I. Интегро-дифференциальные уравнения, «высшие» по отношению к уравнению (1.3), допускают представление Лакса
$$\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{L}}{dt}=[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_n],\\ \mathrm{L}=\frac{d}{dx}+a(t,x){\mathrm{P}}_{-c},{\mathrm{A}}_n=-\sum _{k=0}^n{b}_k(t,x){\mathrm{P}}_{kc}.\end{array}$$

Уравнение (3.1) в силу формул (2.3) эквивалентно системе уравнений, которые возникают из разложения оператора $[\mathrm{L},{\mathrm{A}}_n]$ в сумму по операторам ${\mathrm{P}}_{\mathrm{oc}},s=n,n-$

$-1,\dots ,0,-1:$
$$\begin{array}{c}{\left(b_n\right)}_x(t,x)=0\\ {\left(b_k\right)}_x(t,x)=a(t,x+(k+1)c)b_{k+1}(t,x)-\\ -a(t,x)b_{k+1}(t,x-c)\\ a_2(t,x)=a(t,x)(b_0(t,x)-b_0(t,x-c))\end{array}$$

Из уравнепий (1.20) последовательно при $k=n-1,\dots$ …, 0 находим коэффициенты $b_k(t,x)$ как функции от $\stackrel{⃛}{a}(t,x)$ и окончательно из последнего уравнения (3.2) находим искомое «высшее уравнение», отвечающее произвольному натуральному числу $n$. При $n=2$ имеем
$$\begin{array}{l}{b}_2(t,x)={\beta }_2=\text{ const, }{b}_1(t,x)={\beta }_2{\int }_x^{x+2c}a(t,\xi )d\xi +{\beta }_1,\\ b_0(t,x)={\beta }_2{\int }_x^{x+c}a(t,\zeta )d\zeta {\int }_{\zeta -c}^{\zeta +c}a(t,\xi )d\xi +{\beta }_1{\int }_x^{x+c}a(t,\zeta )d\zeta .\end{array}$$

Поэтому второе интегро-дифференциальное уравнение определяется формулами
$$\begin{array}{l}{a}_t(t,x)=a(t,x)[{\beta }_1({\int }_x^{x+c}a(t,\zeta )d\zeta -{\int }_{x-c}^{x}a(t,\zeta )d\zeta )+\\ +{\beta }_2({\int }_x^{x+c}a(t,\zeta )d\zeta {\int }_{\zeta -c}^{\xi +c}a(t,\xi )d\xi -{\int }_{x-c}^{x}a(t,\zeta )d\zeta {\int }_{\zeta -c}^{\zeta +c}a(t,\xi )d\xi )].\end{array}$$

При ${\beta }_1=1,{\beta }_2=0$ из (3.3) получаем уравнение (1.3).
Уравнение (3.3) может быть представлено также в виде, аналогичном (2.1):
$$\begin{array}{l}{v}_t(t,x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (\zeta -x)({\beta }_1\exp v(t,\zeta )+\\ +{\beta }_2\exp v(t,\zeta ){\int }_{\zeta -c}^{\zeta +e}\exp v(t,\xi )d\xi )d\zeta ,\end{array}$$

где $\exp v(t,x)=a(t,x)$.
Уравнение (3.3) и все «высшие» уравнения (3.1) являются континуальными пределами уравнений, «высших» по отношению к уравнению (2.9), для которых оператор $L$ остается неизменным (см. (2.8)), а оцераторы $A_n$ определяются формулами
$${\mathrm{A}}_n=-\epsilon \sum _{k=0}^{n-1}{b}_k(t,x){\mathrm{P}}_{kp\epsilon }-{\mathrm{P}}_{np\epsilon }.$$

Поэтому все «высшие» интегро-дифференциальные уравнения (3.1) имеют тот же набор первых интегралов, что и уравнение (1.3), определенный явными формулами (2.17).
II. Рассмотрим уравнение Лакса вида
$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathrm{L}}{dt}=[\mathrm{L},\mathrm{A}],\mathrm{L}& =\frac{d}{dx}+a(t,x){\mathrm{P}}_{-c}+b(t,x){\mathrm{P}}_{-2c},\\ \mathrm{A}& =-{\int }_x^{x+c}a(t,\xi )d\xi -P_c.\end{array}$$

Здесь в отличие от (3.1) оператор А тот же, что и в (2.4), а оператор L изменен. Уравнение (3.4) в силу формул (2.3) эквивалентно следующей системе уравнений
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial a(t,x)}{\partial t}=a(t,x)({\int }_x^{x+c}a(t,\xi )d\xi & -{\int }_{x-c}^{x}a(t,\xi )d\xi )+\\ & +b(t,x+c)-b(t,x),\\ \frac{\partial b(t,x)}{\partial t}=b(t,x)({\int }_x^{x+c}a(t,\xi )d\xi -& {\int }_{x-2c}^{x-c}a(t,\xi )d\xi ).\end{array}$$

Уравнения (3.5), очевидно, обобщают уравнение (1.3), соответствующее $b(t,x)\equiv 0$. Уравнения (3.5) являются континуальным пределом при $\epsilon \to 0,p-1=$ $=[c/\epsilon ]\to \mathrm{\infty }$ системы уравнений
$$\begin{array}{c}\frac{\partial a(t,x)}{\partial t}=a(t,x)(\sum _{k=1}^{p-1}\epsilon a(t,x+k\epsilon )-\sum _{k=1}^{p-1}\epsilon a(t,x-k\epsilon ))+\\ +b(t,x+p\epsilon )-b(t,x)\\ \frac{\partial b(t,x)}{\partial t}=b(t,x)(\sum _{k=0}^{p-1}\epsilon a(t,x+k\epsilon )-\\ -\sum _{k=0}^{p-1}\epsilon a(t,x-(p+k)\epsilon )).\end{array}$$

Уравнения (3.6) эквивалентны уравнению Лакса
$$\begin{array}{c}{\mathrm{L}}_1=[{\mathrm{L}}_1,{\mathrm{A}}_1],\\ {\mathrm{L}}_1={\mathrm{P}}_{\epsilon }+\epsilon a(t,x){\mathrm{P}}_{(1-p)\epsilon }+\epsilon b(t,x){\mathrm{P}}_{(1-2p)e},\\ {\mathrm{A}}_1=-\epsilon \sum _{k=0}^{p-1}a(t,x+k\epsilon )-{\mathrm{P}}_{p\epsilon }.\end{array}$$

Поэтому уравнения (3.6) в силу леммы 1 § 2 имеют счетное множество ненулевых первых интегралов
$$I_n=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{L}}^{np}\right).$$

Интегралы $I_n$ в пределе при $\epsilon \to 0,p-1=[c/\epsilon ]\to \mathrm{\infty }$ определяют счетное множество первых интегралов уравнений (3.5). Аналогичные результаты справедливы для всех уравнений, допускающих представление Лакса с операторами ${\mathrm{L}}_1,{\mathrm{A}}_1$ вида
$${\mathrm{L}}_1=\frac{d}{dx}+\sum _{k=1}^n{a}_k(t,x){\mathrm{P}}_{-kc},{\mathrm{A}}_1=-\sum _{i=0}^m{b}_i(t,x){\mathrm{P}}_{ic}.$$

Система уравнений (3.5) может быть представлена также в виде одного интегро-дифференциального уравнения. Действительно, второе уравнение (3.5) после замены
$$b(t,x)=k\exp \beta (t,x),a(t,x)=\frac{\partial \alpha (t,x)}{\partial t}$$

принимает вид
$$\beta (t,x)={\int }_x^{x+c}\alpha (t,\xi )d\xi -{\int }_{x-2c}^{x-c}\alpha (t,\xi )d\xi .$$

Первое уравнение (3.5) после указанных подстановок переходит в интегро-дифференциальное уравнение
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^2\alpha (t,x)}{\partial t^2}=\frac{\partial \alpha (t,x)}{\partial t}({\int }_x^{x+c}\frac{\partial \alpha (t,\xi )}{\partial t}d\xi -{\int }_{x-c}^x\frac{\partial \alpha (t,\xi )}{\partial t}d\xi )+\\ +k\exp ({\int }_{x+c}^{x+20}\alpha (t,\xi )d\xi -{\int }_{x-c}^x\alpha (t,\xi )d\xi )-\\ -k\exp ({\int }_x^{x+c}\alpha (t,\xi )d\xi -{\int }_{x-2c}^{x-c}\alpha (t,\xi )d\xi ).\end{array}$$
III. Выведем явные формулы для первых интегралов уравнений (1.6) и (1.14). Уравнение (1.6) является континуальным пределом при $\epsilon \to 0,p-1=[c/\epsilon ]\to \mathrm{\infty }$ уравнения
$$\begin{array}{l}\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}=\\ =\exp (\sum _{k=1}^{p-1}\epsilon u(t,x+k\epsilon ))-\exp (\sum _{k=1}^{p-1}\epsilon u^{\prime }(t,x-k\epsilon )).\end{array}$$

Уравнение (3.9) эквивалентно уравнению Лакса вида
$$\begin{array}{c}{\mathrm{L}}_2=[{\mathrm{L}}_2,{\mathrm{A}}_2],{\mathrm{L}}_2=\epsilon {\mathrm{P}}_{(1-p)\epsilon }+\exp (\epsilon u(t,x)){\mathrm{P}}_{\epsilon },\\ {\mathrm{A}}_2=-\exp (\sum _{k=0}^{p-1}\epsilon u(t,x+k\epsilon )){\mathrm{P}}_{p\epsilon }.\end{array}$$

Поэтому в силу леммы 1 § 2 уравнение (3.9) имеет счетное множество первых интегралов
$$I_n=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{L}}_2^{np}\right)=\mathrm{Tr}{(\epsilon {\mathrm{P}}_{(1-p)\epsilon }+\exp (\epsilon u(t,x)){\mathrm{P}}_{\epsilon })}^{np}.$$

Вычисляя эту величину согласно определению (2.11), получаем формулу
$$I_n={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx(\sum _{k_1,\dots ,k_n}{\epsilon }^n\exp \epsilon \sum _{m=1}^n\sum _{j=0}^{k_m-1}u(t,x+(m-1)(1-p)\epsilon +j\epsilon )),$$

где суммирование осуществляется по всем наборам из $n$ неотрицательных целых чисел $k_1,\dots ,k_n$, удовлетворяющих условию $k_1+\dots +k_n=n(p-1)$. Выражения (3.11) в пределе при $\epsilon \to 0,p-1=[c/\epsilon ]\to \mathrm{\infty }$ переходят в формулы для первых интегралов уравнения (1.6):
$$\begin{array}{l}{I}_n={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx{\int }_x^{x+nc}d{x}_1{\int }_{x_1^{-c}}^{x+(n-1)c}d{x}_2\dots \\ \dots {\int }_{x_{n-2}^{-c}}^{x+2c}d{x}_{n-1}{\int }_{x_{n-1}-c}^{x+c}Z(t,x,x_1,\dots ,x_n)d{x}_n,(3.12)\\ Z(t,x,x_1,\dots ,x_n)=\exp ({\int }_x^{x_1}u(t,{\xi }_1)d{\xi }_1+\\ +{\int }_{x_1^{-c}}^{x_2}u(t,{\xi }_2)d{\xi }_2+\dots +{\int }_{x_n-c}^{x}u(t,{\xi }_{n+1})d{\xi }_{n+1}).\end{array}$$

Простейший из этих интегралов $I_1$ имеет вид
$$\begin{array}{l}{I}_1={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx{\int }_x^{x+c}d{x}_1\exp \left({\int }_{x_1-c}^{x_1}u(t,{\xi }_1)d{\xi }_1\right)=\\ =c{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx\exp \left({\int }_x^{x+c}u(t,{\xi }_1)d{\xi }_1\right).\end{array}$$

Уравнение (1.14) следует из уравнения (1.6) после подстановки $u(t,x)=\partial \phi (t,x)/\partial x$. При этом подынтегральная функция в (3.12) принимает вид
$$Z=\exp \sum _{k=1}^n(\phi (t,x_k)-\phi (t,x_k-c))=\prod _{k=1}^{n}a(t,x_k),$$

где использована связь (1.12). Поэтому формулы (3.12), определяющие первые интегралы уравнений (1.6), (1.14), после преобразования (1.12) переходят в формулы (2.17) первых интегралов интегро-диффференциального уравнения (1.3).