(t, \xi) d \xi\right) d \zeta,
\end{array}
\]

где $\exp v(t, x)=a(t, x)$.
Уравнение (3.3) и все «высшие» уравнения (3.1) являются континуальными пределами уравнений, «высших» по отношению к уравнению (2.9), для которых оператор $L$ остается неизменным (см. (2.8)), а оцераторы $A_{n}$ определяются формулами
\[
\mathrm{A}_{n}=-\varepsilon \sum_{k=0}^{n-1} b_{k}(t, x) \mathrm{P}_{k p \varepsilon}-\mathrm{P}_{n p \varepsilon} .
\]

Поэтому все «высшие» интегро-дифференциальные уравнения (3.1) имеют тот же набор первых интегралов, что и уравнение (1.3), определенный явными формулами (2.17).
II. Рассмотрим уравнение Лакса вида
\[
\begin{aligned}
\frac{d \mathrm{~L}}{d t}=[\mathrm{L}, \mathrm{A}], \quad \mathrm{L} & =\frac{d}{d x}+a(t, x) \mathrm{P}_{-c}+b(t, x) \mathrm{P}_{-2 c}, \\
\mathrm{~A} & =-\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi-P_{c} .
\end{aligned}
\]

Здесь в отличие от (3.1) оператор А тот же, что и в (2.4), а оператор L изменен. Уравнение (3.4) в силу формул (2.3) эквивалентно следующей системе уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi\right. & \left.-\int_{x-c}^{x} a(t, \xi) d \xi\right)+ \\
& +b(t, x+c)-b(t, x), \\
\frac{\partial b(t, x)}{\partial t}=b(t, x)\left(\int_{x}^{x+c} a(t, \xi) d \xi-\right. & \left.\int_{x-2 c}^{x-c} a(t, \xi) d \xi\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения (3.5), очевидно, обобщают уравнение (1.3), соответствующее $b(t, x) \equiv 0$. Уравнения (3.5) являются континуальным пределом при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=$ $=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ системы уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial a(t, x)}{\partial t}=a(t, x)\left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon)-\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon a(t, x-k \varepsilon)\right)+ \\
+b(t, x+p \varepsilon)-b(t, x) \\
\frac{\partial b(t, x)}{\partial t}=b(t, x)\left(\sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon a(t, x+k \varepsilon)-\right. \\
\left.-\sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon a(t, x-(p+k) \varepsilon)\right) .
\end{array}
\]

Уравнения (3.6) эквивалентны уравнению Лакса
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}_{1}=\left[\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}\right], \\
\mathrm{L}_{1}=\mathrm{P}_{\varepsilon}+\varepsilon a(t, x) \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\varepsilon b(t, x) \mathrm{P}_{(1-2 p) e}, \\
\mathrm{~A}_{1}=-\varepsilon \sum_{k=0}^{p-1} a(t, x+k \varepsilon)-\mathrm{P}_{p \varepsilon} .
\end{array}
\]

Поэтому уравнения (3.6) в силу леммы 1 § 2 имеют счетное множество ненулевых первых интегралов
\[
I_{n}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}^{n p}\right) .
\]

Интегралы $I_{n}$ в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ определяют счетное множество первых интегралов уравнений (3.5). Аналогичные результаты справедливы для всех уравнений, допускающих представление Лакса с операторами $\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~A}_{1}$ вида
\[
\mathrm{L}_{1}=\frac{d}{d x}+\sum_{k=1}^{n} a_{k}(t, x) \mathrm{P}_{-k c}, \quad \mathrm{~A}_{1}=-\sum_{i=0}^{m} b_{i}(t, x) \mathrm{P}_{i c} .
\]

Система уравнений (3.5) может быть представлена также в виде одного интегро-дифференциального уравнения. Действительно, второе уравнение (3.5) после замены
\[
b(t, x)=k \exp \beta(t, x), \quad a(t, x)=\frac{\partial \alpha(t, x)}{\partial t}
\]

принимает вид
\[
\beta(t, x)=\int_{x}^{x+c} \alpha(t, \xi) d \xi-\int_{x-2 c}^{x-c} \alpha(t, \xi) d \xi .
\]

Первое уравнение (3.5) после указанных подстановок переходит в интегро-дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \alpha(t, x)}{\partial t^{2}}= \frac{\partial \alpha(t, x)}{\partial t}\left(\int_{x}^{x+c} \frac{\partial \alpha(t, \xi)}{\partial t} d \xi-\int_{x-c}^{x} \frac{\partial \alpha(t, \xi)}{\partial t} d \xi\right)+ \\
+k \exp \left(\int_{x+c}^{x+20} \alpha(t, \xi) d \xi-\int_{x-c}^{x} \alpha(t, \xi) d \xi\right)- \\
\quad-k \exp \left(\int_{x}^{x+c} \alpha(t, \xi) d \xi-\int_{x-2 c}^{x-c} \alpha(t, \xi) d \xi\right) .
\end{array}
\]
III. Выведем явные формулы для первых интегралов уравнений (1.6) и (1.14). Уравнение (1.6) является континуальным пределом при $\varepsilon \rightarrow 0, \quad p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}= \\
=\exp \left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon u(t, x+k \varepsilon)\right)-\exp \left(\sum_{k=1}^{p-1} \varepsilon u^{\prime}(t, x-k \varepsilon)\right) .
\end{array}
\]

Уравнение (3.9) эквивалентно уравнению Лакса вида
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{L}_{2}=\left[\mathrm{L}_{2}, \mathrm{~A}_{2}\right], \quad \mathrm{L}_{2}=\varepsilon \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\exp (\varepsilon u(t, x)) \mathrm{P}_{\varepsilon}, \\
\mathrm{A}_{2}=-\exp \left(\sum_{k=0}^{p-1} \varepsilon u(t, x+k \varepsilon)\right) \mathrm{P}_{p \varepsilon} .
\end{array}
\]

Поэтому в силу леммы 1 § 2 уравнение (3.9) имеет счетное множество первых интегралов
\[
I_{n}=\operatorname{Tr}\left(\mathrm{L}_{2}^{n p}\right)=\operatorname{Tr}\left(\varepsilon \mathrm{P}_{(1-p) \varepsilon}+\exp (\varepsilon u(t, x)) \mathrm{P}_{\varepsilon}\right)^{n p} .
\]

Вычисляя эту величину согласно определению (2.11), получаем формулу
\[
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} d x\left(\sum_{k_{1}, \ldots, k_{n}} \varepsilon^{n} \exp \varepsilon \sum_{m=1}^{n} \sum_{j=0}^{k_{m}-1} u(t, x+(m-1)(1-p) \varepsilon+j \varepsilon)\right),
\]

где суммирование осуществляется по всем наборам из $n$ неотрицательных целых чисел $k_{1}, \ldots, k_{n}$, удовлетворяющих условию $k_{1}+\ldots+k_{n}=n(p-1)$. Выражения (3.11) в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0, p-1=[c / \varepsilon] \rightarrow \infty$ переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.6):
\[
\begin{array}{l}
I_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{x}^{x+n c} d x_{1} \int_{x_{1}^{-c}}^{x+(n-1) c} d x_{2} \ldots \\
\ldots \int_{x_{n-2}^{-c}}^{x+2 c} d x_{n-1} \int_{x_{n-1}-c}^{x+c} Z\left(t, x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{n}, \quad(3.12) \\
Z\left(t, x, x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\exp \left(\int_{x}^{x_{1}} u\left(t, \xi_{1}\right) d \xi_{1}+\right. \\
\left.\quad+\int_{x_{1}^{-c}}^{x_{2}} u\left(t, \xi_{2}\right) d \xi_{2}+\ldots+\int_{x_{n}-c}^{x} u\left(t, \xi_{n+1}\right) d \xi_{n+1}\right) .
\end{array}
\]

Простейший из этих интегралов $I_{1}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} d x \int_{x}^{x+c} d x_{1} \exp \left(\int_{x_{1}-c}^{x_{1}} u\left(t, \xi_{1}\right) d \xi_{1}\right)= \\
=c \int_{-\infty}^{\infty} d x \exp \left(\int_{x}^{x+c} u\left(t, \xi_{1}\right) d \xi_{1}\right) .
\end{array}
\]

Уравнение (1.14) следует из уравнения (1.6) после подстановки $u(t, x)=\partial \varphi(t, x) / \partial x$. При этом подынтегральная функция в (3.12) принимает вид
\[
Z=\exp \sum_{k=1}^{n}\left(\varphi\left(t, x_{k}\right)-\varphi\left(t, x_{k}-c\right)\right)=\prod_{k=1}^{n} a\left(t, x_{k}\right),
\]

где использована связь (1.12). Поэтому формулы (3.12), определяющие первые интегралы уравнений (1.6), (1.14), после преобразования (1.12) переходят в формулы (2.17) первых интегралов интегро-диффференциального уравнения (1.3).