I. Пусть алгебра $\mathfrak{A}$ является алгеброй матричнозначных функций на множестве целых чисел $\mathfrak{A}=\mathscr{F}(\mathbb{Z}, \operatorname{gl}(n, \mathbb{R}))$. Автоморфизмы $\mathrm{G}$ и $\mathrm{H}$ определим формулами
\[
\begin{aligned}
\mathrm{G} f(k)=\beta(k)^{-1} f(k) \beta(k), \\
\mathrm{H} f(k)=\alpha(k+1) f(k+1) \alpha(k+1)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Обратимые матрицы $\alpha_{k}, \beta_{k}$ определены с точностью до произвольного скалярного множителя. Условие коммутативности $\mathrm{GH}=\mathrm{HG}$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\alpha(k+1) \beta^{-1}(k+1) f(k+1) \beta(k+1) \alpha^{-1}(k+1)= \\
=\beta(k)^{-1} \alpha(k+1) f(k+1) \alpha(k+1)^{-1} \beta(k) .
\end{array}
\]

Отсюда находим соотношения
\[
\begin{array}{c}
\alpha(k+1)^{-1} \beta(k) \alpha(k+1) \beta(k+1)^{-1}=\mu(k), \\
\beta(k+1)^{-1}=\mu(k) \alpha(k+1)^{-1} \beta(k)^{-1} \alpha(k+1),
\end{array}
\]

где $\mu(k)$ – произвольная скалярная матрица.
Уравнения (4.1), (4.2) принимают вид
\[
\begin{array}{r}
\dot{a}_{1}(k)=a_{1}(k) \beta(k)^{-1} b(k) \beta(k)-b(k) a_{1}(k), \\
\alpha(k+1) b(k+1) \alpha(k+1)^{-1}-b(k)= \\
=\alpha(k+1) \beta(k+1) a_{1}(k+1) \beta(k+1)^{-1} \times \\
\times \alpha(k+1)^{-1}-a_{1}(k) .
\end{array}
\]

Введем обозначения $a(k)=a_{1}(k) \beta(k)^{-1}$. Уравнение после умножения справа на $\beta(k)^{-1}$ принимает вид
\[
\dot{a}(k)=[a(k), b(k)] .
\]

Уравнение (5.5) после умножения справа на $\alpha(k+1)$ џринимает вид
\[
\begin{array}{l}
\alpha(k+1) b(k+1)-b(k) \alpha(k+1)= \\
\quad=\alpha(k+1) \beta(k+1) a(k+1)-a(k) \beta(k) \alpha(k+1) .
\end{array}
\]

Это уравнение после подстановки формул (5.3) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\alpha(k+1) b(k+1)-b(k) \alpha(k+1)= \\
=\mu(k)^{-1} \beta(k) \alpha(k+1) a(k+1)- \\
\quad-a(k) \beta(k) \alpha(k+1) .
\end{array}
\]

В периодическом случае, когда алгебра $\mathfrak{A}$ является алгеброй матричнозначных функций на конечном множестве точек $\mathscr{F}\left(\mathbb{Z}_{N}, \operatorname{gl}(n, \mathbb{R})\right)$, соотношения (5.3) приводят к условиям
\[
\begin{array}{l}
\alpha(k+N) \alpha(k+N-1) \ldots \alpha(k+1) \beta(k)^{-1}= \\
\quad=\mu \beta(k)^{-1} \alpha(k+1) \ldots \alpha(k+N),
\end{array}
\]

где $\mu=\mu(1) \mu(2) \ldots \mu(N)$. Вычисляя определитель обеих частей равенства (5.9), находим $\mu^{n}=1$. Соотношения (5.9) при $\mu
eq 1, \mu^{n}=1$ можно разрешить аналогично п. III и п. IV предыдущего параграфа. В дальнейшем предполагается, что $\mu=1$; тогда можно считать, что все $\mu(k)=1$ (так как $\beta(k)$ определены с точностью до произвольного множителя). Без ограничения общности можно считать, что все матрицы $\alpha(k)$ являются диагональными. Тогда в случае общих диагональных матриц $\alpha(k)$. условие (5.9) при $\mu=1$ означает, что матрица $\beta(k)$ коммутирует с диагональной матрицей $\alpha(k+1) \ldots \alpha(k+N)$ общего вида, поэтому матрица $\beta(k)$ также является диагональной. Тогда из условий (5.3) следует, что $\beta(k)=$ $=\beta(j)=\beta$, где $\beta$ – шроизвольная диагональная матрида.
II. Проведенные выше рассуждения показывают, что случай произвольных диагональных матриц $\alpha(1), \ldots$ $\ldots, \alpha(N)$ и $\beta(k)=\beta, \mu(k)=1$ является достаточно общим в рассматриваемой конструкции. Обозначим $\alpha_{i}(k)=$ $=\alpha_{i i}(k), \beta_{i}=\beta_{i i}$. Уравнения (5.8) при $\mu(k)=1, \beta(k)=\beta$ принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{i}(k+1) b_{i j}(k+1)-\alpha_{j}(k+1) b_{i j}(k)= \\
=\beta_{i} \alpha_{i}(k+1) a_{i j}(k+1)-\beta_{j} \alpha_{j}(k+1) a_{i j}(k) .
\end{array}
\]

Система (5.10), очевидно, распадается на $n^{2}$ линейных систем из $N$ уравнений, связывающих элементы $a_{i j}(k)$, $b_{i j}(k)$ с постоянными $i, j$ и переменным $k$. Уравнения (5.10) для диагональных элементов имеют вид
\[
b_{i i}(k+1)-b_{i i}(k)=\beta_{i}\left(a_{i i}(k+1)-a_{i i}(k)\right)
\]

и разрешаются в виде
\[
b_{i i}(k)=\beta_{i} a_{i i}(k)+c_{i},
\]

где $c_{i}$ – произвольные постоянные. Обозначим
\[
\pi\left(\alpha_{i}\right)=\prod_{r=1}^{N} \alpha_{i}(r) .
\]

Необходимым условием разрешимости системы (5.10) для недиагональных элементов является условие $\pi\left(\alpha_{i}\right)
eq$ $
eq \pi\left(\alpha_{j}\right)$. Решение определяется следующими формулами:
\[
\begin{aligned}
b_{i j}(k)= & a_{i j}(k) \frac{\beta_{i} \pi\left(\alpha_{i}\right)-\beta_{j} \pi\left(\alpha_{j}\right)}{\pi\left(\alpha_{i}\right)-\pi\left(\alpha_{j}\right)}+ \\
& +\frac{\left(\beta_{i}-\beta_{j}\right) \pi\left(\alpha_{i}\right)}{\pi\left(\alpha_{i}\right)-\pi\left(\alpha_{j}\right)} \sum_{s=1}^{N-1} a_{i j}(k-s) \frac{\prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{j}(k-r)}{\prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{i}(k-r)},
\end{aligned}
\]

которые легко проверяются прямой подстановкой в уравнения (5.10). Формулы (5.12) зависят от $(N+1)$-й произвольной диагональной матрицы $\alpha(1), \ldots, \alpha(N), \beta$.

Конструкция динамической системы (5.6), (5.12) является весьма общей и содержит в виде спедиальных случаев интегрируемые системы, указанные в работе [52] $(N=1)$, в работе [56] $(N=2$ и $\alpha(1)=\alpha(2))$, в работе [57] $(\alpha(1)=\alpha(2)=\ldots=\alpha(N)=\alpha)$. В последнем случае формулы (5.12) принимают вид
\[
\begin{aligned}
b_{i j}(k)=a_{i j}(k) \frac{\beta_{i} \alpha_{i}^{N}-\beta_{j} \alpha_{j}^{N}}{\alpha_{i}^{N}-\alpha_{j}^{N}}+ \\
\quad+\frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\alpha_{i}^{N}-\alpha_{j}^{N}} \sum_{s=1}^{N-1} a_{i j}(k-s) \alpha_{i}^{N-s} \alpha_{j}^{s} .
\end{aligned}
\]

Формулы (5.13) после подстановки $\beta_{i}=b_{i} \alpha_{i}^{-1}$ совпадают с формулами (2.11), (2.12) работы [57].
III. Система уравнений (5.6), (5.12) определена в прямой сумме $N$ алгебр Ли $\mathrm{gl}(n$, $\mathbb{R})$. Согласно проведенному выводу эта система допускает представление Jакса со спектральным параметром в пространстве линейных операторов над алгеброй $\mathscr{F}(\mathbb{Z} N, \operatorname{gl}(n, \mathbb{R}))$, имеющей размерность $n^{2} N$. При этом в пространстве матриц размера $n^{2} N \times n^{2} N$ представление Лакса (4.3), (4.4) относится к классу уравнений, исследованному в работе [58]. Поэтому согласно [58] уравнения (5.6), (5.12) интегрируются в тәта-функция римановой поверхности
\[
R(\lambda, w)=\operatorname{det}_{1}\left(a_{1}(t) \mathrm{G}+\lambda \mathrm{H}-w \cdot 1\right)=0 .
\]

Покажем, что линейный оператор, определенный формулами (5.12) в алгебре Ли $\mathfrak{A}=\underset{i=1}{\oplus} \mathrm{gl}(n, \mathbb{R})$, является самосопряженным относительно скалярного произведения
\[
(x, y)=\sum_{k=1}^{N} \sum_{i, j=1}^{n} x_{i j}(k) y_{j i}(k) .
\]

Первое слагаемое формулы (5.12), очевидно, определяет самосопряженный оператор. Второе слагаемое определяет оператор
\[
\begin{array}{l}
b=\mathrm{A} a, \quad b_{i j}(k)= \\
= c_{i j} \sum_{s=1}^{N-1} a_{i j}(k-s) \prod_{i=0}^{s-1} \alpha_{j}(k-r) \prod_{r=s}^{N-1} \alpha_{i}(k-r),
\end{array}
\]

где $c_{i j}=\left(\beta_{i}-\beta_{j}\right)\left(\pi\left(\alpha_{i}\right)-\pi\left(\alpha_{j}\right)\right)^{-1}$. Рассмотрим два скалярных произведения
\[
\begin{array}{l}
(x, \mathrm{~A} y)=\sum_{i, j, k, s} x_{i j}(k) c_{j i} y_{j i}(k-s) \prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{i}(k-r) \prod_{r=s}^{N-1} \alpha_{j}(k-r), \\
(\mathrm{A} x, y)=\sum_{i, j, k, s} c_{i j} x_{i j}(k-s) \prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{j}(k-r) \prod_{r=s}^{N-1} \alpha_{i}(k-r) y_{j i}(k) .
\end{array}
\]

Сделаем в формуле (5.16) замену $s=N-s_{1}, s_{1}=1, \ldots$ $\ldots, N-1$, а в формуле (5.17) сделаем замену $k=k_{1}+$ $+s$ и воспользуемся условием периодичности $z(k+N)=$ $=z(k)$; получим
\[
\begin{array}{l}
(x, \mathrm{~A} y)=\sum_{i, j, k, s} x_{i j}(k) c_{j i} y_{j i}\left(k+s_{1}\right) \times \\
\times \prod_{r=0}^{N-s_{1}-1} \alpha_{i}(k-r) \prod_{r=N-s_{1}}^{N-1} \alpha_{j}(k-r),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
(\mathrm{A} x, y)=\sum_{i, j, k_{1}, s} x_{i j}\left(k_{1}\right) c_{i j} y_{j i}\left(k_{1}+s\right) \times \\
\times \prod_{r=s}^{N-1} \alpha_{i}\left(k_{1}+s-r\right) \prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{j}\left(k_{1}+s-r\right) .
\end{array}
\]

В силу условия периодичности для $\alpha_{j}(k)$ и симметрии $c_{i j}=c_{j i}$ два выражения (5.18) совпадают. Следовательно, справедливо равенство
\[
(x, \mathrm{~A} y)=(\mathrm{A} x, y),
\]
т. е. оператор А является самосопряженным относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому уравнения (5.6), (5.12) являются уравнениями Эйлера в прямой сумме $N$ алгебр Ли $\operatorname{gl}(n, \mathbb{R})$ и гамильтоновы на орбитах
присоединенного представления с гамильтонианом
\[
\begin{array}{r}
\mathrm{H}(a)=\frac{1}{2} \sum_{i, j, k} a_{i j}(k) a_{j i}(k) \frac{\beta_{i} \pi\left(\alpha_{i}\right)-\beta_{j} \pi\left(\alpha_{j}\right)}{\pi\left(\alpha_{i}\right)-\pi\left(\alpha_{j}\right)}+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{i, j, k, s} a_{i j}(k) \frac{\beta_{i}-\beta_{j}}{\pi\left(\alpha_{i}\right)-\pi\left(\alpha_{j}\right)} a_{j i}(k-s) \times \\
\quad \times \prod_{r=0}^{s-1} \alpha_{i}(k-r) \prod_{r=s}^{N-1} \alpha_{j}(k-r) .
\end{array}
\]
IV. Коәффициенты при $a_{i j}(k-s)$ в формулах (5.12) являются симметричными относительно $i, j$ шри $N=2$ и $\alpha(1)=\alpha(2)$. В этом случае уравнения редуцируются на алгебру Ли so $(n, \mathbb{R}) \oplus$ so $(n, \mathbb{R})$ [56]. В общем случае $N>2$ коәффициенты при $a_{i j}(k-s)$, вообще говоря, не симметричны относительно $i, j$ и поэтому уравнения (5.6), (5.12) не редуцируются на прямую сумму алгебр Ли so $(n, \mathbb{R})$. Однако в некоторых предельных случаях такая симметрия имеет место и соответствующая редукция возможна. Сделаем следующие подстановки:
\[
\alpha_{i}(k)=\sigma_{i}(k)+\varepsilon \sigma_{i}(k) \zeta_{i}(k), \quad \sigma_{i}^{2}(k)=1, \quad \beta_{i}=\beta+\varepsilon \lambda_{i},
\]

где $|\varepsilon| \ll 1$. Справедливы формулы
\[
\pi\left(\alpha_{i}\right)=\pi\left(\sigma_{i}\right)+\varepsilon \pi\left(\sigma_{i}\right) \rho_{i}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \rho_{i}=\xi_{i}(1)+\ldots+\xi_{i}(N) .
\]

Предположим дополнительно, тто $\pi\left(\sigma_{i}\right)=\pi\left(\sigma_{j}\right)$. Формулы (5.12) после подстановки (5.21) и перехода к пределу при $\varepsilon \rightarrow 0$ принимают вид
\[
\begin{aligned}
b_{i j}(k) & =a_{i j}(k)\left(\beta+\frac{\lambda_{i}-\lambda_{j}}{\rho_{i}-\rho_{j}}\right)+ \\
+ & \frac{\lambda_{i}-\lambda_{j}}{\rho_{i}-\rho_{j}} \sum_{s=1}^{N-1} a_{i j}(k-s) \prod_{r=0}^{s-1} \sigma_{i}^{-1}(k-r) \sigma_{j}(k-r) .
\end{aligned}
\]

Коэффициент $\beta$ не влияет на уравнения (5.6). Поэтому при условиях $\sigma_{i}(k)= \pm 1$ и $\pi\left(\sigma_{i}\right)=\pi\left(\sigma_{j}\right)$ формулы (5.22). принимают эквивалентный вид
\[
b_{i j}(k)=\frac{\lambda_{i}-\lambda_{j}}{\rho_{i}-\rho_{j}} \sum_{s=1}^{N} a_{i j}(k-s) \prod_{r=0}^{s-1} \sigma_{i}(k-r) \sigma_{j}(k-r) .
\]

Здесь коэффициенты при $a_{i j}(k-s)$, очевидно, симметричны относительно $i, j$. Поэтому соответствующие уравнения (5.6) допускают редукцию в прямую сумму $N$ алгебр Ли so $(n, \mathbb{R})$. В пункте III показано, что общее отображение (5.12) является симметрическим относительно скалярного произведения (5.14). Поэтому линейвое отображение (5.23), являющееся предельным случаем отображения (5.12), также является самосопряженным.

Таким образом, уравнения (5.6), (5.23) при условиях $\sigma_{i}(k)= \pm 1, \pi\left(\sigma_{i}\right)=\pi\left(\sigma_{j}\right)$ являются уравнениями Эйлера в прямой сумме $N$ алгебр Ли so $(n, \mathbb{R})$ и гамильтоновы на орбитах присоединенного представления в стандартной симплектической структуре. Эти уравнения являются предельным случаем уравнений (5.6), (5.12), допускающих представление Јакса со спектральным параметром (5.3), (5.4), и поэтому имеют набор первых интегралов, которые являются пределами при $\varepsilon \rightarrow 0$ первых интегралов уравнений (5.6), (5.12).