Уравнениями движения (опносительно центра масс) твердого тела с полостью, заполненной магітной жидкостью, являются уравнения малнитной гидродинамики (1.1) и закон сохранения полного момента импульса. Введем обозначения:
\[
\dot{Q_{1}}=Q_{1} A, \quad \dot{Q_{2}}=-B Q_{2}
\]

и воспольуемся изоморфизмом векторов с компонентами

$v^{i}$ в $R^{3}$ и кососимметрических $(3 \times 3)$ матриц с компонентами $V_{j \kappa}$ :
\[
v^{i} \rightarrow V_{j k}=-\sum_{i=1}^{3} v^{i} \varepsilon_{i j k},
\]

при котором векторное произведение векторов $\mathbf{x} \times \mathbf{y}$ переходит в коммутатор матриц $[X, Y]=X Y-Y X$. После этого изоморфизма кососимметрическим матрицам $A$ и $B$ отвечают векторы с компонентами $A^{i}, B^{i}, i=1,2,3$.

Момент количества движения жидкости в полости (относительно центра масс) имеет вид (всюду интеграл берется по объему полости)
\[
\begin{array}{c}
M_{0}^{i}=\rho \int(\mathbf{x} \times \mathbf{v})^{i} d x^{1} d x^{2} d x^{3}= \\
=\sum_{j, k=1}^{3}\left(-\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} M_{j k}+\left(Q_{1}\right)_{j}^{i} I_{j k}^{0} A^{k}\right), \\
M=m_{1}\left(\dot{F} F^{t}-F \dot{F}^{t}\right)=m_{1} Q_{1}\left(D^{2} A+A D^{2}-2 D B D\right) Q_{1}^{t}, \\
I_{j k}^{0}=m\left(\delta_{j k} \sum_{l=1}^{3}\left(r^{l}\right)^{2}-r^{j^{k}} r^{k}\right), \quad m=4 \pi \rho d_{1} d_{2} d_{3} / 3, \quad m_{1}=m / 5,
\end{array}
\]

пде $m$ – полная масса жидкости, индекс $t$ означает транспонирование, $M_{j k}$ – компоненты матрицы $M$.

Вектор $\overline{\mathbf{M}}=m_{1} \mathbf{M}$ полного момента количеттва движения твердого тела и жидкости в системе отсчета $S$ имеет следующие компоненты:
\[
\begin{array}{c}
M^{i}=\sum_{k=1}^{3} I_{i k} A^{k}-\gamma_{i} B^{i}, \\
I_{i k}=g_{i} \delta_{i}^{k}+m_{1}^{-1}\left(I_{i k}^{0}+I_{i k}^{1}\right), \quad g_{i}=d_{j}^{2}+d_{i}^{2}, \quad \gamma_{i}=2 d_{j} d_{l},
\end{array}
\]

где $I_{i k}^{1}$ – тензор инерции твердой оболочки в системе $S$; $i, j, l=1,2,3$.

Закон сохранения полного момента количества движения имеет вид
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A} \text {. }
\]

Три последних уравнения мапнитной гидродинамики (1.1) выполнены тождественио в силу определений (1.2) и (1.3). Переходя к преобразованию первого уравнения (1.1), отметим, что гравитационные силы в случае пдеальпой несжимаемой жидкости эквивалештиы переопределению давления $p_{1}=p+\rho \Phi$ п поэтому не оказывают влияния на динамику рассматриваемой модели. Эффективное давление $p_{1}$ для движений с однородной деформацией является квадратичной функцией координат:
\[
p_{1}=p_{0}(t)+\sum_{i, j=1}^{3}\left(p_{i j}(t) a^{i} a^{j}+p_{i}(t) a^{i}\right),
\]

где $p_{i j}(t)$ – компоненты симметрической матрицы $P_{0}(t)$. Подставляя указанную формулу и формулы (1.2), (1.3) в лервое уравнение (1.1), получаем, что это уравшение эквивалентно следующим матричному и векторному уравнениям:
\[
\begin{array}{c}
\rho
ot{F}=-\left(F^{-1}\right)^{t} P_{0}+\left(\left(F^{-1}\right)^{t} h F^{t} F h+F h^{2}\right) / 4 \pi, \\
p_{i}(t)=-\sum_{k, l=1}^{3} F_{i}^{k}\left(\dot{Q}_{1}\right)_{l}^{k} r^{l} .
\end{array}
\]

Обозначим $K_{0}=\vec{F}^{t} F-F^{t} \vec{F}$; очевидно, $\quad \dot{K}_{0}=\vec{F}^{t} F-$ – $F^{t} \vec{F}$ – антисимметричная часть матрицы $\ddot{F}^{t} F$. Симметричная часть этой матрицы определяет матрицу $P_{0}(t)$ :
\[
\begin{array}{l}
2 P_{0}=-\rho\left(F^{t} \ddot{F}^{t}+\ddot{F}^{t} F\right)+ \\
\\
\quad+(2 \pi)^{-1} h F^{t} F h+(4 \pi)^{-1}\left(F^{t} F h^{2}+h^{2} F^{t} F\right) .
\end{array}
\]

В силу (2.5) имеем
\[
\rho \hat{K}_{0}=(4 \pi)^{-1}\left(h^{2} F^{t} F-F^{t} F h^{2}\right) .
\]

Используя определение (2.1), получаем:
\[
K_{0}=Q_{2}^{t} K Q_{2}, \quad K=D^{2} B+B D^{2}-2 D A D, \quad F^{t} F=Q_{2}^{t} D^{2} Q_{2} .
\]

При помощи этих формул уравнение (2.7) преобразуем к эквивалентшому виду:
\[
\dot{K}=[K, B]+x\left[Q_{2} h^{2} Q_{2}^{t}, D^{2}\right], x=(4 \pi \rho)^{-1},
\]

где квадратные скобюи означают коммутатор матриц. Обозначим $u=Q_{2} h Q_{2}^{t}$; тогда в силу (2.1) получаем
\[
\dot{u}=[u, B], \quad\left[u^{2}, D^{2}\right]=\left[u, u D^{2}+D^{2} u\right] .
\]

После изоморфизма (2.2) кососимметрической матрице $u$ отвечает вектор и с компонентами $u^{1}, u^{2}, u^{3}$; матрице $K$ и матриде $x\left(u D^{2}+D^{2} u\right)$ отвечают векторы $\mathbf{K}$ и $\mathbf{w}$, имеющие следующие компоненты:
\[
K^{i}=g_{i} B^{i}-\gamma_{i} A^{i}, \quad w^{i}=x g_{i} u^{i}, i, j, k=1,2,3
\]

(здесь нет суммирования по $i$ ). В векторных обозначениях (2.3), (2.11) уравнения (2.4), (2.9) и (2.10) определяют полную систему уравнений, описывающих динамику твердого тела с эллипсоидалыной полостью, заполненной мапнитной жидкостью:
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A}, \quad \dot{\mathbf{K}}=\mathbf{K} \times \mathbf{B}+\mathbf{u} \times \mathbf{w}, \quad \dot{\mathbf{u}}=\mathbf{u} \times \mathbf{B} .
\]

Уравнения (2.12) полпостью определяют зависимость матрицы $F$ от времени, поэтому уравнение (2.6) и второе уравнение (2.5) позволяют найти матрицу $P_{0}(t)$ и коэффициенты $p_{i}(t)$, т. е. вычислить давление внутри жидкости (с точностью до несущественной аддитивной постоянной) .

Уравнения (2.12) являются обобщением классических уравнений движения тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеалыной несжимаемой жидкостью [148], и выведены впервые в работах $[123,124]$. Классический случай соответствует отсутствию мапнитного поля и получается из (2.12) при $\mathbf{u}=0$.