Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Уравнениями движения (опносительно центра масс) твердого тела с полостью, заполненной магітной жидкостью, являются уравнения малнитной гидродинамики (1.1) и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначения: и воспольуемся изоморфизмом векторов с компонентами $v^{i}$ в $R^{3}$ и кососимметрических $(3 \times 3)$ матриц с компонентами $V_{j \kappa}$ : при котором векторное произведение векторов $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ переходит в коммутатор матриц $[X, Y]=X Y-Y X$. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам $A$ и $B$ отвечают векторы с компонентами $A^{i}, B^{i}, i=1,2,3$. Момент количества движения жидкости в полости (относительно центра масс) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости) пде $m$ — полная масса жидкости, индекс $t$ означает транспонирование, $M_{j k}$ — компоненты матрицы $M$. Вектор $\overline{\mathbf{M}}=m_{1} \mathbf{M}$ полного момента количеттва движения твердого тела и жидкости в системе отсчета $S$ имеет следующие компоненты: где $I_{i k}^{1}$ — тензор инерции твердой оболочки в системе $S$; $i, j, l=1,2,3$. Закон сохранения полного момента количества движения имеет вид Три последних уравнения мапнитной гидродинамики (1.1) выполнены тождественио в силу определений (1.2) и (1.3). Переходя к преобразованию первого уравнения (1.1), отметим, что гравитационные силы в случае пдеальпой несжимаемой жидкости эквивалештиы переопределению давления $p_{1}=p+\rho \Phi$ п поэтому не оказывают влияния на динамику рассматриваемой модели. Эффективное давление $p_{1}$ для движений с однородной деформацией является квадратичной функцией координат: где $p_{i j}(t)$ — компоненты симметрической матрицы $P_{0}(t)$. Подставляя указанную формулу и формулы (1.2), (1.3) в лервое уравнение (1.1), получаем, что это уравшение эквивалентно следующим матричному и векторному уравнениям: Обозначим $K_{0}=\vec{F}^{t} F-F^{t} \vec{F}$; очевидно, $\quad \dot{K}_{0}=\vec{F}^{t} F-$ — $F^{t} \vec{F}$ — антисимметричная часть матрицы $\ddot{F}^{t} F$. Симметричная часть этой матрицы определяет матрицу $P_{0}(t)$ : В силу (2.5) имеем Используя определение (2.1), получаем: При помощи этих формул уравнение (2.7) преобразуем к эквивалентшому виду: где квадратные скобюи означают коммутатор матриц. Обозначим $u=Q_{2} h Q_{2}^{t}$; тогда в силу (2.1) получаем После изоморфизма (2.2) кососимметрической матрице $u$ отвечает вектор и с компонентами $u^{1}, u^{2}, u^{3}$; матрице $K$ и матриде $x\left(u D^{2}+D^{2} u\right)$ отвечают векторы $\mathbf{K}$ и $\mathbf{w}$, имеющие следующие компоненты: (здесь нет суммирования по $i$ ). В векторных обозначениях (2.3), (2.11) уравнения (2.4), (2.9) и (2.10) определяют полную систему уравнений, описывающих динамику твердого тела с эллипсоидалыной полостью, заполненной мапнитной жидкостью: Уравнения (2.12) полпостью определяют зависимость матрицы $F$ от времени, поэтому уравнение (2.6) и второе уравнение (2.5) позволяют найти матрицу $P_{0}(t)$ и коэффициенты $p_{i}(t)$, т. е. вычислить давление внутри жидкости (с точностью до несущественной аддитивной постоянной) . Уравнения (2.12) являются обобщением классических уравнений движения тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеалыной несжимаемой жидкостью [148], и выведены впервые в работах $[123,124]$. Классический случай соответствует отсутствию мапнитного поля и получается из (2.12) при $\mathbf{u}=0$.
|
1 |
Оглавление
|